第一章　地下水數值模擬概述

一、概述

地下水是一種重要的天然資源，它是許多地方工農業、居民生活的重要或者主要水源，有時甚至是唯一的供水水源。近幾十年來日益加劇的人類活動對地下水資源的質和量造成了許多負面影響，如過量開采地下水引起的水資源枯竭、海水入侵、地面沉降，“三廢”不注意排放造成地下水受到不同程度污染，等等。評估人類活動對地下水質和量的影響，評價地下水資源，預測地下水污染發展趨勢，選擇最佳防治措施，合理開發地下水，以便可持續地利用地下水資源等當代迫切需要解決的問題，都需要借助于求解地下水流模型和溶質運移模型才能找到比較滿意的解答。

模型的種類很多，在地下水研究中常用的有物理模型和數學模型兩大類。物理模型以模型和原型之間的物理相似或幾何相似為基礎，如用滲流槽直接模擬地下水流。數學模型則以模型和原型之間在數學形式上的相似為基礎，實際上就是一組能夠刻畫實際系統內所發生物理過程的數量關系和空間形式的數學關系式（包括數學方程和定解條件）。數學模型可分為確定性模型和隨機模型兩類。前者出現在模型中的參數都取確定的值；后者模型中含有隨機變量。本教材僅針對確定性模型。數學模型又可分為相對比較簡單、描述系統特征的參數不隨空間坐標變化的集中參數模型，以及相對比較復雜、描述系統特征的參數隨空間坐標變化的分布參數模型。一般來說，集中參數模型由常微分方程來表達，而分布參數模型則需要用偏微分方程來表達。對研究地下水流問題和包括地下水污染問題在內的溶質運移問題來說，分布參數模型更為適用。本教材討論的地下水模型主要針對地下水流問題的分布參數數學模型。

一般可以用兩種方法去獲得一個描述實際問題數學模型的解：解析法和數值法。用解析法求解數學模型可以得到解的函數表達式。應用此函數表達式可以得到所求未知量（如水頭、濃度等）在含水層內任意時刻、任意點上的值。解的精度高，因而稱為精確解或解析解。但它有很大的局限性，只適用于含水層幾何形狀規則、性質均勻、厚度固定、邊界條件單一的理想情況，《地下水動力學（第三版）》（薛禹群和吳吉春，2010）中討論的主要屬于這種情況。實際水文地質問題一般比較復雜，如邊界形狀不規則、含水層是非均質甚至是各向異性非均質的、含水層厚度變化，甚至有缺失的情況。對于一個描述實際地下水系統的數學模型來說，一般都難以找到它的解析解，只能求得用數值表示的在有限個離散點和離散時段上的近似解，稱為數值解。求數值解的方法稱為數值法。在計算機上用數值法來求數學模型的近似解，以達到模擬實際系統的目的就稱為數值模擬。

和其他方法比較，數值法有很多優點，主要有：①模擬在通用計算機上進行，不需要像物理模擬那樣建立專門的一套設備。②有廣泛的適用性，可以用于水量計算，水位預報以及水質、水溫、地面沉降、水資源管理等的計算。各種復雜的含水層、邊界條件、水流情況都能模擬出來。數值模擬除了廣泛用于上述預報未來、預測某種作用的后果外，還能用來對區域含水系統進行分析以提高對區域水流系統的認識，幫助確定含水層邊界的位置和特征，并對系統內水的數量、含水層的補給量等進行正確評估。此外，模型還能用來研究一般地質背景中的各種過程，如研究湖-地下水的相互作用等。③修改算法，修改模型比較方便。④可以程序化，只要編好通用軟件，對不同的具體問題只要按要求整理數據就能上機計算，并很快得到相應的結果。它的不足之處是不如物理模擬來得逼真、直觀，計算工作量大。這些問題隨著當前水文地質工作者已具有比老一代工作者更高的數學水平和抽象能力，以及計算水平的快速提高與數值法的改進早已不成為問題了。⑤與解析法相比，數值法比較靈活、適應性強，適于模擬復雜的水文地質條件，解決復雜的地下水定量計算問題。

解地下水問題的數值方法有多種，但最通用的還是有限差分法（FDM）和有限元法（FEM，也叫有限單元法）。這兩種方法的根本差別在于有限元法是建立在直接求函數的近似解基礎上的，而有限差分法則是建立在用差商近似表示導數的基礎上的。除了這兩種方法以外還有特征法（MOC）、積分有限差分法（IFDM）、邊界元法（BEM）等。但“只有有限差分法和有限元法能處理計算地下水文學中的各類一般問題”（Yeh，1999）。所以本教材僅對這兩種方法作一簡單介紹。

有限差分法在20世紀50年代用于石油領域的模擬計算。60年代中期拓寬應用領域，用于解地下水流問題。這種方法有許多優點：①對于簡單問題（如均質，各向同性含水層中的一維、二維穩定流問題）的數學表達式和計算的執行過程比較直觀，易懂。②有相應高效的算法。對巖性、厚度相對比較均勻的地區，有占用內存少、運算速度快的優點。③精度對解地下水流問題來說一般相當好。④有廣泛使用的商用軟件如MODFLOW等可以方便地獲得。

需要注意的是，差分方法要求解滿足方程，所以它必須具有二階導數。由于含水層透水性變化、厚度變化等原因，地下水流在這些透水性、厚度變化大的部位容易發生突變，上述解必須具有二階導數的要求往往就無法滿足，因而影響計算結果。因此，在透水性變化大的含水層中以及含水層厚度變化大的地區，差分方法不宜采用滲透系數、導水系數的算術平均值，只能采用其調和中項或幾何平均值以改善計算結果。對自然邊界條件差分法必須進行特殊處理，靈活性一般來說相對要差一些。因此標準的有限差分法在近似不規則邊界上不如有限元法方便（但積分有限差分法能和有限元法一樣處理不規則邊界），對內部邊界如斷層帶的處理以及模擬點源（匯），滲出面和移動著的地下水面等，有限差分法也不如有限元法好。

有限元法在20世紀60年代后期引入地下水模擬中，其優點是：①程序的統一性。有限元法對各種地下水流、溶質和熱量運移問題，無論簡單的還是復雜的，計算過程基本相同，因而有相同的程序結構，程序編寫比較方便，很多例子表明從解一類問題的程序轉換為解另一類問題的程序比較方便、簡單；②對不規則邊界或曲線邊界，各向異性和非均質含水層，傾斜巖層以及復雜邊界的處理比較方便、簡單；③單元大小比較隨意，同一計算區內可以視需要采用多種單元形狀和多種插值函數以適應水頭、濃度等變量的激烈變化或精度要求；④水流問題，物質輸運問題解的精度一般比有限差分法求得的解高。有限元法的不足是占用計算機內存比較大，運算工作量也大一些。對于簡單問題的處理由于這種方法對簡單問題、復雜問題的程序結構相同，和有限差分法比起來，這一不足更為明顯，它相對需要較多數學上的處理。但實際問題一般都比較復雜，對復雜問題來說，如前述需要較多數學和程序上處理這種不足就不存在了；相反，對復雜水文地質條件有較大適應性反而成為它的優越性了。占用內存大的問題隨著計算機內存的快速提高，大容量計算機的不斷出現和數值方法的改進，早已不再是什么問題了。

有限元法雖有這些優點，但也有缺陷，主要是局部區域（某個單元）質量不守恒，有時會影響計算結果；另一個是和有限差分法等共有的缺陷，即滲流速度、流量只能在先求出水頭，再由Darcy定律算出滲流速度，滲流速度乘以過水斷面面積得到流量，這樣做誤差較大。至今尚未徹底解決。