4.4　位移變分法

上一節(jié)中導出的位移變分方程，給彈性力學問題提供這樣一個近似解法：設定一組包含若干待定系數的位移分量的表達式，使其滿足位移邊界條件，然后再令其滿足位移變分方程（等價于平衡微分方程和應力邊界條件），從中求出待定系數，從而得出問題的位移解答。

試取位移分量的表達式如下：

式中，Am、Bm、Cm為互不依賴的3m個系數；u0、v0、w0為設定的函數，在給定位移的邊界上，它們的邊界值等于邊界上的已知位移；um、vm、wm為在該邊界上等于零的設定函數。這樣，不論系數Am、Bm、Cm如何取值，u、v、w總能滿足位移邊界條件。注意：位移的變分只是由系數Am、Bm、Cm的變分來實現，至于各個設定函數，則僅隨坐標而變，與位移的變分完全無關。

根據上式，位移分量的變分是

而應變能的變分是

根據式（4-1），得

進行移項，將每個系數的變分歸并，得到

因為變分δAm、δBm、δCm是完全任意的，而且是互不依賴的，所以它們在上式中的系數必須等于零。于是得到

上式中各系數是互不依賴的，因此總可以由這些方程求得各個系數，從而求得位移分量。很多文獻上把這個方法稱為里茨法。

如果，使得位移邊界條件和應力邊界條件都能得到滿足，則可以得到

根據δAm、δBm、δCm的任意性，它們的系數應當分別等于零，于是得到

將上述三方程中的應力分量通過物理方程用應變分量表示，再通過幾何方程用位移分量表示，簡化以后，即得

這個方法稱為伽遼金法。

用位移變分法求得位移分量以后，不難通過彈性方程求得應力分量，但往往出現這樣的情況。取少量系數Am、Bm、Cm，就可以求得較精確的位移，而由此求出的應力卻很不精確。為了求得的應力充分精確，必須取更多的系數。

人物

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant（圣維南，1797—1886年）是法國力學家。1855年和1856年，Saint-Venant用半逆解法分別求解柱體扭轉和彎曲問題，其認為“如果柱體端部兩種外加載荷在靜力學上是等效的，則端部以外區(qū)域內兩種情況中應力場的差別甚微”。1885年，布森涅斯克把這個思想加以推廣，并稱之為“圣維南原理”。

Saint-Venant研究結果大多發(fā)表于法國科學院學報上。1864年，他在為老師Navier的著作《力學在結構和機械方面的應用》編輯第三版時，在書中加入了大量注釋和附篇，使Navier的原著只占全書的十分之一。Saint-Venant在這些注釋和附篇中表述了自己對材料力學和彈性力學的許多見解。