3.1　平衡微分方程

分析空間問題時，仍然要從三方面來考慮：靜力學方面、幾何學方面和物理學方面。現在考慮空間問題的靜力學方面，導出空間問題的平衡微分方程。

在物體內任意一點P，取一個微小的長方體，它的六面垂直于坐標軸，棱邊長為PA=dx，PB=dy，PC=dz。因為應力分量是位置坐標的函數，所以，作用在這六面體兩對面上的應力分量不完全相同，而具有微小的差量。通過泰勒級數展開，并近似處理，六個面上的應力分量如圖3-1所示。

首先，以x軸為投影軸，列出平衡方程∑Fx=0，得

化簡后得出

由其余兩個平衡方程∑Fy=0和∑Fz=0，可以得出與此相似的兩個方程，即

以連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，列出力矩的平衡方程∑Mab=0，即

化簡以后，得

τyz=τzy　　（3-4）

同理，可以得

τxz=τzx　　（3-5）

τxy=τyx　　（3-6）

式（3-1）、式（3-2）、式（3-3）、式（3-4）、式（3-5）和式（3-6），就是空間問題的平衡微分方程。