4.4　位移變分法

上一節(jié)中導(dǎo)出的位移變分方程，給彈性力學(xué)問(wèn)題提供這樣一個(gè)近似解法：設(shè)定一組包含若干待定系數(shù)的位移分量的表達(dá)式，使其滿足位移邊界條件，然后再令其滿足位移變分方程（等價(jià)于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件），從中求出待定系數(shù)，從而得出問(wèn)題的位移解答。

試取位移分量的表達(dá)式如下：

式中，Am、Bm、Cm為互不依賴的3m個(gè)系數(shù)；u0、v0、w0為設(shè)定的函數(shù)，在給定位移的邊界上，它們的邊界值等于邊界上的已知位移；um、vm、wm為在該邊界上等于零的設(shè)定函數(shù)。這樣，不論系數(shù)Am、Bm、Cm如何取值，u、v、w總能滿足位移邊界條件。注意：位移的變分只是由系數(shù)Am、Bm、Cm的變分來(lái)實(shí)現(xiàn)，至于各個(gè)設(shè)定函數(shù)，則僅隨坐標(biāo)而變，與位移的變分完全無(wú)關(guān)。

根據(jù)上式，位移分量的變分是

而應(yīng)變能的變分是

根據(jù)式（4-1），得

進(jìn)行移項(xiàng)，將每個(gè)系數(shù)的變分歸并，得到

因?yàn)樽兎枝腁m、δBm、δCm是完全任意的，而且是互不依賴的，所以它們?cè)谏鲜街械南禂?shù)必須等于零。于是得到

上式中各系數(shù)是互不依賴的，因此總可以由這些方程求得各個(gè)系數(shù)，從而求得位移分量。很多文獻(xiàn)上把這個(gè)方法稱為里茨法。

如果，使得位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件都能得到滿足，則可以得到

根據(jù)δAm、δBm、δCm的任意性，它們的系數(shù)應(yīng)當(dāng)分別等于零，于是得到

將上述三方程中的應(yīng)力分量通過(guò)物理方程用應(yīng)變分量表示，再通過(guò)幾何方程用位移分量表示，簡(jiǎn)化以后，即得

這個(gè)方法稱為伽遼金法。

用位移變分法求得位移分量以后，不難通過(guò)彈性方程求得應(yīng)力分量，但往往出現(xiàn)這樣的情況。取少量系數(shù)Am、Bm、Cm，就可以求得較精確的位移，而由此求出的應(yīng)力卻很不精確。為了求得的應(yīng)力充分精確，必須取更多的系數(shù)。

人物

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant（圣維南，1797—1886年）是法國(guó)力學(xué)家。1855年和1856年，Saint-Venant用半逆解法分別求解柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲問(wèn)題，其認(rèn)為“如果柱體端部?jī)煞N外加載荷在靜力學(xué)上是等效的，則端部以外區(qū)域內(nèi)兩種情況中應(yīng)力場(chǎng)的差別甚微”。1885年，布森涅斯克把這個(gè)思想加以推廣，并稱之為“圣維南原理”。

Saint-Venant研究結(jié)果大多發(fā)表于法國(guó)科學(xué)院學(xué)報(bào)上。1864年，他在為老師Navier的著作《力學(xué)在結(jié)構(gòu)和機(jī)械方面的應(yīng)用》編輯第三版時(shí)，在書中加入了大量注釋和附篇，使Navier的原著只占全書的十分之一。Saint-Venant在這些注釋和附篇中表述了自己對(duì)材料力學(xué)和彈性力學(xué)的許多見解。