工作任務二 地面點位的確定

測量的主要任務是測定（測圖）和測設（放樣），其實質是確定點位（地面點的空間位置）。由于測量工作都是在地球表面上進行的，所以在討論如何確定地面點位之前先介紹關于地球形狀和大小的知識。

一、地球的形狀和大小

地球表面是一個極不規則的曲面，有海拔達8844.43m的珠穆朗瑪峰和海拔為-11022m的位于太平洋西部最深的馬里亞納海溝，最高與最低兩點相差近20km。雖然地球表面起伏如此之大，但與地球相比還是微不足道的。因此地球是一個南北極稍扁、赤道稍長，平均半徑約為6371km的橢球。陸地面積約占29%，而海洋面積約占71%，所以可以將地球總的形狀近似看作是一個被海水包圍的球體。

從總體上來說，海水面是地球上最廣大的天然水準面。設想把平均海水面擴展，延伸到大陸下面，形成一個包圍整個地球的曲面，則稱這個水準面為大地水準面，它所包圍的形體稱為大地體。由于大地水準面的形狀和大地體的大小均接近地球自然表面的形狀和大小，并且它的位置是比較穩定的，因此，選取大地水準面作為測量外業的基準面，而與其相垂直的鉛垂線則是測量外業的基準線。

像平靜的湖泊水面那樣處于靜止狀態的水面，即表示一個水準面。水準面必然處處與重力方向垂直。在地球引力起作用的空間范圍內，通過任何高度的點都有一個水準面，因此水準面有無窮個。水準面是受地球重力影響而形成的，是一個處處與重力方向垂直的連續曲面，并且是一個重力場的等位面，即處處與鉛垂線垂直的連續封閉曲面。與水準面相切的平面稱為水平面。

如圖1-1所示，大地水準面雖然比地球的自然表面要規則得多，且是測量成果整理和計算最適合的基準面，但由于地球內部質量分布不均勻，引起鉛垂線的方向產生不規則的變化，致使大地水準面成為一個復雜的曲面，能用一個數學公式表示出來，無法在這個曲面上進行測量數據處理。為了使用方便，通常用一個非常接近于大地水準面并可用數學公式表示的幾何形體來代替地球的形狀作為測量計算工作的基準面，這就是參考橢球體。參考橢球體是測量計算工作的基準面。

參考橢球體是一個橢圓繞其短軸旋轉而成的形體，故參考橢球體又稱為旋轉橢球體，旋轉橢球體的大小及形狀由長半徑a（或短半徑b）和曲率α所決定。我國目前采用的旋轉橢球體元素值是IUGG 1975年大會推薦的參數，其長半徑a=6378140m，曲率α=（a-b）/a=1∶298.257。同時，選擇陜西省涇陽縣永樂鎮某點為大地原點，并進行了大地定位，從而建立起全國統一的大地坐標系，這就是現在使用的“1980年國家大地坐標系”（表1-1）。

由于地球的曲率很小，所以在一般測量工作中，可把地球看作一個圓球，其平均半徑為6371km。

二、地面點平面位置的確定

一個點的位置需用三個獨立的量來確定。在測量工作中，這三個量通常用該點在參考橢球體上的鉛垂投影位置和該點沿投影方向到大地水準面的距離來表示。其中，前者由兩個量構成，稱為坐標；后者由一個量構成，稱為高程。也就是說，用地面點的坐標和高程來確定其位置。

1.地理坐標

地理坐標指用“大地經度L”和“大地緯度B”來表示地面點在球面上的位置。如圖1-2所示，N、S分別為地球的北極和南極，NS為地球的短軸，又稱地軸。過地面上任意一點的鉛垂線與地軸NS所組成的平面，稱為該點的子午面。1968年以前，將通過英國格林尼治天文臺舊址的子午面稱為首子午面（即起始子午面）。子午面與球面的交線，稱為子午線或經線。地面上任意一點P的子午面與起始子午面之間的夾角，稱為該點的大地經度，通常用符號L表示。大地經度自起始子午面起向東0°～180°稱為東經，向西0°～180°稱為西經。由于極移的影響和格林尼治天文臺遷址，1968年國際時間局改用經過國際協議原點（CIO）和原格林尼治天文臺的經線延伸交于赤道圈的一點作為經度的零點。1977年我國決定采用過該經度零點與極原點1968.0（1968年1月1日零時瞬間）的子午線作為起始子午線。我國1954年北京坐標系和1980年國家大地坐標系就是分別依據兩個不同的橢球建立的大地坐標系。

垂直于地軸并通過球心O的平面稱為赤道面，赤道面與橢球面的交線稱為赤道。垂直于地軸且平行于赤道的平面與球面的交線稱為緯線。地面上任意一點P的鉛垂面與赤道面之間的夾角，稱為該點的大地緯度，通常用符號B表示。大地緯度自赤道起向北0°～90°稱為北緯，向南0°～90°稱為南緯。如北京市中心的地理坐標為東經116°24′，北緯39°54′。

2.高斯平面直角坐標系

高斯投影是正形投影，具有中央子午線保持不變形的特點。

（1）高斯投影的概念。當測區范圍較大時，要建立平面坐標系，必須考慮地球曲率的影響，為了解決球面與平面這對矛盾，則必須采用地圖投影的方法將球面上的大地坐標轉換為平面直角坐標，目前我國采用的是高斯投影。從幾何意義上看，高斯投影就是假設一個橢圓柱橫套在地球橢球體外并與橢球面上的某一條子午線相切，這條相切的子午線稱為中央子午線。假想在橢球體中心放置一個光源，通過光線將橢球面上一定范圍內的物象映射到橢圓柱的內表面，然后將橢圓柱面沿一條母線剪開并展成平面，即獲得投影后的平面圖形，如圖1-3所示。

高斯投影的經緯線圖形有以下特點。

1）投影后的中央子午線為直線，無長度變化。其余的經線投影為凹向中央子午線的對稱曲線，長度較球面上的相應經線略長。

2）赤道的投影是一條直線，并與中央子午線正交。其余的緯線投影為凸向赤道的曲線。

3）經緯線投影后仍然保持相互垂直的關系，說明投影后的角度無變形。

高斯投影沒有角度變形，但有長度變形和面積變形，離中央子午線越遠，變形就越大。為了對變形加以控制，縮小變形帶來的影響，測量中采用限制投影區域的辦法，即將投影區域限制在中央子午線兩側一定的范圍，這就是所謂的分帶投影。投影帶一般分為6°帶和3°帶兩種，如圖1-4所示。

6°投影帶是從英國格林尼治起始子午線開始，自西向東，每隔經差6°分為一帶，將地球分成60個帶，其編號分別為1、2、…、60。每帶的中央子午線經度可用下式計算

式中 n——6°帶的帶號。

已知某點大地經度L，可按下式計算該點所屬的帶號

3°投影帶是在6°投影帶的基礎上劃分的。每隔3°為一帶，共120帶，其中央子午線在奇數帶時與6°帶中央子午線重合，每帶的中央子午線經度可用下式計算

式中 n′——3°帶的帶號。

我國領土幅員遼闊，位于東經72°～136°，共包括了13～23共11個6°投影帶。24～45共22個3°投影帶。

（2）高斯平面直角坐標系的建立。通過高斯投影，將中央子午線的投影作為縱坐標軸，用x表示，向北為正。將赤道的投影作為橫坐標軸，用y表示，向東為正。兩軸的交點作為坐標原點，由此構成的平面直角坐標系稱為高斯平面直角坐標系，如圖1-5所示。

對應于每一個投影帶，就有一個獨立的高斯平面直角坐標系，區分各帶坐標系則利用相應投影帶的帶號。地面點的平面位置，可用高斯平面直角坐標x、y來表示。由于我國位于北半球，x坐標均為正值，y坐標則有正有負，如圖1-5（a）所示。為了避免y坐標出現負值，將每帶的坐標原點向西移500km，如圖1-5（b）所示，規定在橫坐標值前冠以投影帶帶號。假定A、B兩點位于第20帶，自然坐標為

y_A=+136780m，y_B=-272440m

縱軸西移后的坐標為

y_A=500000+136780=636780m，y_B=500000-272440=227560m

冠以投影帶帶號后通用坐標為

y_A=20636780m，y_B=20227560m

（3）獨立平面直角坐標。用大地坐標表示大范圍內地球表面的點位是很方便的，在小區域內進行測量時，用經緯度表示點的平面位置則十分不便。經過估算，在面積為300km²的多邊形范圍內，可以忽略地球曲率影響而建立獨立的平面直角坐標系，當測量精度要求較低時，這個范圍還可以擴大數倍。把局部橢球面看作一個水平面，在這樣的水平面上建立起平面直角坐標系，則點的平面位置就可用該點在平面直角坐標系中的直角坐標（x，y）來表示。

在測量學中，平面直角坐標系的縱橫坐標安排與數學中常用的笛卡兒坐標系不同，它以南北方向為x軸，向北為正；而以東西方向為y軸，向東為正。象限順序按順時針方向排列，如圖1-6所示。這種安排與笛卡兒坐標系的坐標軸和象限順序正好相反。這是因為在測量中南北方向是最重要的基本方向，直線的方向也都是從正北方向開始按順時針方向計量的，但這種改變并不影響三角函數的應用。

三、地面點的高程

高程是確定地面點高低位置的基本要素，分為絕對高程和相對高程兩種。

四、大地坐標系和地心坐標系

1.大地坐標系

大地坐標系是大地測量中以參考橢球面為基準面建立起來的坐標系。地面點的位置用大地經度、大地緯度和大地高度表示。大地坐標系的確立包括選擇一個橢球、對橢球進行定位和確定大地起算數據。一個形狀、大小和定位、定向都已確定的地球橢球稱為參考橢球。參考橢球一旦確定，則標志著大地坐標系已經建立。

（1）1954年北京坐標系。1949年新中國成立后，很長一段時間采用1954年北京坐標系。它與蘇聯1942年建立的以普爾科夫天文臺為原點的大地坐標系統相聯系，相應的橢球為克拉索夫斯基橢球。到20世紀80年代初，我國已基本完成了天文大地測量，經計算表明，1954年北京坐標系統普遍低于我國的大地水準面，平均誤差為29m左右。

（2）1980年國家大地坐標系。1978年4月在西安召開全國天文大地網平差會議，確定重新定位，建立我國新的坐標系，確立了1980年國家大地坐標系。1980年國家大地坐標系采用地球橢球基本參數為1975年國際大地測量與地球物理學聯合會（IUGG）第16屆大會推薦的數據。該坐標系的大地原點設在我國中部的陜西省涇陽縣永樂鎮，位于西安市西北方向約60km，故也稱1980年西安坐標系，又稱西安大地原點。基準面采用1985國家高程基準。

2.地心坐標系

以地球質心作為坐標原點的坐標系稱為地心坐標系，即要求橢球體的中心與地心重合。人造地球衛星繞地球運行時，軌道平面時時通過地球的質心，同樣對于遠程武器和各種宇宙飛行器的跟蹤觀測也是以地球的質心作為坐標系的原點，參考坐標系已不能滿足精確推算軌道與跟蹤觀測的要求。因此建立精確的地心坐標系對于衛星大地測量、全球性導航和地球動態研究等都具有重要意義。

WGS-84坐標系是一種國際上采用的地心坐標系。坐標原點為地球質心，其地心空間直角坐標系的Z軸指向國際時間局（BIH）1984.0定義的協議地極（CTP）方向，X軸指向BIH1984.0的協議子午面和CTP赤道的交點，Y軸與Z軸、X軸垂直構成右手坐標系，稱為1984年世界大地坐標系。這是一個國際協議地球參考系統（ITRS），是目前國際上統一采用的大地坐標系。

五、用水平面代替水準面的限度

在實際測量工作中，在測區面積不太大的情況下，為簡化一些復雜的投影計算，可用水平面代替水準面。用水平面代替水準面時應使投影后產生的誤差不超過一定的限度，則在這個小范圍內用水平面代替水準面是合理的。以下討論用水平面代替水準面對距離和高程的影響，以便明確可以代替的范圍。

1.對水平距離的影響

如圖1-7所示，水準面P與水平面P′ 在a點相切，ab為a、b兩點在水準面上的一段圓弧，長度為D，所對的圓心角為θ，地球半徑為R，a、b兩點在水平面上的距離為D′。若用水平面代替水準面，即以水平距離D′代替D，則在距離上所產生的誤差為

ΔD=D′-D

其中 D′=Rtanθ，D=Rθ

則 ΔD=R（tanθ-θ）

因θ值一般很小，將tanθ按級數展開，并略去高次項得

將θ=D/R代入上式得

因地球半徑R=6371km，D以不同的值代入上式，可計算出水平面代替水準面的距離誤差和相對誤差，結果見表1-2。當距離為10km時，用水平面代替水準面所產生的距離誤差為0.82cm，相對誤差為1∶1220000，小于目前精密距離測量的容許值。因此，在半徑為10km的范圍內進行距離測量工作時，用水平面代替水準面所產生的距離誤差可以忽略不計。

2.對高程的影響

由圖1-7可知，a、b兩點在同一水準面上，高程相等，高差應為零。當b點投影到過a點的水平面上得到b′點時，bb′=Δh，即為水平面代替水準面對高程產生的誤差，則

（R+Δh）²=R²+D′²

上式中，用D代替D′，Δh與2R相比可忽略不計，故上式可寫成

由上式可知，Δh的大小與距離的平方成正比。當D=1km時，Δh=7.8cm，若D=100m，Δh=0.78mm。因此在進行高程測量中，即使在很短的距離內也必須考慮地球曲率的影響。

結論：在面積為100km²范圍內，不論進行水平距離還是水平角測量，都可以不考慮地球曲率的影響，但對高程測量的影響不能忽略。