第三節 牛頓法在網絡補償中的應用

一、目標函數

前述已經證明：帶有約束的非線性規劃問題，必須滿足Kwhn-Tacker條件，且其目標函數為

L（x，λ）=f（x）+λTg（x）

（231）

其中λT=[λ1 ，λ2 ，…，λn]為Kwhn-Tacker因子。

二、約束函數的泰勒展開式今設約束方程共為n個，則

g1（x1，x2，…，xn）=0 g2（x1，x2，…，xn）=0…

╮

㊣

（232）

gn（x1 ，x2 ，…，xn）

=0╯

1.約束方程的矩陣形式

（1）若給定初始值x1（0），x2（0），…，xn（0），且設各變量的增量為Δx1（0），Δx2（0），…，

Δxn（0），則式（232）將化為下述形式：

g1[x1（0）-Δx1（0），x2（0）-Δx2（0），…，xn（0）-Δxn（0）]=0

╮

…

㊣

（233）

gn[x1（0）-Δx1（0），x2（0）-Δx2（0），…，xn（0）-Δxn（0）]=

0╯

將式（233）作泰勒級數展開，并略去高次項后，可得

gi（x1（0），x2（0），…，xn（0））

=??xgi1Δx1（0）+??xgi2Δx2（0）+…+??xginΔxn（0）

（234）

寫成矩陣形式，則為

┌

??gx11…??gx1n

┐

┌

g1（x1（0），…，xn（0））

┐

G（x）=

…

…

…

=

…

（235）

└

gn（x1（0），…，xn（0）

┘）

??gxn1…??gxn

┌└ΔΔxx…n1（（00））┐┘

└

n┘

式（23 5）便是約束方程的矩陣形式，稱為牛頓法修正方程式，它是以Δx1（0），

Δx2（0），…，Δxn（0）為變量的線性方程組。其中??xgij為函數

gi（x1 ，x2 ，…，xn）

對自變量xj的偏導數在點（x1 ，x2 ，…，xn）處的值。

（2）解線性方程組（235）可求得

Δx1（0），Δx2（0），…，Δxn（0）

并由此求得

x1（1）=x1（0）-Δx1（0），x2（1）=x2（0）-Δx2（0），…，xn（1）=xn（0）-Δxn（0）

x1（1），x2（1），…，xn（1）與x1（0），x2（0），…，xn（0）相比較，向真正解逼近了一步。

2.約束方程的迭代過程

如果以x1（1），x2（1），…，xn（1）作初值，重解線性方程組（235），便可求出

Δx1（1），Δx2（1），…，Δxn（1）

再由式

x1（2）=x1（1）-Δx1（1） x2（2）=x2（1）-Δx2（1）

……

…

xn（2）=xn（1）-Δxn（1）

則x1（2），x2（2），…，xn（2）又向真正解逼近一步。直至第t次迭代，得

G（x）（t）=J（t）ΔX（t）

（236）

其中

┌

q1（x1（t），…，xn（t））

G（x）（t）=

┐

…

（237）

└

qn（x1（t），…，xn（t）

┘）

┌

??gx11|t…??xg1n|t

┐

J（t）=

…

（238）

└

??gxn1|t…??gxnn|

t

┘

ΔX（t）=┌└ΔΔΔxxx…n12（（（ttt）））┐┘

（239）

以上式中 G（x）（t）———第t次迭代時函數的誤差向量；

J（t）———雅可比陣；

ΔX（t）———第t次迭代修正量。

3.迭代過程收斂情況的判別

為了判斷收斂情況，可采用下述兩個不等式中之一：

|maxΔx（t）|＜ε1|G（x）（t）|＜ε ㊣

╮2╯

（2310）

式中 ε1，ε2———要求的精度量。

三、約束函數中各元素的求法

（一）電力系統的約束方程式

根據本章第二節分析，電力系統無功補償的約束方程式，可以寫成下述形式：

┌

?ΔP?φ

?ΔP?V

┐

[ΔΔPQ]=

[ΔΔVφ]

（2311）

└

?ΔQ?φ

?ΔQ?

V┘

或者寫成

┌

?ΔP?VV

[ΔΔPQ]=

?ΔP?φ

┐

（2312）

?ΔQ?φ

?ΔQ?V

V

[ΔΔφV/V]

└

┘

（二）矩陣中各個元素的求法

1.??ΔφP的求法當i=\j時

??ΔφPii=-ViVj（gijsinφij-bijcosφij）

（2313）

當i=j時

??ΔφPii=??φi[Pi-Vi∑j∈iVj（gijcosφij+bijsinφij）]

=??φi Pi-V2i（qijcosφij+bijsinφij）-Vij∑∈i

[Vj（qijcosφij+bijsinφij）]

j=\i

因為φ1i=φ1-φi=0，所以

?ΔPi

?φi =-Vij∑∈i

Vj（-qijsinφij+bijcosφij）

j=\i

=-V2ibij+Vi∑

Vj（qijsinφij-bijcosφij）+V2ibij

j∈i j=\i

=V2ibij+Qi

（2314）

2.??ΔVPV的求法

??ΔVPjiVj=??Vj [Pi-Vi∑j∈iVj（gijcosφij+bijsinφij）]Vj

=-ViVj（gijcosφij+bijsinφij）

（2315）

??ΔVPiiVi=??Vi[Pi-V2i（gijcosφij+bijsinφij）

-Vi∑

Vj（gijcosφij+bijsinφij）]Vj

j∈i j=\i

=-2V2igij-Vi∑

[（gijcosφij+bijsinφij）Vj]

j∈i j=\i

=-V2igij-Vi∑

[Vj（gijcosφij+bijsinφij）+V2igij ]

j∈i j=\i

=-V2igij-Pi

（2316）

3.??ΔφQ的求法當i=\j時

??ΔφQji=ViVj（gijcosφij+bijsinφij）

（2317）

當i=j時

??ΔφQii=V2igij-Pi

（2318）

4.??ΔVQV的求法 ?ΔQi

?VjVj=-ViVj（gijsinφij-bijcosφij）

（2319）

（i\=j）

??ΔVQiiVi=V2ibij-Qi

（2320）

（i=j）

四、目標函數的泰勒展開式

設初始運行點為（x0，λ0），則在初始運行點，目標函數L（x，λ）的泰勒展開式為

L（x0，λ0）=f（x0）+λ0Tg（x0）+f′（x0）（x-x0）

+λ0Tg′（x0）（x-x0）+g（x0）T（λ-λ0）

對x求偏導數，有

?[（x0，λ0）]

=f′（x0）+λ0Tg′（x0）+f″（x0）+f′（x0）+?

[λ0Tg′（x0）]（x-x0）

?x

?x

+λ0Tg′（x0）+g′（x0）T（λ-λ0）

=f′（x0）+λ0Tg′（x0）+{f″（x0）+??x[λ0Tg′（x0）]}（x-x0）

+f′（x0）+λ0Tg′（x0）+g′（x0）T（λ-λ0）

（2321）

設x-x0=Δx，λ-λ0=Δλ，則式（2321）變為

?L（x?x0，λ0）=f′（x0）+λ0Tg′（x0）+{f″（x0）+??x[λ0Tg′（x0）]}Δx

+f′（x0）+λ0Tg′（x0）+g′（x0）TΔλ

（2322）

根據Kwhn-Tacker條件知

?f?（xx0）+i∑=m1λ0?g?（xx0）=0

且因為 ?L（?xx0，λ0）=0，則有

{f″（x0）+??x[λ0Tg′（x0）]}Δx+g′（x0）TΔλ=-[f′（x0）+λ0Tg′（x0）]

（2323）

令H=f″（x0）+??x[λ0Tg′（x0）]，為海森陣；J=?g?（xx0），為雅可比陣，則式（11 18

61）可改寫成矩陣形式

[HJ J0T][ΔΔλx]=┌└-?f?gx（x（x））-JTλ┐┘

（2324）

式（2324）已將目標函數式（2323）和約束條件式（236）結合起來。其計算過程是：

（1）給定初始運行點Δx0、Δλ0、誤差ε。

（2）通過解方程組（2324），求出Δx0和Δλ0。

（3）利用下式進行修正

x1=x0-Δx0λ1=λ0-Δλ0

（4）再對方程組（2324）求解，得 Δx1、

Δλ1，進一步求出

x2=x1-Δx1λ2=λ1-Δλ1

（5）判斷Δλ1=λ1-λ2，Δx1=x1-x2的絕對值

是否小于所要求的精度ε，如果滿足，則打印最優解

X*，λ*，否則繼續迭代。

五、程序設計

按照下述計算步驟，給出程序設計的流程，如

圖231所示。

六、原始數據要求

（1）網絡參數，包括電阻和電抗值。（2）每個電廠的有功出力。

（3）每個負荷的有功值、無功值。（4）各變壓器分接頭位置。

（5）無功優化數據包括：

1）各地無功補償容量上限、下限。2）變壓器分接頭調節范圍。

3）新裝無功補償地點。

4）單位電容器、電抗器價格，設備壽命，電價，初始方式潮流網損。

圖231 程序設計流程