2.8 作用于物體上的靜水總壓力及潛體與浮體的平衡及其穩定性

2.8.1 作用于物體上的靜水總壓力——阿基米德原理

當物體淹沒于靜止液體中時，作用于物體上的靜水總壓力等于該物體表面上所承受靜水壓力的總和。

現有一潛體如圖2.21所示。在潛體表面作鉛錘切線AA′、BB′、…，這些切線即為切于潛體表面的垂直圓柱母線。則作用于潛體整個表面上的靜水壓力Pz應等于上下兩力之和，即

式中 VABCD——潛體所排開液體的體積。

同理分析可得，潛體表面所受總壓力的x方向水平分力Px為

Px=Px1-Px2=0

綜上所述，物體在液體中所受的靜水總壓力，僅有鉛垂向上的分力，其大小恰等于物體（潛體、浮體）所排開的同體積的液體重量，這就是阿基米德原理。

液體對淹沒物體的作用力，由于方向向上故也稱上浮力，上浮力的作用點在物體被淹沒部分體積的形心，該點稱為浮心。

2.8.2 物體在靜止液體中的浮沉

物體在靜止液體中，除受重力作用外，還受到液體上浮力的作用。若物體在空氣中的自重為G，其體積為V，則物體全部淹沒于水下時，物體所受的上浮力為ρgV。

如果G>ρgV時，物體將會下沉，直至沉到底部才停止下來，這樣的物體稱為沉體。

如果G＜ρgV時，物體將會上浮，一直要浮出水面，其使物體所排開的液體重量和自重剛好相等后，才保持平衡狀態，這樣的物體稱為浮體。

如果G=ρgV時，物體可以潛沒于水中的任何位置而保持平衡，這樣的物體稱為潛體。

物體的沉浮，是由它所受重力和上浮力的相互關系來決定的。

2.8.3 潛體的平衡及其穩定性

潛體的平衡，是指潛體在水中既不發生上浮或下沉，也不發生轉動的平衡狀態。如圖2.22所示為一潛體，為使討論具有普遍性，假定物體內部質量不均勻，重心C和浮心D并不在同一位置。這時，潛體在浮力及重力作用下保持平衡的條件是：

（1）作用于潛體上的浮力和重力相等，即G=ρgV。

（2）重力和浮力對任意點的力矩代數和為零。要滿足這一條件，必須使重心C和浮心D位于同一條鉛垂線上［圖2.22（a）］。

其次再來分析一下潛體平衡的穩定性。所謂平衡的穩定性是指已經處于平衡狀態的潛體，如果因為某種外來干擾使之脫離平衡位置時，潛體自身恢復平衡的能力。

圖2.22（b）和（c）表示一個重心位于浮心之下的潛體，原來處于平衡狀態，由于外來干擾，使潛體向左或向右側傾斜，因而有失去平衡的趨勢。但傾斜以后，由重力和上浮力所形成的力偶可以反抗其繼續傾倒。當外來干擾撤除后，自身有恢復平衡的能力，這樣的平衡狀態稱為穩定平衡。

相反，如圖2.23所示，一個重心位于浮心之上的潛體，原來處于平衡狀態，由于外來干擾使潛體發生傾斜。當傾斜以后，由重力和上浮力所構成的力偶，有使潛體繼續擴大其傾覆的趨勢，這種平衡狀態，即使在干擾撤除以后，仍可以遭到破壞，因而為不穩定平衡。

綜上所述，潛體平衡的穩定條件是要使重心位于浮心之下。當潛體的重心與浮心重合時，潛體處于任何位置都是平衡的，此種平衡狀態稱為隨遇平衡。

2.8.4 浮體的平衡及其穩定性

一部分淹沒于水下，一部分暴露于水上的物體，稱為浮體。浮體的平衡條件和潛體一樣，但浮體平衡的穩定要求和潛體有所不同。浮體重心在浮心之上時，其平衡仍有可能是穩定的，下面來作具體分析。

圖2.24表示一橫向對稱的浮體，重心C位于浮心D之上。通過浮心D和重心C的直線O—O稱為浮軸，在平衡狀態下，浮軸為一條鉛垂直線。當浮體受到外來干擾（如風吹、浪打）發生傾斜時，浮體被淹沒部分的幾何形狀改變，從而使浮心D移至新的位置D′，此時浮力Pz與浮軸有一交點M，M稱為定傾中心，MD的距離稱為定傾半徑，以ρ表示。在傾角α不大的情況下，實用上可近似認為M點位置不變。

假定浮體的重心C點也不變，令C與D之間的距離稱為e，稱e為重心與浮體的偏心距。由圖2.24不難看出，當ρ＞e（即定傾中心高于重心）時，浮體平衡是穩定的，此時浮力與重力所產生的力偶可以使浮體平衡恢復，故此力偶稱為扶正力偶。若當ρ＜e（即定傾中心低于重心）時，浮力與重力構成了傾覆力偶，使浮體有繼續傾倒的趨勢。

綜上所述，浮體平衡的條件為定傾中心要高于重心，或者說，定傾半徑大于偏心距。