學習單元2.3　資金等值計算

2.3.1　學習目標

(1)理解資金等值計算相關公式含義。

(2)掌握資金等值計算相關公式形式。

2.3.2　學習內容

資金等值計算相關公式。

2.3.3　任務實施

資金的基本計算公式中常用的幾個符號先加以說明,以便討論。

P——本金或資金的現值,指相對于基準年(點)的數值；

F——到期的本利和,是指從基準年(點)起至第n年年末的數值,一般稱期值或終值；

A——等額年值,是指第1年至第n年的每年年末的一系列等額數值；

G——等差系列的相鄰級差值；

i——折現率或利率,常以%計；

n——期數,通常以年數計。

2.3.3.1　一次收付期值公式

已知本金現值P,求n年后的期值F。

設年利率為i,則第1年年末的期值(或稱本利和)為：F＝P(1＋i)；第2年年末的本利和為：F＝P(1＋i)×(1＋i)＝(1＋i)2；以此類推,可求出第n年年末的期值為

式中(1＋i)n——一次收付期值因子,或一次收付復利因子,常以符號[F/P,i,n]表示。

一次收付相當于銀行的整存整取,見圖2.2。

2.3.3.2　一次收付現值公式

已知n年后的期值F,反求現值P。由式(2.1),可得

式中　1/(1＋i)n——一次收付現值因子,或以[P/F,i,n]表示；

i——貼現率或折現率,其值一般與利率相同。

這種把期值折算為現值的方法,稱為貼現法或折現法。

2.3.3.3　分期等付期值公式

已知一系列每年年末須儲存等額年值A,求n年后的本利和(期值)F。這個問題相當于銀行的零存整取。

由圖2.3可知,第1年年末儲存A,至第n年年末可得期值F1＝A(1＋i)n-1,第2年年末儲存A,至第n年年末可得期值F2＝A(1＋i)n-2,…,第(n-1)年年末儲存A,至第n年年末可得期值Fn-1＝A(1＋i),第n年年末儲存A,則當時只能得Fn＝A,共計到第n年年末的總期值(本利和)F＝F1＋F2＋…＋Fn＝A(1＋i)n-1＋A(1＋i)n-2＋…＋A(1＋i)＋A,或者

上述兩式相減,得F(1＋i)-F＝A(1＋i)n-A,移項后得

式中　——分期等付期值因子,或稱等額系列復利因子,常以[F/A,i,n]表示。

2.3.3.4　基金存儲公式

設已知n年后需更新機組設備費F,為此須在n年內每年年末預先存儲一定的基金A。關于A值的求算,實際上就是式(2.3)的逆運算,即

式中　——基金存儲因子,常以[A/F,i,n]表示。

2.3.3.5　本利攤還公式

設現在借入一筆資金P,年利率為i,要求在n年內每年年末等額攤還本息A,保證在n年后償清全部本金和利息。

由圖2.4可知,第1年年末償還本息A,相當于現值P1＝A/(1＋i),第2年年年末償還本息A,相當于現值P2＝A/(1＋i)2,…,第n年年末償還本息A,相當于現值Pn＝A/(1＋i)n,在n年內償還的本息綜合相當于現值P＝P1＋P2＋…＋Pn,即

上述兩式相減,得

式(2.8)亦可由式(2.4)求得,因F＝P(1＋i)n,故

與式(2.8)相同,式中稱為資金回收因子或本利攤還因子,常以[A/P,i,n]表示。

順便指出,本利攤還因子為

式中的[A/F,i,n]就是每年須提存的基金存儲因子,i就是利率。設已知本金現值為P,則每年還本P[A/F,i,n]和付息Pi,n年后共計還本付息F＝{P[A/F,i,n]＋Pi}[F/A,i,n]＝P(1＋i)n,這相當于n年后一次整付本利和F＝P(1＋i)n。

2.3.3.6　分期等付現值公式

設已知某工程投產后每年年末可獲得收益A,經濟壽命為n年,問在整個經濟壽命期內總收益的現值P為多少?

本命題是已知分期等付年值A,求現值P,可以由式(2.8)進行逆運算求得,即

式中　——分期等不現值因子,或等額系列現值因子,常以[P/A,i,n]表示。

2.3.3.7　等差系列折算公式

設有一系列等差收入(或支出)0,G,2G,…,(n-1)G分別于第1,2,…,n年年末的期值F、在第1年年初的現值P以及相當于等額系列的年攤還值A。已知年利率為i。

(1)已知G,求F。

由圖2.5可知,第n年年末的期值F可用式(2.11)計算。

(2)已知G,求P。

由式(2.2),P＝F/(1＋i)n,代入式(2.11),可得

式中[P/G,i,n]——等差系列現值因子。

(3)已知G,求A。

由式(2.6),,代入式(2.11),可得

式中[A/G,i,n]——等差系列年值因子。

2.3.3.8　等比級數增長系列折算公式

1.期值F的計算公式

設年遞增的百分比為j%,當G1＝1,G2＝(1＋j),…,Gn-1＝(1＋j)n-2,Gn＝(1＋j)n-1。設年利率為i,則n年后的本利和,即期值

式中[F/G1,i,j,n]——等比級數期值因子。

2.現值P的計算公式

根據等比增長系列與等額收付系列的轉換,將式(2.10)代入式(2.14),則

式中[P/G1,i,j,n]——等比級數年值因子。

也可以將式(2.3)代入式(2.14),即

2.3.3.9　等比級數減少系列折算公式

1.期值F的計算公式

設每年減少的百分比為j%,當a＝1,則G1＝(1＋j)n-1,G2＝(1＋j)n-2,…,Gn-1＝(1＋j),Gn＝1。設年利率為i,則n年后本利和(期值)為

2.現值P的計算公式

將F＝P(1＋i)n代入式(2.16),則

3.年均值A的計算公式

將式(2.10)代入式(2.17),則

2.3.3.10　一次收付連續計息期值公式

設資金P在dt的單位時間內的利率為i,則資金P在dt時間內的增值dP＝Pidt,當時間t從0到n后資金由P0增值為Pn,則

稱為一次收付連續計息期值公式。

稱為一次收付連續計息現值公式。

2.3.3.11　分期等付連續計息期值公式

設每年以A元連續均勻地投入資金P中進行擴大再生產,年收益率為i,則在時間dt內,期值為

式中　——分期等付連續計息期值因子,可用fc表示,則

稱為分期等付連續計息期值公式。

或者

稱為連續計息基金存儲公式。

式中　——連續計息基金存儲因子。

2.3.3.12　分期等付連續計息現值公式

設某企業每年凈收益A元,獲得后立即投入擴大再生產,年收益率為i,若按連續計息公式計算,現值為

式中　——分期等付連續計息現值因子,用fP表示。

式(2.24)可改寫為

稱為分期等付連續計息現值公式。

為了便于比較反映資金時間價值的各個計算公式,現將有關的折算因子匯總列于表2.2。

在上述各個基本計算公式中,有現值P、期值(終值)F、年值A、利率i及經濟壽命n(年)等參變數。

2.3.4　案例分析

【例2.1】　已知本金現值P＝100元,年利率i＝12%,求10年后的本利和F為多少?

解：根據式(2.1),F＝P(1＋i)n＝100×(1＋0.12)10＝100×3.1058＝310.58(元)。如果年利率i＝12%不變,但要求每月計息一次,則10年共有120個計息月數,即n＝120,相應的月利率i＝0.12/12＝1%。根據式(2.1),F＝P(1＋i)n＝100×(1＋0.01)120＝100×3.3003＝330.03(元)。

【例2.2】　已知10年后某工程可獲得年效益F＝100萬元,i＝10%,問相當于現在的價值(現值)P為多少?

解：由式(2.2),P＝F[P/F,i,n]＝F[1/(1＋i)n]＝100×[1/(1＋0.1)10]＝38.554(萬元)。

【例2.3】　設每年年末存款100元,年利率i＝10%,第10年年末的本利和(期值)F為多少?

解：根據A＝100元,i＝10%,n＝10年,查附錄或由式(2.3)計算的：

即第10年年末可得本利和F＝1593.7元。

【例2.4】　已知25年后水電站需更換機組設備費F＝100萬元,在它的經濟壽命n＝25年內,問每年年末應提存多少基本折舊基金A?已知i＝10%。

解：

故每年年末應提存基本折舊基金A＝10170元。

【例2.5】　2000年年底借到某工程的建設資金P＝1億元,規定于2001年起每年年底等額償還本息A,于2020年年底償清全部本息,按年利率i＝10%計息,問A為多少?

解：根據式(2.8),n＝20,故

同上,但要求于2011年開始,每年年底等額償還本息A',仍規定在20年內還清全部本息,i＝10%,問A'為多少?

首先選定2011年年初(即2010年年底)作為計算基準年(點),則根據一次收付期值公式求出2011年年初的本利和P'為

自2011年年底開始,至2030年年底每年等額償還本息為

【例2.6】　某工程造價折算為現值P＝5000萬元,工程投產后每年年末尚需支付年運行費u＝100萬元,但每年年末可得收益b＝900萬元,已知該工程經濟壽命n＝40年,i＝10%,問投資修建該工程是否有利?

解：由式(2.10),可求出該工程在經濟壽命期內總收益現值為

包括造價和各年運行費在內的總費用現值C＝P＋u[P/A,i,n]＝5000＋100×9.7797＝5978萬元,效益費用比＝1.47,因B/C＞1,尚屬有利。

【例2.7】　設某水電站機組臺數較多,投產期長達10年。隨著水力發電機組容量的逐年增加,電費年收入為一個等差遞增系列,G＝100萬元,i＝10%,n＝10年,參閱圖2.6。求該水電站在投產期內總效益的現值。

解：由于該電站在第1年年末即獲得效益A＝100萬元,這與圖2.6所示的等差系列模式不同,因此必須把這個等差系列分解為兩部分：①A＝100萬元的分期等付系列；②G＝100萬元的等差系列,這樣才符合圖2.6所示的模式。現分別求這兩個系列的現值。

(1)已知A＝100萬元,n＝10,i＝10%,根據式(2.10)有

(2)已知G＝100萬元,n＝10,i＝10%,根據式(2.12)有

上述兩部分合計總效益的現值P＝P1＋P2＝614.46＋2289.2＝2903.66(萬元)。

(3)亦可根據下式直接求出P值。

【例2.8】　某水利工程于2001年投產,該年年底獲得年效益G1＝200萬元,以后擬加強經營管理,年效益將以j＝5%的速度按等比級數逐年遞增。設年利率i＝10%,問2010年年末該工程年效益為多少?在2001—2010年的十年內總效益現值P及其年均值A各為多少?

解：(1)根據G1＝200萬元及j＝5%,n＝10年,預計該工程在2000年年末的年效益為

(2)根據式(2.15),該工程在2001—2010年的總效益現值為

(3)該工程在2001—2010年的效益年均值為

【例2.9】　某水庫于2000年年底建成后年效益為162.9萬元,投入運行后由于水庫淤積等原因,估計年效益以j＝5%的速度按等比級數逐年遞減。假設年利率i＝10%,問2010年年末該水庫年效益為多少?在2001—2010年效益遞減的十年內總效益現值P及其年均值A各為多少?

解：(1)根據2000年年底水庫年效益尚保持為162.9萬元,以后逐年遞減率j＝5%,預計2010年水庫年效益為

(2)根據式(2.17),該水庫在2001—2010年的總效益現值為

(3)根據式(2.18),該水庫在2001—2010年的效益年均值為