4.1　彈性體的應變能

假定彈性體在受力過程中始終保持靜力平衡，因而沒有功能的改變，而且彈性體的非機械能也沒有變化。于是，根據熱力學第一定律，外力所做的功就完全轉變為彈性體因變形而儲存于彈性體內部的能量。這個儲存于彈性體內部的能量，稱為應變能（也稱形變勢能或內能）。

應變能可以用應力在其相應的應變上所做的功來計算。設彈性體只在某一個方向（如x方向）受有均勻的正應力σx，相應的正應變為εx，則單位體積內具有的應變能，即應變能密度為

當彈性體的應力—應變關系為線性時，由于σx=Eεx，則有

彈性力學基本假定之一：完全彈性假定

假定物體在引起變形的外界因素被取消以后，能完全恢復原狀而沒有任何剩余變形，并且完全服從胡克定律，即應變與引起該應變的應力成比例，二者具有線性關系。

設彈性體只在某兩個互相垂直的方向（如x和y方向，）受有均勻的切應力τxy，相應的切應變為γxy，則應變能密度為。

設彈性體受有全部六個應力分量，則應變能的計算似乎很復雜，因為這時每一個應力分量會引起與另一個應力分量相應的應變分量，好像應變能將隨著彈性體受力次序不同而不同。但是，根據能量守恒定理，應變能的多少與彈性體受力的次序無關，而完全確定于應力及應變的最終大小。因此，假定六個應力分量和六個應變分量全都同時按同樣的比例增加到最后的大小，這樣就可以很簡單地算出相應于每一個應力分量的應變能密度，然后把它們相疊加，從而得出全部應變能密度為

在一般的情況下，彈性體受力并不均勻，各個應力分量和應變分量一般都是位置坐標的函數，因而應變能密度υε一般也是位置坐標的函數。為了得出整個彈性體的應變能Vε，必須把應變能密度υε在整個彈性體內進行積分，設彈性體的體積為V，則有

為了將應變能密度和應變能用應變分量來表示，須利用應變分量表示應力分量的物理方程。由此得出

由于0<μ<0.5，故由上式可見：不論變形如何，彈性體的應變能總不會是負的。在所有的應變分量都等于零的情況下，應變能才等于零。

知識擴展

分別對六個應變分量求導，得出

以上式子表明：彈性體的應變能密度對于任一應變分量的改變率，就等于相應的應力分量。

另外，應變能還可以用位移分量來表示，只須將幾何方程代人即可。

類似的，可以用表示單位體積內的應變余能，即應變余能密度。雖然應變余能密度和應變能密度的數值相等，但它們的自變量是不同的。整個彈性體的應變余能也可以類似推導。