3.1　平衡微分方程

分析空間問(wèn)題時(shí)，仍然要從三方面來(lái)考慮：靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方面和物理學(xué)方面。現(xiàn)在考慮空間問(wèn)題的靜力學(xué)方面，導(dǎo)出空間問(wèn)題的平衡微分方程。

在物體內(nèi)任意一點(diǎn)P，取一個(gè)微小的長(zhǎng)方體，它的六面垂直于坐標(biāo)軸，棱邊長(zhǎng)為PA=dx，PB=dy，PC=dz。因?yàn)閼?yīng)力分量是位置坐標(biāo)的函數(shù)，所以，作用在這六面體兩對(duì)面上的應(yīng)力分量不完全相同，而具有微小的差量。通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并近似處理，六個(gè)面上的應(yīng)力分量如圖3-1所示。

首先，以x軸為投影軸，列出平衡方程∑Fx=0，得

化簡(jiǎn)后得出

由其余兩個(gè)平衡方程∑Fy=0和∑Fz=0，可以得出與此相似的兩個(gè)方程，即

以連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，列出力矩的平衡方程∑Mab=0，即

化簡(jiǎn)以后，得

τyz=τzy　　（3-4）

同理，可以得

τxz=τzx　　（3-5）

τxy=τyx　　（3-6）

式（3-1）、式（3-2）、式（3-3）、式（3-4）、式（3-5）和式（3-6），就是空間問(wèn)題的平衡微分方程。