地震激起水體表面波的壅高分析^>[1]

關(guān)于地震激起水體表面波的壅高公式，過去，國內(nèi)外作者都是從勢(shì)波理論（微波理論）出發(fā)，沒有考慮壩體的彈性影響>^5］。本文從有限波高觀點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)考慮了壩體的彈性及地層轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的影響，分析了壩體相對(duì)位移及絕對(duì)位移所激起的壅高。文中用壩體相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)近似地表示壩體彈性的影響，事實(shí)上，壩體在地震時(shí)引起的變位是非線性的，但我們僅從產(chǎn)生等效水波高度的角度出發(fā)，應(yīng)用了相對(duì)地面轉(zhuǎn)動(dòng)的線性變位假定。另外認(rèn)為水體是不可壓縮的非黏性流動(dòng)，地震動(dòng)水壓力對(duì)壩體位移影響較小（實(shí)際上最大不超過15%），不加考慮，在上述假定基礎(chǔ)上，建立了以壩體運(yùn)動(dòng)作為動(dòng)邊界的流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。關(guān)于地震引起的壩體位移作為動(dòng)邊界的已知數(shù)值，取自水工建筑抗震計(jì)算規(guī)范>^［6］中的地震慣性力資料。本文還認(rèn)為對(duì)于不可壓縮流體地震垂直運(yùn)動(dòng)所激起的壅高較小，可略去不計(jì)。

一、方程建立與求解

設(shè)有一個(gè)二維水體，位于一水平底面之上，一端有一個(gè)重力壩，地震使壩體產(chǎn)生振動(dòng)，激起水體表面波壅高，而另一端延伸至無窮遠(yuǎn)。設(shè)水體自由面為ox軸，oz軸垂直向下，壩體迎水面的初始位置與oz軸相重合，水深為H，壩體在水面處相對(duì)地面的水平位移的振幅為A/2，地面水平位移的振幅為B/2，為了便于研究相對(duì)和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，設(shè)一參考軸（圖1），p為壓力，u、v分別為ox和oz軸方向的速度分量。

連續(xù)方程為：

運(yùn)動(dòng)方程為：

自由表面（z=-ζ₀）應(yīng)滿足條件：

式中：ζ₀為水面離靜止水位升降的高度；p_a為水面的大氣壓力。

底部（z=H）需滿足條件

在水體左端，地震使壩體產(chǎn)生簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，把運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)水平位移分成壩體結(jié)構(gòu)相對(duì)底面水平位移和底面的水平位移兩部分，其邊界條件分別為：

（1）壩體結(jié)構(gòu)相對(duì)地面轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：

式中：σ=2π/T為圓頻率；T為周期。

（2）地面水平位移時(shí)：

當(dāng)x→∞時(shí)，波浪為向右傳播的前進(jìn)坡。

上述方程及邊界條件是非線性的，求解比較困難。本文采用了一種“線性化”的近似方法，即在給定邊界條件下將求解基本方程式（1）、式（2）寫成下列形式：

把某種近似解代入式（7）的右邊則得線性方程：

若解式（8）則需求式（8）相應(yīng)齊次方程解（恰好是勢(shì)流的解）再加式（8）的一個(gè)特解。

設(shè)水體無旋、不可壓縮、存在速度勢(shì)及力勢(shì)，則方程式（8）的齊次方程及邊界條件可簡(jiǎn)化成下列線性方程：

應(yīng)用分離變量法便可求得式（9）的一般解。由于水的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)具有σ的振動(dòng)角速度（圓頻率），所以φ（x，z，t）將采取下列形式：

φ（x，z，t）=X（x）P（z）e^iσt

將上式代入式（9）的第一式中得：

因而

當(dāng)k為實(shí)數(shù)時(shí)，則式（12）的解為：

據(jù)式（9）中第二式，可得：

式（15）是計(jì)算k值式子，k值可以由y₁=cthkH和y₂=kg/σ²兩線交點(diǎn)而得出，因此只有一個(gè)根，令其為k₀，因此式（14）變?yōu)椋?/p>

當(dāng)k是虛數(shù)情況，令k=ik′，則式（12）解為P（z）=C₁e^ik′z+C₂e^-ik′z，k′tank′H=-σ²/g滿足于上式，k′值是由y₁=cotk′H和y₂=-σ²/g滿足的交點(diǎn)而定，所以有無窮多個(gè)根，令k′=k_n（n=±1，±2，…），由k_n=-k_-n故取正項(xiàng)，因此

k為實(shí)數(shù)時(shí)，解為：

k為虛數(shù)時(shí)，解為：

式（18）右邊的第一項(xiàng)是向-x傳播的波，式（19）右邊的第一項(xiàng)當(dāng)x→∞時(shí)發(fā)散，均舍去。

根據(jù)上述，得式（9）解：

由于當(dāng)x→∞時(shí)為前進(jìn)波的條件，所以將上式選定特解組合形式后，可得解：

式中：k₀為σ²=gkthkH的正根；k_n=（2n-1）π/2H，n=1，2，3，…；B′₀，B′_n為常數(shù)，由邊界條件式（10）求得：

令

由于上式右端的第二項(xiàng)為三角函數(shù)，它在其區(qū)域（0，H）中是完備正交集，第一項(xiàng)是雙曲函數(shù)，它在區(qū)域（0，H）中是不正交的，因此有^>[2]：

和

積分上兩式，聯(lián)立解之得：

其中

用同上的方法亦可求得方程式（9）及式（11）的解，形如式（20），但由于其邊界條件差異，所以與該式中B′₀及B′_n有所不同，可表示為：

其中

定解式（20）是很復(fù)雜的形式，為了簡(jiǎn)化它作如下討論：

式（20）中的k₀為σ²=gkthkH的正根。當(dāng)（n-1）π&lt；k_nH&lt；nπ，因此對(duì)于所有n，k_nH&gt；π/2，x&gt；3時(shí)，式（20）中右端的第二項(xiàng)可以略去不計(jì)（-H）=0，因此式（20）中右端第二項(xiàng)仍是可以不計(jì)的。盡管式（20）中右端第二項(xiàng)可以去掉，但式（20）中計(jì)算仍然很復(fù)雜，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化公式，我們對(duì)B′₀中的各級(jí)數(shù)進(jìn)行了分析和計(jì)算，把式（21）及式（23）寫成下列形式：

其中

令上兩式中

采用已知的收斂級(jí)數(shù)的公項(xiàng)a_n與上列三個(gè)級(jí)數(shù)的公項(xiàng)b_n，c_n和d_n相比，顯然級(jí)數(shù)是收斂的，而是絕對(duì)收斂的，考慮到級(jí)數(shù)的參數(shù)范圍為：T=1-0.05（s），k₀=4-1608（m^-1），H=50-200（m），而用T=1（s），k₀=4（m^-1），H=200（m）計(jì)算各級(jí)數(shù)之和（相對(duì)其他參數(shù)，該參數(shù)的級(jí)數(shù)和為最大）為：

通過對(duì)式（25）和式（26）分析，得到下列兩式極限：

將以上5式代入式（25）和式（26）即可得：

B₁=B′₀≈B₀₁；B₂=B′₀≈B₀₂

這樣式（20）可變?yōu)椋?/p>

式中：B′₀≈B₀₁同式（27）；B′₀≈B₀₂同式（28）。

根據(jù)波動(dòng)表面方程ζ₀=-（1/g）［?φ（x，0，t）/?t］和拉格朗日方程（p-p）/r=-（1/g）×［（?φ/?t）+z］便可以求得下列一階近似解的壓力、波形、波高及波速。

二、波面的三階近似解

前已述過將式（1）、式（2）寫成式（7）的形式，同時(shí)在水面z=-ζ₀處應(yīng)滿足條件：

其他邊界條件形式同前所述。把式（33）代入式（7）的右方后得：

考慮到上述方程的非齊次性，可得方程式（35）的一個(gè)特解為：

把式（36）中三式加入到一階近似解中去，并取

便得到二階近似解的各式：

再把式（28）代入式（34）的第一式并略去（h₁/2）⁴的各項(xiàng)不計(jì)得：

對(duì)上式積分得波面的三階近似解>^［7］：

式中

和

式（41）是由壩體相對(duì)地面的水平位移產(chǎn)生的波浪高h₁（雙振幅），而式（42）是由地面水平位移而產(chǎn)生的波浪高h′₁（雙振幅）。以上所求得的近似解式（37）、式（38）及式（40）對(duì)自由表面條件及各邊界條件的均為近似滿足。

三、解的簡(jiǎn)化

地震激起水體表面波的壅高，一般在壩高和壩前水深都很大時(shí)，研究它才有意義。我們基于這種認(rèn)識(shí)，對(duì)壅高公式進(jìn)行了如下簡(jiǎn)化。

1.壩體結(jié)構(gòu)對(duì)地面相對(duì)水平運(yùn)動(dòng)的情況

對(duì)式（41）右端的分子分母同時(shí)除以k₀Hch²k₀H得：

當(dāng)水深H趨近無窮大（H≥50m）時(shí)，由式（43）得：

取k₀x-σt=0，并取cthk₀H=1，由式（40）即可得壅高簡(jiǎn)化公式：

式中

L=gT²/2π

從式（44）及式（45）可以看出，波面高、低主要決定于壩體在迎水面的自由面處的相對(duì)位移的最大雙振幅A，關(guān)于A的求解下節(jié)將詳細(xì)論述。由于地震周期一般在0.05～1.0s之間，因此壩體迎水面處波能集中，表面水波在此處集中，超過極限（h₁/L=10）產(chǎn)生破碎，此處得到的ζ₀和擺線相同>^［7］，式中尚需考慮波浪中心線離靜止水面超高（h₁/2）²π/2，因此據(jù)上述式（45）可化為：

2.地面水平運(yùn)動(dòng)情況

對(duì)式（42）右端的分子及分母同時(shí)除以ch²k₀H得：

當(dāng)水深H趨近無窮大時(shí)，式（47）簡(jiǎn)化為：

將式（48）代入式（40）并取cthk₀H=1及k₀x-σt=0后得：

同前所述式（49）可化為：

四、壩體相對(duì)位移

大家知道，影響水面壅高的主要因素之一是地震使壩體產(chǎn)生的相對(duì)位移，而壩體相對(duì)位移的推求又是一個(gè)極為復(fù)雜的計(jì)算問題.為了簡(jiǎn)化和解決這個(gè)問題，采用了我國發(fā)布的水工建筑物抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中的地震慣性力資料>^［6］，根據(jù)這個(gè)資料并利用反應(yīng)譜概念得了壩體相對(duì)位移的最大振幅，從而建立了地震烈度、壩體相對(duì)位移最大幅值和水面壅高之間關(guān)系，據(jù)文獻(xiàn)［9］中最大絕對(duì)加速譜s_a與最大相對(duì)位移譜s_d關(guān)系為

式中：T為地面位移最大振幅時(shí)相應(yīng)的周期；σ=2π/T=ω為圓頻率。

根據(jù)上式及規(guī)范的慣性力資料得：

式中：k_H是水平位移振幅的等效系數(shù)，其值范圍為0.5～0.75，采用0.75，由設(shè)計(jì)烈度選定，見表1>^［6］；地震水平位移分布參數(shù)Δ_iH由表2選定。

五、實(shí)例計(jì)算與比較

1.壩體相對(duì)位移產(chǎn)生壅高

根據(jù)震害的調(diào)查資料>^［10］，見表3，對(duì)日本的“三面”重力壩及抗震工程學(xué)>^［11］中由著者岡本舜山的一個(gè)實(shí)例進(jìn)行了計(jì)算，見表4。

從表3及表4中的壅高數(shù)據(jù)可以看出，計(jì)算壅高與實(shí)例壅高是相近的。

2.地層轉(zhuǎn)動(dòng)而引起壩體絕對(duì)位移產(chǎn)生的壅高

根據(jù)文獻(xiàn)［5］中式（5.6）及本文中式（46）進(jìn)行計(jì)算比較，但此時(shí)，式（46）中A應(yīng)理解為絕對(duì)位移，以A′表示之，計(jì)算結(jié)果見表5。

3.地層平移、轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)作用于壩體而引起絕對(duì)位移產(chǎn)生的壅高

根據(jù)本文中式（46）和式（50）進(jìn)行計(jì)算，同樣此時(shí)A及B應(yīng)理解為絕對(duì)位移以A′及B′表示之，計(jì)算結(jié)果見表6。

上述三種情況，客觀實(shí)際上均可發(fā)生。通過上面的計(jì)算，我們可以看出，結(jié)果與實(shí)例是接近的，同時(shí)通過部分公式的比較，證明結(jié)果也是合理的。

本文得到林秉南、肖天鐸兩同志的熱情幫助，特此致謝。

Analysis of Run up Height of Surface Waves in Liquid Body Excited by Seismological Effect

Abstract

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