第三節 點、直線和平面的投影
一、點的投影
（一）點的位置和坐標
空間點的位置，可用直角坐標值來確定，一般書寫形式為A（x,y,z），A表示空間點;x坐標表示空間點A到W面的距離；y坐標表示了空間點A到V面的距離；z坐標表示空間點A到H面的距離。
（二）點的三面投影
為了統一起見，規定空間點，如A、B、C等其水平投影用相應的小寫字母表示，如a、b、c等；正面投影用相應的小寫字母加撇表示，如a′、b′、c′等；側立面投影用相應的小寫字母加兩撇表示，如a″、b″、c″等。
如圖2-13（a）所示，過A點分別向三個投影面上作投影線，在三個面上分別得到相應的垂足a′、a、a″。
a′稱為點A的正立面投影，位置由坐標 （x、z）決定，它反映了點A到 W、H兩個投影面的距離。
圖2-13 點的三面投影
a稱為點A的水平面投影，位置由坐標（x、y）決定，它反映了點A到W、V兩個投影面的距離。
a″稱為點A的側立面投影，位置由坐標（y、z）決定，它反映了點A到V、H兩個投影面的距離。
（三）點的投影規律
按照規定，將三個投影面展平，得到點A的三面投影圖，如圖2-13（b）所示。分析得出點的三面投影規律：
點的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸，即a a′⊥OX（長對正）。
點的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ（高平齊）。
點的H面投影至OX軸的距離等于點的W面投影至OZ軸的距離，即aax=a″az（寬相等），實際作圖中用45°輔助線作寬相等。
【例2-2】 如圖2-14所示，已知點A的兩個投影a和a′，求a″。
圖2-14 已知點的兩投影求第三投影
【分析】 由于點的兩個投影反映了該點的三個坐標，可以確定改點的空間位置。因而應用點的投影規律，可以根據點的任意兩個投影求出第三個投影。
【作圖步驟】 （1）過a′向右作水平線，過O點畫45°斜線。
（2）過a作水平線與45°斜線相交，并由交點向上引鉛垂線，與過a′的水平線的交點即為所求點a″。
（四）兩點之間的相對位置關系
分析兩點的同面投影之間的坐標大小，可以判斷空間兩點的相對位置。X坐標值的大小可以判斷兩點的左右位置，Z坐標值的大小可以判斷兩點的上下位置，Y坐標值的大小可以判斷兩點的前后位置。如圖2-15所示，A點Z坐標值大于B點Z坐標值，所以A點在B點上方；A點X坐標值大于B點X坐標值,所以A點在B點左方; A點Y坐標值小于B點Y坐標值，所以A點在B點后方。
圖2-15 兩點的空間位置
當空間兩點位于同一投影線上，它們在該投影面上的投影重合為一點，這兩點稱為該投影面的重影點。如圖2-16所示的A、B兩點處在H面的同一投影線上，它們的水平投影a和b重合為一點，空間點A、B稱為水平投影面的重影點。
圖2-16 重影點
重影點可見性的判別，一般根據（x,y,z）三個坐標值中不相同的那個坐標值來判斷，其中坐標值大的點投影可見。制圖標準規定在不可見的點的投影上加圓括號。如圖2-16所示，A點的z坐標值大于B點的z坐標值，可知A點在B點上方，B點為不可見點，其水平投影應加括號。
二、直線的投影
兩點確定一條直線。繪制直線段的投影，可先繪制直線段兩端點的投影，然后用粗實線將各同面投影連接為直線即可，如圖2-17所示。
圖2-17 直線的投影
（一）空間各種位置的直線的投影特性
在三面投影體系中，直線按所處空間位置的不同分為三類：投影面平行線、投影面垂直線、一般位置直線。
1.投影面平行線
平行于一個投影面、傾斜于另外兩個投影面的直線稱為投影面平行線。與H面平行的直線稱為水平線，與V面平行的直線稱為正平線，與W面平行的直線稱為側平線。它們的投影及特性見表2-1。規定直線與H、V、W面的夾角分別用α、β、γ表示。
表2-1 投影面平行線
投影面平行線的投影共性為：直線在所平行的投影面上的投影為一斜線，反映實長，并反映直線與其他兩投影面的傾角。其余兩投影小于實長，且平行于相應兩投影軸。
2.投影面垂直線
與投影面垂直的直線稱為投影面垂直線，它與一個投影面垂直，與另外兩個投影面平行。與H面垂直的直線稱為鉛垂線，與V面垂直的直線稱為正垂線，與W面垂直的直線稱為側垂線。投影面垂直線的投影及特性見表2-2。
表2-2 投影面垂直線的投影及特性
投影面垂直線的投影共性為：直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點，其他兩投影反映實長，且垂直于相應的兩投影軸。
3.一般位置直線
一般位置直線與三個投影面都傾斜，因此在三個投影面上的投影都不反映實長，投影與投影軸之間的夾角也不反映直線與投影面之間的夾角，如圖2-18所示。
圖2-18 一般位置直線
（二）直線上點的投影特性
1.從屬性
直線上點的投影必在該直線的同面投影上，該特性稱為點的從屬性。如圖2-19所示，C點在直線AB上，根據點在直線上投影的從屬性和點的三面投影規律，可知C點的三面投影c、c′、c″分別在直線的同面投影ab、a′b′、a″b″上，并且三面投影符合點的投影規律。
圖2-19 點的從屬性
2.定比性
直線上的點分割直線之比，投影后保持不變，這個特性稱為定比性，如圖2-20所示。
圖2-20 定比性
（三）空間兩直線的相對位置
1.兩直線平行
空間中的兩條直線如果平行，則它們的同面投影都平行。如果兩直線有一個投影面上的投影不平行，則空間中的兩直線不是平行關系，如圖2-21所示。
2.兩直線相交
空間中的兩條直線如果相交，則它們的同面投影都相交，并且交點符合點的投影規律。如果兩直線有一個投影面的投影不相交，則空間的兩直線不是相交關系,如圖2-22所示。
3.兩直線交叉
空間中兩條直線如果交叉，則它們的同面投影既不相交又不平行，如圖2-23所示。
圖2-21 兩直線平行
圖2-22 兩直線相交
圖2-23 兩直線交叉
三、平面的投影
（一）平面的表示法
（1）不在同一直線上的三個點，如圖2-24（a）所示。
（2）直線和直線外一點，如圖2-24（b）所示。
（3）兩條相交直線，如圖2-24（c）所示。
圖2-24 平面的表示
（4）兩條平行直線，如圖2-24（d）所示。
（5）任意平面圖形，如圖2-24（e）所示。
（二）空間各種位置平面的投影特性
平面與投影面的相對位置可分為三種：投影面的平行面、投影面的垂直面和一般位置平面。
1.投影面的平行面
平行于一個投影面的平面，稱為投影面的平行面。投影面的平行面有三種情況：與V面平行的平面稱為正平面，與H面平行的平面稱為水平面，與W面平行的平面稱為側平面。它們的空間位置、投影圖和投影特性見表2-3。
表2-3 投影面平行面的投影特性
投影面平行面的投影共性為：平面在所平行的投影面上的投影反映真實形體，其他兩面投影都積聚成與相應投影軸平行的直線。
2.投影面的垂直面
垂直于一個投影面，傾斜于其他兩投影面的平面稱為投影面的垂直面。投影面的垂直面有三種情況：與H面垂直的平面稱為鉛垂面，與V面垂直的平面稱為正垂面，與W面垂直的平面稱為側垂面。它們的空間位置、投影圖與投影特性見表2-4。
表2-4 投影面垂直面的投影特性
投影面垂直面的投影共性為：平面在所垂直的投影面上的投影積聚為直線，其他兩面投影為類似形。
3.一般位置平面
一般位置平面與三個投影面都傾斜，如圖2-25所示。因此，在三個投影面上的投影都不反映實形，而是縮小的類似形。
圖2-25 一般位置平面
（三）平面上的點和直線
1.平面內的點
點在平面內的幾何條件是：點在平面內，則該點必在平面的某一直線上。
在平面內取點，當點所處的平面投影具有積聚性時，可利用積聚性直接求出點的各面投影；當點所處的平面為一般位置平面時，應先在平面上作一條輔助直線，然后利用輔助直線的投影求得點的投影。
【例2-3】 如圖2-26所示，K點在△ABC所確定的平面內，已知k′，求K點的水平投影。
圖2-26 求平面內點的投影
【分析】 既然K點在△ABC所確定的平面內，則K點必在該平面內的一條直線上，該直線的正面投影必通過k′點，所以k點必在該直線的水平投影上。
【作圖步驟】 （1）如圖2-26（b）所示，連a′k′交b′c′于1′點，由1′作X軸垂線與水平投影bc交于1點，連接a1并延長。
（2）由k′作X軸垂線與水平投影a1的延長線交于k點，該點即為平面內K點的水平投影。
2.平面內的直線
直線在平面內的幾何條件是：直線在平面上，則必通過該平面上的兩點，或者通過平面內的一點且平行于平面上的已知直線，如圖2-27所示。
圖2-27 平面內的直線
3.平面內的投影面平行線
平面內的投影面平行線有三種：平面內平行于H面的直線稱為平面內的水平線,平行于V面的直線稱為平面內的正平線，平行于W面的直線稱為平面內的側平線。
平面內的投影面平行線，既符合直線在平面內的幾何條件，又具有前述投影面平行線的一切特性。
如圖2-28（a）所示，△ABC內的直線AD∥H面，所以AD是△ABC內的水平線，在投影圖中a′d′∥OX軸，ad反映實長。
圖2-28 平面內的投影面平行線
圖2-28中，△ABC平面內的直線BE∥V面，所以BE是△ABC內的正平線。在投影圖中be∥OX，b′e′反映實長。