第二節 非線性規劃法在網絡補償中的應用

一、非線性規劃的基本問題

在網絡補償中所遇到的問題是在滿足一定條件下，來尋求最優的補償容量和最佳補償位置。尋優的目的是多種多樣的，其可以是補償后所獲得的經濟效益最大，也可以是網絡損耗最小，還可以是所花費的投資最小，這些要求就構成了規劃問題的目標。按照目標的要求，根據規劃問題的物理情況，可建立其數學模型

maxf（x）或 minf（x）

（221）

式中 f（x）———目標函數；

max，min———極大、極小值。

正如前面所敘述的，規劃問題所追求的目標都是有條件的。例如，要滿足系統的功率條件，要滿足節點的電壓條件，要滿足企業的資金條件等，這些條件就構成了問題的約束。約束可以是等式約束，也可以是不等式約束，其可以寫成

S.T

hgji（（xx））=≥00，，ij==11，，22，，……，，rm}

（222）

其中S.T的意義為約束條件；gi（x）=0為等式約束；hj（x）≥0為不等式約束。

式（221）和式（222）聯合起來就構成了非線性規劃的基本問題，即追求滿足一定約束條件下的最優目標。

例如

maxf（x）=40x1-0.1x21+11x2

S.T

4x1+5x2≤1500 5x1+3x2≤1575 x1+2x2≤420

xj≥0，j=1，2

便是一個非線性規劃問題。所謂非線性是指不論是目標函數還是約束條件，只要有一個是非線性函數，則問題便是非線性規劃問題。在所論情況下，目標函數f（x）是x的二次函數，因此，該問題是非線性規劃問題。該問題只有5個不等式約束，而沒有等式約束。后兩個約束條件為x1≥0、x2≥0，因為實際問題往往如此，如x1代表補償容量、x2代表補償位置，如果其小于0是沒有實際意義的。

二、Kwhn-Tacker定理

既然提出了非線性規劃問題，則必須要了解構成非線性規劃問題所必須滿足的條件，以及如何求解非線性規劃問題。Kwhn-Tacker定理提出了處理不等式約束條件下非線性規劃問題的完整理論。

1.定理的內容若

S.T

gmiin（xf）（x≤0），i=1，2，…，m}

（223）

且f（x）和gi（x）均為可微函數，則定義

m

L（x，λ）=f（x）+∑

λigi（x）

（224）

i=1

假定乘因子λi存在，則在所尋求的最優點x*處必須滿足下述條件：

?g?（xxj*）+i∑=m1λi*?g?（xxj*）=0

╮

j=1，2，…，n

㊣

（225）

gi（x*）≤0，i=1，2，…，mλi*gi（x*）=0

λi*≥

0╯

其中

λ=[λ1，λ2，…，λm]T

G（x）=[g1，g2，…，gm]

以上條件稱為Kwhn-Tacker條件，λi稱為Kwhn-Tacker因子，這就是定理的內容。

2.定理的證明

（1）Kwhn-Tacker定理在處理非線性規劃問題時，首先將不等式約束gi（x）≤0化為等式約束，化解的方法是引入松弛變量Si，即使

Si+gi（x）=0，i=1，2，…，m

因為gi（x）≤0，故Si≥0

于是公式（224）變成為x、S、λ的函數，即

m

L（x，S，λ）=f（x）+∑

λi[Si+gi（x）]

（226）

i=1

如果x*是所要尋求的最優點，則式（226）對xj的微分必須滿足下述條件：

?L（x*，S*，λ*）

?xj

=?f?（xxj*）+i∑=m1λi?g?ix（xj*）=0

即滿足式（225）中的條件（1）。

（2）如果x*是最優點，則公式（226）對λi微分必須滿足條件

?L（x*，S*，λ*）

=Si+gi（x*）=0

?λi

因為已經Si≥0，故gi（x*）≤0，這就是式（2 2 5）中的條件（2）。（3）將式（224）對Si微分，有

?L（x*，S*，λ*）

≥0

（227）

?Si

該微分之所以要不小于0，其原因是假定Si*是最優點，且Si*≥0。

如果Si*=0時，?L（x*，S*，λ*）

＜0，則當Si＞0時，L（x，S，λ）將更小，因而Si*=0將

?Si

不是最優點，這與Si*是最優點的假設相矛盾，因此，不等式（227）必須成立。故有

?L（x*，S*，λ*）

=λi≥0

?Si

這就是式（225）中的條件（4）。

（4）在Si*=0的邊界上有

Si*?L（x*，S*，λ*）

=0

?Si

于是

Si*λi*=0

而已知S*i+gi（x*）=0，Si*=-gi（x*），故有

λi*gi（x*）=0

這就是式（225）中的條件（3）。

通過上述說明可知，利用Kwhn-Tacker定理，可將有約束的非線性規劃問題，即式（223），化為無約束的非線性規劃問題，即式（226）。

三、用懲罰函數來處理等式約束的最優化問題1.懲罰函數的基本思想

前面已經說利用Kwhn-Tacker定理，可以將有約束的非線性規劃問題化為無約束的非線性規劃問題。而懲罰函數法是一種近似的，但卻很有用的求解非線性規劃問題的數值解法。其實質是將有約束的非線性規劃問題通過選擇懲罰因子，變成一系列求懲罰函數的極小值，從而將原始問題轉化為求解一系列無約束的極值問題。

懲罰函數的基本思想是建立一個新的目標函數

m

P（x，Mk）=f（x）+∑

Mi[gi（x）]2

（228）

i=1

這個新的目標函數稱為懲罰函數，其由兩部分組成：第一部分是原目標函數f（x）。

m

第二部分為與約束條件有關的懲罰項∑

Mi[gi（x）]2，其中Mi是對不同約束方程所

i=1

加的權，稱為懲罰因子，它是一個很大的正數。

從懲罰項可以看出：當約束條件不滿足時，因為[gi（x）]2為正值，所以Mi取值越大，則目標函數P（x，Mk）就越大，因此，當約束不滿足時，Mi[gi，（x）]2將是一種懲罰；相

反，當滿足約束條件時，[gi，（x）]2=0，這時不管Mi取多大，P（x，Mk）均與f（x）取相同

值，這就是說當滿足約束條件時不受懲罰。由此可以看出懲罰因子和懲罰函數的意義。

2.懲罰函數的目的

懲罰函數的目的是建立一個無約束的規劃問題，即求懲罰函數P（x，Mk）的無約束極值，意指

m

minP（x，Mk）=min f（x）+Mk∑

{[gi（x）]2}

（229）

i=1

其等價于原函數f（x）在等式約束gi（x）=0條件下的最優化問題。3.懲罰函數的求解方法

設目標函數為f（x），在不等式約束gi（x）≥0（i=1，2，…，m）條件下求極小。

其求解方法可以采用所謂外點法。

（1）外點法用作變換的懲罰函數為

m

P（x，Mk）=f（x）+Mk∑

{min[0，gi（x）]}2

（2210）

i=1

這里，將各約束的加權值Mi取成相同的Mk，而對Mk取

0＜M1＜M2＜…＜Mk＜Mk+1＜…

且

lki→m∞Mk→ ∞

（2）懲罰項中有

min[0，gi（x）]=gi（x）-|gi（x）|

2

={g0i，（當x）g，i當（xg）i＞（x0）＜時0時

（2211）

（3）解題步驟為：

1）取M1＞0，如取M1=1，給定誤差ε＞0，令計算次數k=1。

2）求下式

m

P（x，Mk）=f（x）+Mk∑

{min[0，gi（x）]}2

i=1

的最優解X*。

3）檢驗-gi（x*）≤ε判別式是否滿足，

若滿足，則得到條件極值的最優解xmin=

x*，否則，取 Mk+1＞Mk，例如 Mk+1=

αMk，α值可取4或5，令k=k+1，轉至步驟2）。

（4）算法的程序流程圖如圖221所示。

四、無功優化的目標函數

圖221 懲罰函數外點法解算流程

無功優化的目的是使在加裝補償設備

后，在補償設備使用的年限內，由于網損減小而節省的運行費用，扣除補償設備總投資后，所得的效益最大。按照這個要求，可列出電力系統無功補償的目標函數

maxf（x）=β（PNO-PN）τmaxY

m

-∑

（Qk-QLk）αk

（2212）

k=1

式中 β———電價，元/（MW·h）；

PNO———補償前系統總功率，MW；PN———補償后系統總功率，MW；

τmax———全網年最大負荷利用小時數，h；

Y———補償設備的使用年限，通常為15～20年；

αk———補償設備單位容量價格，元/kvar；

Qk———補償前該節點注入無功功率，Mvar；

QLk———補償后該節點注入無功功率，Mvar；

m———PV節點的個數。

如果將原問題化成非線性規劃目標函數的標準形式，則有

m

minf（x）=-β（PNO-PN）τmaxY+∑

αk（Qk-QLk）

（2213）

k=1

五、問題的約束條件1.節點的功率方程式

為了確定補償前、后節點注入有功、無功功率的情況，必須對系統進行潮流計算。為此，必須建立節點的功率方程式。當系統的導納矩陣Y為已知時，則系統中各節點的電流可以表示為

I=YV

對第i個節點，有

Ii=∑

YijVj，i=1，2，…，n

（2214）

j∈i

式中 V———系統的電壓矩陣；

j∈i———∑號的節點j都必須直接與節點i相連，且包括j=i的情況。節點功率與節點電流之間的關系為

Si=.ViI∧i，i=1，2，…，n

（2215）

式中 I∧i———電流的共軛值。

將式（2214）代入式（2215）后，得

Si=∑

Y∧ijV∧j

（2216）

j∈i

因為

=Viejφi，Yij=gij+jbij，Sj=Pj+jQj

于是，式（2216）可改寫成

Si=Pi+jQi=Viejφi∑

（gij-jbij）Vje-jφj

j∈i

=Vi∑

Vj（gij-jbij）（cosφij+jsinφij）

j∈i

其中φij=φi-φj，為i、j兩節點電壓相角差。

將實部、虛部分開后，有

Pi=Vi∑

Vj（gijcosφij+bijsinφij）

╮

j∈i

Vj（gijsinφij-bijcosφij ㊣

（2217）

Qi=Vi∑

）

╯

j∈i

式（2217）便是節點功率方程的極坐標形式。2.節點有功功率的約束方程式

如果系統總節點數為n，則可列出n-1個獨立的節點有功功率方程式，根據式（2

217）可以寫成

ΔP1=P1-V1∑

Vj（g1jcosφ1j+b1jsinφ1j）=0

╮

j∈1

ΔP2=P2-V2∑

Vj（g2jcosφ2j+b2jsinφ2j）=0

j∈2

㊣

（2218）

…

ΔPn-1=Pn-1-Vn-1∑

Vj（g（n-1）jcosφ（n-1）j+b（n-1）jsinφ（n-1）j）=

0

╯

j∈n-1

這是n-1個約束條件。3.無功功率約束方程式

如果系統中有m個PV節點，對PV節點來說，Vi是給定的，不再作為變量，而且該節點不能預先給定無功功率Qi，這樣，方程式中ΔQi就失去了約束作用，因此，在迭代過程中應取消與PV節點有關的無功功率方程式。同樣，由于平衡節點的電壓幅值Vi和相角φi都是給定的，因此，與平衡節點有關的方程式也將不參加迭代過程。如此，根

據式（2217）可以寫出

ΔQi=Qi-Vi∑

（gijsinφij-bijcosφij）=0

（2219）

j∈i

i=1，2，…，n-1-m

4.其他約束條件（1）電壓約束

Vimin＜Vi＜Vimax

（2220）

（2）補償容量約束

Qimin＜Qi＜Qimax

（2221）

（3）電壓相角差約束

0≤|φi-φj|≤Qjmax

（2222）

目標函數加上約束方程，就構成了非線性規劃的全部內容。