2.1 齊次定理和疊加定理

由線性電路元件和電源組成的電路稱為線性電路。線性電路有兩個(gè)重要性質(zhì)：齊次性（或比例性）和疊加性（或可加性）。由這兩個(gè)性質(zhì)可總結(jié)為兩個(gè)重要定理：齊次定理和疊加定理。電路中的許多定理和方法要依靠線性性質(zhì)推導(dǎo)出來(lái)。

2.1.1 齊次定理

齊次定理描述了線性電路中只有一個(gè)激勵(lì)作用時(shí)激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系。其具體內(nèi)容是：具有唯一解的線性電路，當(dāng)電路中只有一個(gè)激勵(lì)源（獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源）作用時(shí)，其響應(yīng)（電壓或電流）與激勵(lì)成正比。

例如，若激勵(lì)是電流源i_S，響應(yīng)是電壓u，則有u=ki_S。式中，k為常數(shù)，只與電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)無(wú)關(guān)。

例2-1 如圖2-1所示，求圖中的I₁。若電壓源變?yōu)?0 V時(shí)，求I₁。

解：圖2-1a中，利用電阻并聯(lián)分流公式，解得

當(dāng)電壓源變?yōu)?0 V時(shí)，解得

由計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)電路中只有一個(gè)激勵(lì)源時(shí)，響應(yīng)與激勵(lì)成正比關(guān)系。當(dāng)電路中所有激勵(lì)同時(shí)激勵(lì)增大K倍，響應(yīng)也增大K倍。

例2-2 如圖2-2所示電路中，i_S=15 A，求電流I₀。

解：利用齊次定理求解。

不妨先假設(shè)電流I₀=1 A，由圖很容易計(jì)算出i_S=5 A。根據(jù)齊次定理，當(dāng)i_S=15 A時(shí)，×15 A=3 A。

2.1.2 疊加定理

疊加定理是線性電路的一個(gè)重要定理。疊加定理的內(nèi)容是：對(duì)于具有唯一解的線性電路，多個(gè)激勵(lì)源共同作用時(shí)引起的響應(yīng)（電壓或電流）等于各個(gè)激勵(lì)源單獨(dú)作用時(shí)（其他獨(dú)立源置零）所引起的響應(yīng)的代數(shù)和。獨(dú)立源單獨(dú)作用，是指每個(gè)或一組獨(dú)立源作用時(shí)，其他獨(dú)立源均置零（即獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源開(kāi)路），而電路的結(jié)構(gòu)、所有電阻和受控源均不得變化。

例2-3 求電路圖2-3a所示電路中的I。

解：圖2-3a中5Ω電阻與電壓源并聯(lián)，電路可等效為圖2-3b。采用網(wǎng)孔法求解。設(shè)網(wǎng)孔電流與I和i_S一致（大小和參考方向均相同），則網(wǎng)孔方程為

5I-4i_S=-u_S

解得

由該計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)兩個(gè)激勵(lì)u_S和i_S同時(shí)作用時(shí)，響應(yīng)I是這兩個(gè)激勵(lì)的線性組合。

再看原電路，當(dāng)電流源i_S=0時(shí)，電路中只有電壓源單獨(dú)作用，如圖2-4a所示，此時(shí)的電流I=I₁為

而當(dāng)電壓源u_S=0時(shí)，電路只有電流源單獨(dú)作用，如圖2-4b所示，此時(shí)的電流I=I₂為

而當(dāng)電路中有兩個(gè)激勵(lì)源同時(shí)作用時(shí)，如圖2-3a所示，可以看作僅由電壓源u_S單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流I₁和僅由電流源i_S單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流I₂的代數(shù)和。因此有

響應(yīng)與激勵(lì)的這種規(guī)律，不僅對(duì)于本例才有，所有具有唯一解的線性電路都具有這種規(guī)律。

疊加定理是線性電路的重要定理，應(yīng)用疊加定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

1）疊加定理只適用于線性電路（包括線性時(shí)變電路），對(duì)非線性電路不適用。

2）疊加定理只適用于計(jì)算電壓和電流。應(yīng)用疊加定理時(shí)，要注意電流和電壓的參考方向。

3）求功率時(shí)不能按疊加的方法計(jì)算，因?yàn)楣β逝c激勵(lì)不是一次函數(shù)關(guān)系。

4）含有受控源的有源線性電路，疊加定理也適用，但受控源不能置零。即在獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)，受控源應(yīng)保留。

例2-4 利用疊加定理，求圖2-5電路中電流I。

解：利用疊加定理求解。電路中含有受控電壓源，當(dāng)獨(dú)立源置零時(shí)，受控源不置零。

1）當(dāng)5V電壓源單獨(dú)作用時(shí)，2A電流源置零（開(kāi)路），設(shè)網(wǎng)孔電流如圖2-6a所示，列網(wǎng)孔電流方程，有

解方程組，得

I₁=0

2）當(dāng)2 A電流源單獨(dú)作用時(shí)，5 V電壓源置零（短路），如圖2-6b所示，有

解方程組，得

I₂=-4 A

故由疊加定理可得

I=I₁+I₂=-4 A

例2-5 如圖2-7所示電路中，N₀為不含有獨(dú)立源的線性電路。已知：當(dāng)u_S=1 V，i_S=1 A時(shí)，測(cè)得電壓u=0；u_S=10 V，i_S=0時(shí)，測(cè)得電壓u=1 V。求當(dāng)u_S=0 V，i_S=10A時(shí)，電壓u=？

解：根據(jù)疊加定理，可將電路中的激勵(lì)源分為兩組，分別為電壓源u_S和電流源i_S。

設(shè)僅由電壓源u_S作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)為u₁，則u₁=au_S（齊次定理）。

僅由電流源i_S作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)為u₂，則u₂=bi_S。

于是，疊加后為

u=u₁+u₂=au_S+bi_S

將已知條件代入得

則當(dāng)u_S=0 V，i_S=10 A時(shí)，電壓為

u=（0.1×0）+（-0.1×10）=-1 V

例2-6 如圖2-8所示電路中，N為含有獨(dú)立源的線性電路。已知：當(dāng)u_S=0 V時(shí)，測(cè)得電流i=4 mA；u_S=10 V時(shí)，測(cè)得電流i=-2 mA。求當(dāng)u_S=-15 V時(shí)的電流i。

解：根據(jù)疊加定理，可將電路中的激勵(lì)源分為兩組，分別為電壓源u_S和N內(nèi)所有的獨(dú)立源。

設(shè)僅由電壓源u_S作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)為i₁，則i₁=au_S（齊次定理）。

僅由N內(nèi)所有獨(dú)立源共同作用產(chǎn)生的響應(yīng)為i₂，則i₂=b。

于是，疊加后為

i=i₁+i₂=au_S+b

將已知條件代入得

則當(dāng)u_S=-15 V時(shí)，電流為

i=[-0.6×（-15）+4] mA=13 mA