2.2 等效電源定理
在電路分析中，有時只需求出電路中某一條支路的響應，此時可將該支路以外的電路用等效電路來代替，等效為電路求解提供了很大的方便。第1章曾介紹了電路的等效分析法：端口伏安關系和模型互換法。本節介紹的等效電源定理也是一種等效變換的方法。
等效電源定理說明的就是如何將線性有源二端網絡（內部含獨立源、線性電阻和線性受控源的二端網絡）等效為一個電源，即戴維南定理和諾頓定理。兩個定理具有對偶性。
1.戴維南定理
任何一個線性含源二端網絡N，對外電路的作用可用一個理想電壓源和電阻的串聯組合來等效，該理想電壓源的電壓uOC等于該網絡在端口處的開路電壓，電阻R0等于該含源二端網絡內所有獨立源置零后的等效電阻。這就是戴維南定理，如圖2-9所示。這個定理是由法國電報工程師戴維南（Leon M. Thevenin）于1883年提出來的。
圖2-9 戴維南定理
上述理想電壓源和電阻的串聯組合，稱為戴維南等效電路，電阻R0又稱為戴維南等效電阻。
下面對戴維南定理進行證明。
圖2-10a所示電路中，N為線性含源二端網絡。因為二端網絡端口伏安關系與外電路無關，所以可在端口處施加一電流源iS=i，端口電壓為u，如圖2-10b所示。
根據疊加定理，二端網絡N端口處的電壓u可以看作由兩個部分組成：一是由網絡N內所有獨立源共同作用時產生的，二是由外加電流源單獨作用產生的。
當網絡N內所有獨立源作用時，端口電壓為開路電壓，即u1=uOC，如圖2-10c所示；當N網絡內所有獨立源置零（用N0表示無源網絡）時，如圖2-10e所示，僅由外加電流源作用時的端口電壓為u2=-R0i，R0為N0的等效電阻。
因此，該二端網絡N的端口電壓為
式（2.2-1）是線性有源二端網絡N的端口伏安關系。由此伏安關系可畫出等效電路如圖2-10e中虛線框內的電路所示。圖2-10a和圖2-10e具有相同的伏安關系，也就是說這兩個電路是等效。證畢。
圖2-10 戴維南定理的證明
等效電源定理在網絡分析中有廣泛應用，可以將復雜的二端網絡等效為簡單的實際電源模型，特別適用于計算復雜電路中某一條支路的電壓或電流。應用等效電源定理分析電路的基本步驟可歸納如下。
1）斷開待求支路，求出待求支路以外的有源二端網絡的開路電壓uOC。
2）將二端網絡內所有獨立源置零（即電壓源短路，電流源開路），求該無源二端網絡的等效電阻。
3）畫出戴維南等效電路，接上待求支路，求取響應。
等效電源定理求解等效電路，包括一個電壓源和一個電阻。電壓源的電壓是二端網絡端口開路時的開路電壓。可用之前介紹的電阻電路的各種分析法直接求解。下面總結等效電阻R0的3種求解方法。
1）不含受控源（純電阻網絡）時采用電阻等效變換法。若二端網絡N為純電阻網絡（不含受控源），則可以直接利用電阻串并聯等效和
-△轉換等規律來計算。
2）含受控源時采用外加激勵法：即先將二端網絡N內獨立源置零，再在網絡N0端口處施加一個電壓源u，求出端口的電流i，如圖2-11a所示，稱為加壓求流法；或者在網絡N0端口處施加一個電流源i，求出端口的電壓u，如圖2-11b所示，稱為加流求壓法。二端網絡內等效電阻為端口電壓與端口電流的比值，即R0=u/i。
圖2-11 外加激勵法
3）含受控源時采用開路-短路法：分別求得含源二端網絡N的開路電壓uOC和短路電流iSC，如圖2-12所示，于是，等效電阻
。
注意：前兩種方法在求取等效電阻時，需將二端網絡N內的獨立源置零，而第三種方法求取等效電阻時，應保留網絡N內的所有獨立源。
例2-7 如圖2-13所示電路，求電阻R為1Ω時的電流i。
圖2-12 開路—短路法
圖2-13 例2-7題圖
解：利用戴維南定理求解。先斷開待求支路電阻R，得到圖2-14a所示電路，求ab端口開路電壓為
圖2-14 例2-7用圖
再求電路的等效電阻。將9 V電壓源短路，如圖2-14b所示，由圖可得等效電阻R0為
畫出戴維南等效電路，接上電阻R后，原電路等效為圖2-14c所示。
待求支路電流為
顯然，利用等效電源定理求解此題，要比用端口伏安關系法和電源模型互換法更加簡單。
例2-8 用等效電源定理求圖2-15a中流過5Ω電阻的電流i。
圖2-15 例2-8用圖
解：1）求開路電壓uOC。斷開待求5Ω電阻，如圖2-15b所示。列網孔電流方程
求得
i1=1 A，則uOC=3i1-1i2=-6 V
2）求等效電阻R0，將獨立源置零，如圖2-15c所示，得
R0=（4+2）//3+1=3Ω
3）畫出戴維南等效電路，接上5Ω電阻，原電路等效為如圖2-15d所示，則
2.諾頓定理
任何一個線性含源二端網絡N，對外電路的作用可用一個理想電流源和電導的并聯組合來等效，該理想電流源的電流iSC等于該網絡在端口處的短路電流，電導G0等于該含源二端網絡內所有獨立源置零后的等效電導。這就是諾頓定理，如圖2-16所示。這個定理是由美國電氣工程師諾頓（E.L.Norton）于1926年提出的。
圖2-16 諾頓定理
上述理想電流源和電導的并聯組合，稱為諾頓等效電路，電導G0稱為諾頓電導。諾頓定理中等效電阻的定義和戴維南定理中等效電阻的定義相同，因此求解等效電阻的方法也相同。實際電壓源模型和實際電流源模型可以等效互換，因此戴維南等效電路和諾頓等效電路也可以等效互換，其等效條件是：uOC=R0iSC或
，
。
一般來說，二端網絡的兩種等效電路都存在。但當網絡內含有受控源時，其等效電阻可能為零，這時戴維南等效電路即為理想電壓源，其諾頓等效電路不存在。如果網絡等效電導為零，這時諾頓等效電路即為理想電流源，其戴維南等效電路不存在。
例2-9 用諾頓定理求圖2-17所示電路中的負載電阻的電流i。
圖2-17 例2-9題圖
解：1）先斷開待求支路，求端口短路電流iSC，如圖2-18a所示。圖中3Ω電阻被短路，根據兩類約束列方程為
聯立求解得
iSC=4 A
2）求等效電阻R0。
方法一：外加激勵法。將電壓源置零（短路），受控源保留，在端口加一電壓源u，得電路如圖2-18b所示。
圖2-18 例2-9用圖
設端口電流為i，則等效電阻
。故找出該無源二端網絡端口電壓u和電流i的伏安關系即可求得等效電阻，即
聯立求解得
即等效電阻
方法二：開路短路法。
先求開路電壓uOC：斷開待求1Ω電阻，如圖2-18c所示。列方程為
聯立求解得
下面由開路短路法求得等效電阻為
3）由求得的短路電流iSC和等效電阻R0，可畫出原二端網絡的諾頓等效電路，再接上負載，如圖2-18d所示。根據分流公式，負載上的電流為
