0.7 測(cè)量誤差的基本知識(shí)

0.7.1 測(cè)量誤差的概念

用測(cè)量?jī)x器、工具觀測(cè)得到的數(shù)值，稱為觀測(cè)值。如觀測(cè)的高差、距離和角度等。觀測(cè)對(duì)象客觀存在的量，稱為真值。觀測(cè)值與真值之間存在的微小的差異，稱為真誤差。

若用L表示觀測(cè)值，X表示真值，則真誤差Δ定義為

在測(cè)量中，某些量無法求得真值，這時(shí)真誤差就無法計(jì)算。因此，常采用多次觀測(cè)之平均值作為該量的最可靠值，也稱為最或然值或似真值。觀測(cè)值與平均值之間存在的微小差異，稱為或然誤差，又稱似真誤差或改正數(shù)。

若用L表示觀測(cè)值，表示平均值，則似真誤差（改正數(shù)）ν定義為

0.7.2 測(cè)量誤差的來源

測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因是多種多樣的，但由于任何觀測(cè)值的獲取都要具備人、儀器、外界環(huán)境這三種要素，所以觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因可歸結(jié)為下列三方面。

1.儀器誤差的影響

儀器誤差的影響可從兩個(gè)方面來理解，一是儀器本身固有的誤差，給觀測(cè)結(jié)果帶來誤差影響；如用只有厘米分劃的水準(zhǔn)尺進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，就很難保證在厘米以下的讀數(shù)準(zhǔn)確無誤；二是儀器檢校時(shí)的殘余誤差，如水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)軸而產(chǎn)生的i角誤差等。

2.觀測(cè)者的影響

由于觀測(cè)者感覺器官的鑒別能力有一定的局限性，所以在儀器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等方面都會(huì)產(chǎn)生誤差。同時(shí)，觀測(cè)者的工作態(tài)度和技術(shù)水平，也是對(duì)觀測(cè)成果質(zhì)量有直接影響的重要因素。

3.外界環(huán)境的影響

觀測(cè)時(shí)所處的外界條件，如溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素都會(huì)對(duì)觀測(cè)結(jié)果直接產(chǎn)生影響；同時(shí)，溫度的高低、濕度的大小、風(fēng)力的強(qiáng)弱以及大氣折光的不同，它們對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響也隨之不同，因而在這樣的客觀環(huán)境下進(jìn)行觀測(cè)，就必然使觀測(cè)的結(jié)果產(chǎn)生誤差。

上述儀器、觀測(cè)者、外界環(huán)境三方面的因素是引起誤差的主要來源，這三方面的因素綜合起來稱為觀測(cè)條件。不難想象，觀測(cè)條件的好壞與觀測(cè)成果的質(zhì)量有著密切的聯(lián)系。當(dāng)觀測(cè)條件好時(shí)，觀測(cè)中產(chǎn)生的誤差平均說來就可能相對(duì)小些，因而觀測(cè)質(zhì)量就會(huì)高些。反之，觀測(cè)條件差時(shí)，觀測(cè)成果的質(zhì)量就會(huì)低些。如果觀測(cè)條件相同，觀測(cè)成果的質(zhì)量也就可以說是相同的。因此，觀測(cè)成果的質(zhì)量高低客觀地反映了觀測(cè)條件的優(yōu)劣，也可以說，觀測(cè)條件的好壞決定了觀測(cè)成果質(zhì)量的高低。

但是，不管觀測(cè)條件如何，在整個(gè)觀測(cè)過程中，由于受到上述因素的影響，觀測(cè)的結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生這樣或那樣的誤差。從這個(gè)意義上來說，在測(cè)量中產(chǎn)生誤差是不可避免的，即誤差存在整個(gè)觀測(cè)過程中，稱為誤差公理。

0.7.3 測(cè)量誤差的分類

根據(jù)觀測(cè)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果影響的性質(zhì)，可將誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差（隨機(jī)誤差）兩種。

0.7.3.1 系統(tǒng)誤差

在相同的觀測(cè)條件下作一系列觀測(cè)，如果誤差在大小、符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測(cè)過程中按一定的規(guī)律變化，或者為一常數(shù)，則這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。

例如，水準(zhǔn)尺的刻劃不準(zhǔn)，水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸誤差，溫度對(duì)鋼尺量距的誤差，尺長(zhǎng)誤差等均屬于系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差具有累計(jì)性，對(duì)成果的影響較大，應(yīng)當(dāng)設(shè)法消除或減弱它的影響，采用的方法一般有兩種：一是在觀測(cè)的過程中采取一定的措施；二是在觀測(cè)結(jié)果中加入改正數(shù)。其目的就是消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響，達(dá)到忽略不計(jì)的程度。

0.7.3.2 偶然誤差

1.偶然誤差概念

在相同的觀測(cè)條件下作一系列的觀測(cè)，如果誤差在大小和符號(hào)上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個(gè)誤差看，該系列誤差的大小和符號(hào)沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。例如，觀測(cè)時(shí)的照準(zhǔn)誤差，讀數(shù)時(shí)的估讀誤差等，都屬于偶然誤差。

如果各個(gè)誤差項(xiàng)對(duì)其總和的影響都一樣大小，即其中沒有一項(xiàng)比其他項(xiàng)的影響占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)時(shí)，那么它們的總和將是服從或近似地服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。因此，偶然誤差就其總體而言，都具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以，有時(shí)又把偶然誤差稱為隨機(jī)誤差。

在測(cè)量工作的整個(gè)過程中，除了上述兩種性質(zhì)的誤差以外，還可能發(fā)生錯(cuò)誤。錯(cuò)誤的發(fā)生，大多是由于工作中的粗心大意造成的。錯(cuò)誤的存在不僅大大影響測(cè)量成果的可靠性，而且往往造成返工浪費(fèi)，給工作帶來難以估量的損失。因此，必須采取適當(dāng)?shù)姆椒ê痛胧ＷC觀測(cè)結(jié)果中不存在錯(cuò)誤。所以一般來說，錯(cuò)誤不算作觀測(cè)誤差。

觀測(cè)結(jié)果不可避免地包含偶然誤差，它是不可消除的，但可以選擇較好的觀測(cè)條件減弱它。

2.偶然誤差特性

設(shè)有一組觀測(cè)值L₁，L₂，…，L_n，其相應(yīng)的真值為，，…，，真誤差為Δ₁，Δ₂，…，Δ_n，并設(shè)其中不包含系統(tǒng)誤差和粗差，則從表面上看，這組誤差的大小和符號(hào)沒有規(guī)律，然而，對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析則呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，該組誤差的個(gè)數(shù)越多這種規(guī)律性表現(xiàn)得越明顯。可以用三種方法來描述一組觀測(cè)誤差的分布規(guī)律性。

在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某測(cè)區(qū)781個(gè)三角形的內(nèi)角進(jìn)行了觀測(cè)，并按式（0.7.3）求出內(nèi)角和的真誤差為

式中 Δ_i——第i個(gè)三角形內(nèi)角和觀測(cè)值的真誤差。

由于觀測(cè)值中已剔除了粗差，且系統(tǒng)誤差已削弱到可以忽略不計(jì)的程度。因此，從總體講，這些誤差均為偶然因素所致，均屬偶然誤差，而且各個(gè)誤差之間是互相獨(dú)立的。所謂獨(dú)立，即各個(gè)誤差在數(shù)值的大小和符號(hào)上互不影響，與這一組誤差相對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值稱為互相獨(dú)立的觀測(cè)值。

設(shè)以dΔ表示誤差區(qū)間并令其等于0.5″，將這組誤差分別按正誤差和負(fù)誤差重新排列，統(tǒng)計(jì)誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的個(gè)數(shù)μ_i，計(jì)算出誤差出現(xiàn)在某區(qū)間內(nèi)的頻率μ_i／n，其結(jié)果列于表0.7.1中。

從表0.7.1中可以看出，該組誤差表現(xiàn)出這樣的分布規(guī)律：絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差多；絕對(duì)值相等的正誤差個(gè)數(shù)與負(fù)誤差個(gè)數(shù)相近；誤差的絕對(duì)值有一定限度，最大不超過3.5″。

為了形象地表達(dá)偶然誤差的分布規(guī)律，根據(jù)表0.7.1的數(shù)據(jù)，以誤差Δ的數(shù)值為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)可繪制出直方圖，如圖0.7.1所示，每一誤差區(qū)間上的長(zhǎng)方形面積表示誤差在該區(qū)間出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)。誤差較小的長(zhǎng)方形較高，其面積較大，即誤差出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)較多；反之，誤差較大的長(zhǎng)方形較低，其面積較小，即出現(xiàn)誤差的相對(duì)個(gè)數(shù)較少。所有長(zhǎng)方形基本上對(duì)稱于縱坐標(biāo)軸，這說明絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)很接近。誤差絕對(duì)值大于3.5″的長(zhǎng)方形沒有，表明其面積為零，即出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)為零，亦即不會(huì)出現(xiàn)。還需指出，所有長(zhǎng)方形面積之和等于1。

當(dāng)誤差個(gè)數(shù)n無限增多，并無限縮小誤差區(qū)間時(shí)，圖0.7.1中各個(gè)小長(zhǎng)方條頂邊的折線就變成一條光滑的曲線，如圖0.7.2所示，這條曲線稱為誤差分布曲線，簡(jiǎn)稱為誤差曲線。

通過以上討論，可以用概率的術(shù)語(yǔ)來描述偶然誤差所具有的統(tǒng)計(jì)特性：

（1）在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值，或偶然誤差的絕對(duì)值大于某個(gè)值的概率為零，或表述為：觀測(cè)誤差的絕對(duì)值小于某個(gè)值的概率恒等于1。該特性稱為偶然誤差的有界性。

（2）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率要大，該特性稱為偶然誤差的聚中性。

（3）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等，該特性稱為偶然誤差的對(duì)稱性。

（4）偶然誤差的算術(shù)平均值的極限值為0，該特性稱為偶然誤差的抵償性。

0.7.4 衡量測(cè)量精度的標(biāo)準(zhǔn)

在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行的一組觀測(cè)，它對(duì)應(yīng)著一種確定不變的誤差分布。如果分布較為密集，則表示該組觀測(cè)質(zhì)量較好，也就是說，這一組觀測(cè)精度較高；反之，如果分布較為離散，則表示該組觀測(cè)質(zhì)量較差，也就是說，這一組觀測(cè)精度較低。

因此，所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散的程度。倘若兩組觀測(cè)成果的誤差分布相同，便是兩組觀測(cè)成果的精度相同；反之，若誤差分布不同，則精度也就不同。

在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一組觀測(cè)，由于它是對(duì)應(yīng)著同一種誤差分布，因此，對(duì)于這一組中的每一個(gè)觀測(cè)值，都稱為同精度觀測(cè)值。例如，表0.7.1中所列觀測(cè)結(jié)果是在相同觀測(cè)條件下測(cè)得的，各個(gè)結(jié)果的真誤差彼此并不相等，有的甚至相差很大（例如，有的出現(xiàn)于0.0″～0.5″區(qū)間，有的出現(xiàn)于3.0″～3.5″區(qū)間），但是，由于它們所對(duì)應(yīng)的誤差分布相同，因此，這些結(jié)果彼此是同精度觀測(cè)值。

精度是指一組誤差的分布密集或離散的程度。分布愈密集，則表示在該組誤差中，絕對(duì)值較小的誤差所占的相對(duì)個(gè)數(shù)愈大。在這種情況下，該組誤差絕對(duì)值的平均值就一定小。由此可見，精度雖然不是代表個(gè)別誤差的大小，但是，它與這一組誤差絕對(duì)值的平均大小顯然有著直接關(guān)系。因此，用一組誤差的平均大小作為衡量精度高低的指標(biāo)，是完全合理的。用一組誤差的平均大小作為衡量精度的指標(biāo)，可有多種不同的定義，下面介紹幾種常用的精度指標(biāo)。

1.中誤差計(jì)算

在一定觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行n次觀測(cè)，得到n個(gè)觀測(cè)值，對(duì)應(yīng)求出n個(gè)真誤差，取這些獨(dú)立誤差平方和的平均值極限的平方根，稱為該組觀測(cè)值的中誤差，用m表示，即

說明：式（0.7.3）和式（0.7.4）中的Δ既可以是同一個(gè)量的觀測(cè)值的真誤差，也可以不是同一量的觀測(cè)值的真誤差，但必須都是同精度且同類性質(zhì)觀測(cè)量的真誤差，即是在相同條件下得到的觀測(cè)值，n是Δ的個(gè)數(shù)。

在實(shí)際工作中，觀測(cè)次數(shù)不能無限多，總是有限的，觀測(cè)值中誤差計(jì)算式為

上二式中 n——觀測(cè)次數(shù)；

Δ——真誤差；

ν——改正數(shù)。

計(jì)算的m值愈小，觀測(cè)值精度愈高。

【例0.7.1】某測(cè)區(qū)的16個(gè)三角形內(nèi)角和的誤差如下，試求三角形內(nèi)角和中誤差。

-5.2″+3.1″ 0.0″-0.2″+1.1″-1.7″+0.1″+1.2″

-0.6″+2.2″-3.2″+1.4″-0.8″+1.0″-0.2″+1.0″

解：將三角形內(nèi)角和的真誤差代入式（0.7.5），可得三角形內(nèi)角和的中誤差

【例0.7.2】用j6經(jīng)緯儀某水平角觀測(cè)4測(cè)回，各測(cè)回值分別為45°32′18″，45°32′10″，45°32′28″和45°32′16″，1測(cè)回觀測(cè)值中誤差m是多少?

解：（1）根據(jù)題目給出的各測(cè)回觀測(cè)值，求得其平均值為45°32′18″，按式（0.7.2）求出各改正數(shù)為

V₁=45°32′18″-45°32′18″=0″

V₂=45°32′10″-45°32′18″=-8″

V₃=45°32′28″-45°32′18″=10″

V₄=45°32′16″-45°32′18″=-2″

（2）按式（0.7.6）計(jì)算觀測(cè)值中誤差

2.容許中誤差計(jì)算

前已述及觀測(cè)成果中不能含有粗差。那么，如何來判定觀測(cè)誤差中的粗差呢?必須要有一個(gè)判定標(biāo)準(zhǔn)，超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的誤差就列入粗差，相應(yīng)的觀測(cè)值應(yīng)予剔除或返工重測(cè)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就是極限誤差，所謂極限誤差就是最大誤差。由偶然誤差的特性可知，在一定條件下，偶然誤差不會(huì)超過一個(gè)界值，這個(gè)界值就是所說的極限誤差，但這個(gè)界值很難確定，一般規(guī)定極限誤差的根據(jù)是誤差出現(xiàn)在某一范圍內(nèi)的概率的大小，即誤差Δ出現(xiàn)在（-1km，+1km）內(nèi)的概率。經(jīng)計(jì)算誤差出現(xiàn)在區(qū)間（-1m，+1m），（-2m，+2m），（-3m，+3m）內(nèi)的概率分別為68.3%、95.5%、99.7%。可見，大于三倍中誤差的誤差，其出現(xiàn)的概率只有0.3%，是小概率事件，在一次觀測(cè)中，可認(rèn)為是不可能發(fā)生的事件。因此，可規(guī)定三倍中誤差為極限誤差，即

若對(duì)觀測(cè)要求較嚴(yán)，也可規(guī)定兩倍中誤差為極限誤差，即

如［例0.7.1］中，若取二倍中誤差作為極限誤差，則內(nèi)角和的極限誤差為

Δ_限=2×1.97=3.94″

3.相對(duì)中誤差計(jì)算

有時(shí)，單靠中誤差還不能完全表達(dá)觀測(cè)質(zhì)量的好壞。例如，在同一觀測(cè)條件下，用尺子丈量了兩段距離，一段為500m，一段為1000m，這兩段距離的中誤差均為2.0cm，用中誤差無法評(píng)判其精度高低。但很顯然，雖然二者中誤差相同，但由于不同的距離長(zhǎng)度，兩者精度并不相同，前者的單位長(zhǎng)度的精度比后者低。

所謂相對(duì)中誤差（也稱相對(duì)精度），即將觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值之比，化為分子化為1的分?jǐn)?shù)表示，即用表示，相對(duì)誤差誤差一般用k表示。即

N一般取至百位數(shù)的整數(shù)。N值愈大，精度愈高。如上述兩段距離，前者的相對(duì)中誤差為1/25000，而后者則為1/50000，后者精度高于前者。

又如某兩點(diǎn)點(diǎn)間觀測(cè)值為87.366m，觀測(cè)值中誤差為±0.026m，則相對(duì)中誤差k為

相對(duì)（中）誤差主要用來衡量距離的精度，不能用來衡量測(cè)量高差和角度的測(cè)量精度。