2.8　圣維南原理

在求解彈性力學問題時，使應力分量、應變分量、位移分量完全滿足基本方程并不困難；但是，要使得邊界條件也得到完全滿足，卻往往困難很大（因此，彈性力學問題在數學上被稱為邊值問題）。

另一方面，在很多的工程結構計算中，都會遇到這樣的情況：在物體的一小部分邊界上，僅僅知道物體所受的面力的合成，而這個面力的分布方式并不明確，因而無從考慮這部分邊界上的應力邊界條件。

在上述兩種情況下，圣維南原理有時可以提供很大的幫助。

圣維南原理為：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同）。那么，近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以忽略不計。

圣維南原理的圖解如圖2-9所示，例如，設有柱形構件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P。如果把一端或兩端的拉力變換為靜力等效的力，則只有虛線畫出的部分的應力分布有顯著的改變，而其余部分所受的影響是可以不計的。如果再將兩端的拉力變換為均勻分布的拉力，集度等于P/A，A為構件的橫截面面積，仍然只有靠近兩端部分的應力受到顯著的影響。這就是說，在圖2-9所示的四種情況下，離開兩端較遠的部分的應力分布，并沒有顯著的差別。

必須注意：應用圣維南原理，絕不能離開“靜力等效”的條件。另外，圣維南原理只能應用于物體的一小部分邊界上（又稱為局部邊界、小邊界或次要邊界），因為如果應用于大邊界上（又稱為主要邊界），必然使整個物體的應力狀態發生顯著改變。

人物

Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy（柯西，1789—1857年）是法國數學家、物理學家、天文學家。1807—1810年，Cauchy在école des-ponts Paris Tech（法國國立路橋學校）學習，曾當過交通道路工程師。由于身體欠佳，接受了拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師而致力于純數學的研究。Cauchy在數學上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發展史上的精華，也是Cauchy對人類科學發展所做的巨大貢獻。Cauchy在其他方面的研究成果也很豐富。復變函數的微積分理論就是由他創立的。在代數方面、理論物理、光學、彈性理論方面，也有突出貢獻。

Cauchy、Navier和Saint Venant架設了早期的彈性力學。1828年，Cauchy引進了應力和應變的概念，并推導出平衡微分方程和幾何方程。因此，人們常以此為彈性力學的真正開端。