一、差分的概念

任意足夠光滑的函數(shù)f（x）沿x的正向和負(fù)向分別用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，有

于是有

或

由此可給出一階導(dǎo)數(shù)的近似表達(dá)式

近似表達(dá)式把級(jí)數(shù)截?cái)嗔?，由此產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差E，可以用被截?cái)嗉?jí)數(shù)的第一項(xiàng)也是最大的一項(xiàng)來(lái)表示

此誤差O（Δx）與Δx同階。對(duì)于足夠小的Δx來(lái)說(shuō)，誤差O（Δx）的絕對(duì)值將小于cΔx（式中c為任意常數(shù)）。所以為了保證采用差分近似導(dǎo)數(shù)時(shí)的誤差足夠小，必須采用足夠小的Δx。

由式（2-1a）和式（2-1b）相加，可得f（x）一階導(dǎo)數(shù)的“中心差”近似表達(dá)式

被截去的第一項(xiàng)為所以式（2-3）的截?cái)嗾`差為O[（Δx）2]。對(duì)于足夠小的Δx來(lái)說(shuō)，它比前差和后差有更高的近似，所以數(shù)值近似的精度不僅和Δx的大小有關(guān)，還和導(dǎo)數(shù)取何種差分形式有關(guān)。

式（2-1a）和式（2-1b）相減，可得f（x）二階導(dǎo)數(shù)的近似表達(dá)式

被截去的第一項(xiàng)為截?cái)嗾`差為O[（Δx）2]。