第三節 經濟增長率與全要素生產率增長率關系公式

宏觀經濟層面的全要素生產率增長率，同經濟增長率有著直接的關系。正因為如此，度量全要素生產率的增長率，而不是度量全要素生產率的絕對水平，成為生產率研究的一個至關重要的核心問題。

一 為什么全要素生產率增長率更受關注

在全面展開全要素生產率相關問題分析之前，有必要明確為什么度量全要素生產率增長率，而不是度量其絕對數量值的水平，是相對更為重要的問題。有關原因如下：

第一，基于經濟增長分析的需要。在經濟增長分析中，人們對經濟增長率的關注，通常高于對經濟總量的關注。這是因為在經濟增長方面，人們通常更關注增長的幅度。增長率的信息比總量的信息相對更容易識別和比較。例如，如果資料顯示 A 地區2017年GDP 為2萬億元，2018年為2.2萬億元，則據此信息是難以很快得出對該地區經濟增長狀況的評判的。但是，如果說2018年A地區按可比價格計算的GDP比上年增長10%，則此信息對該地區經濟增長狀況的表述是清晰明了的，據此容易得出該經濟增長是快或慢的判別。

第二，全要素生產率增長率是經濟增長率的直接組成部分。在后面的有關推導中可以看到，全要素生產率增長率是經濟增長率的直接組成部分。這意味著全要素生產率增長率的變動，本身就是經濟增長率的變動。因此，全要素生產率增長率的狀況，可直接用于經濟增長源泉的分析。

第三，基于計算可行性的需要。雖然全要素生產率的定義是總產出與總投入之比，即定義的形式是簡單的，但是要實際測算這個比值，特別是測算宏觀經濟層面上的這個比值，則通常是非常困難甚至是無法實現的。這種困難主要是來自對總產出與總投入度量的困難。相比較而言，測算全要素生產率的增長率，而不是絕對數量值的水平，則是相對容易的。目前已經有較多的測算全要素生產率增長率的方法，而測算總產出與總投入的方法則是很不夠的。特別是在理論上可以證明，全要素生產率增長率的計算結果與總產出和總投入的度量無關。關于此結論的證明，可參見本書第五章的有關內容。

第四，基于橫向對比分析的需要。如果測算全要素生產率的絕對數值，其結果受許多因素的影響，從而使其可比性變得相對較差。例如，不同國家或地區由于在地域面積、人口規模、資源稟賦以及經濟發展階段性等諸多方面或存在著巨大的差異，因而導致全要素生產率的絕對數值的可比性較差，甚至是完全不具有可比性。例如，發達國家的全要素生產率的絕對水平（體現的是總體技術水平），毫無疑問地必然顯著高于貧窮落后的國家，否則所謂的發達國家就不是真正的發達國家了。因此，比較發達國家和貧窮國家的全要素生產率的絕對數值水平是沒有意義的。但是，比較不同國家的全要素生產率增長率的數值結果則是可行的，是有可比性的。這是因為增長率比較的是快慢，因此在全要素生產率增長率指標上，發達國家低于貧窮落后國家的情況是可能的，即貧窮國家在增速方面快于發達國家是可能的。實際上，對不同經濟體的全要素生產率增長率進行比較分析，有助于識別不同經濟體的經濟增長方式特點以及動力源泉等特征，由此可以取得不同的經濟增長的經驗。

第五，增長率形式可以通過轉化為指數的形式，以間接的形式體現絕對數值的情況。增長率轉變為指數形式的一種基本思路是將各期的增長率轉變成相對于基期的指數，由此可以通過間接的方式體現全要素生產率的絕對水平。

由增長率轉變為絕對數形式的指數，可按下面提供的方法進行：設ai為i期變量A的增長率，其中i=0,1,2,…,n。現設第0期為基期，并假定基期的絕對水平為1。于是，第1期的絕對數值是在第0期的基礎上增長a1，因此第1期的絕對數值為（1+a1）。同樣，第2期的絕對數值是在第1期的基礎上增長a2，因此第2期的絕對水平值為（1+a1）（1+a2）。如此下去，第i期的絕對水平值為（1+a1）（1+a2）…（1+ai）。通過此方法可將增長率轉變為絕對數值形式的指數。上述表述的過程可用表2-1排列的方式直觀體現：

可以看到，上面排列中的指數列是依次連乘的關系，即形成 {1,（1+a1）,（1+a1）（1+a2）,…,（1+a1）（1+a2）…（1+ai）,…} 的序列。這個序列是以指數為絕對值形式的數據。由于基期的指數為1，其他各期指數同基期相比較，便容易得到對指數體現的絕對數量水平的判斷。

二 經濟增長率與全要素生產率增長率關系公式的推導

下面從全要素生產率的定義出發，開始進行全要素生產率的經濟學分析。如前面所述，全要素生產率的定義是總產出與總投入之比。因此，設A表示全要素生產率，Y表示一定生產的總產出，Z表示為了生產Y總投入，則A為下面的表達式：

現假定A、Y和Z各變量的對數存在（對此只需各變量的數值大于零），并且都是關于時間T可導。于是，由（2-1）式可以轉換為下面的關系式：

對（2-2）式兩邊取對數，即得到下面的關系式：

再對（2-3）式兩邊關于時間T求導，得到下面的關系式：

（2-4）式即是體現了經濟增長率與全要素生產率增長率關系的公式。

為了進一步說明該公式的經濟含義，需要明確及 三項表達式的經濟含義。基于數學知識可知，這三項表達式的經濟含義分別是變量Y、A和Z的增長率。對此有如下的解釋：

在數學中，dY表示變量Y的微分，即Y的微小變化量。同樣，dT表示變量T的微分。于是，為Y關于時間T的變化率，也就是Y關于時間T的導數。而的意義則是相比較于Y的相對變化率，也就是 為變量Y的增長率。由于在數學上可以轉換為的形式，因此變量Y的增長率即為。事實上，是變量Y的增長率的一種精確定義式。同理，和分別為變量A和變量Z的增長率。

因此，根據以上所述可知（2-4）式中的 為總產出增長率。總產出增長率在宏觀經濟層面即為經濟增長率。相應地，為全要素生產率增長率，為總投入增長率。這意味著（2-4）式的經濟含義是：總產出增長率（經濟增長率）等于全要素生產率增長率與總投入增長率之和。對此，可用文字表述（2-4）式的經濟含義如下：

因此，（2-4）式或（2-5）式就是經濟增長率與全要素生產率增長率關系公式。顯然，（2-4）式或（2-5）式表明，全要素生產率增長率是經濟增長率的直接組成部分，進而表明全要素生產率增長率的變動直接影響經濟增長率的變動。將（2-5）式表示為（2-6）式的形式：

在（2-6）式中，第一項即全要素生產率增長率同經濟增長率之比，體現了全要素生產率因素對經濟增長率的貢獻率。第二項即總投入增長率同經濟增長率之比，體現了總投入因素對經濟增長率的貢獻率。這兩項貢獻率之和為1，即表明由生產方面決定的經濟增長率最終歸結為來自全要素生產率增長率的貢獻以及總要素投入增長率的貢獻，也就是全要素生產率和要素投入是經濟增長的根源。事實上，正是基于（2-5）式或（2-6）式所表明的關系，使全要素生產率增長率的測算與分析成為探究經濟增長動力源泉的重要渠道。

三 區分全要素生產率與全要素生產率增長率的不同

提出全要素生產率與全要素生產率增長率不同的問題，是因為在實際應用中經常出現將全要素生產率與全要素生產率增長率混為一談的情況。顯然，如果注意到了全要素生產率與全要素生產率增長率的區別，則二者之間的不同是不言自明的。如果設A為全要素生產率，則全要素生產率增長率是關于全要素生產率的時間變化率，因此全要素生產率與全要素生產率增長的不同是顯然的。如果從數學上看，若A為全要素生產率，并假設A的對數關于時間T是可導的，則全要素生產率增長率為。顯然，A與的區別是一目了然的。

然而，在現實中經常出現將全要素生產率和全要素生產率增長率相混淆的情況，誤把全要素生產率增長率當作全要素生產率對待。如常見的一種錯誤表述是：全要素生產率是產出增長率扣除各要素投入的增長率后的余值。因此需要再次指出：全要素生產率是一種比率，不是“余值”，所謂的“余值”是有關全要素生產率增長率的問題，不能混為一談。出現這種情況的一個原因是，在當前經濟學教材中關于全要素生產率問題的引入并不統一，有些是直接從全要素生產率增長率開始談全要素生產率問題的，如通常從“索洛余值”問題引入。甚至在一些教材中自始至終都沒有提到全要素生產率的定義是什么，以至于有些人誤以為全要素生產率增長率就是全要素生產率。

所謂“索洛余值”是指經濟增長率與加權要素投入增長率之和的差值。在生產規模收益不變的條件下，這一差值等于全要素生產率增長率。這是由美國經濟學家索洛（1957）發現并提出的，由此將經濟增長率與加權要素投入增長率之和的差值即“余值”，在經濟學中被稱為“索洛余值”。而事實上，如果沒有生產規模收益不變的條件，“索洛余值”并不是全要素生產率增長率。對此問題，本書將在后面有關部分再進行詳細介紹。

問答6：經濟增長的兩個根源是什么？

要素投入和全要素生產率是經濟增長的兩個根源。這是基于經濟學中經濟增長率等于總投入增長率與全要素生產率增長率之和的公式所得到的結論。即該公式表明，經濟增長率變動來自兩個方面的因素：一是來自要素投入的變動，二是來自全要素生產率的變動。對此，主要基于要素投入數量變動的經濟增長模式可稱為要素驅動型，亦可稱規模擴張型或外延擴張型；主要基于全要素生產率變動的經濟增長模式可稱為技術進步型，或稱內涵擴大型。在現實經濟中，令經濟學家們感興趣的問題是：要素投入與全要素生產率究竟哪個對經濟增長的作用更大？為此，對此問題的回答成為經濟學中的一個重要研究領域。而根據美國哈佛大學教授喬根森（Jorgenson,1995）的研究結果表明，“二戰”后美國經濟增長主要是依靠投資增長實現的，以日本為代表的亞洲經濟增長模式更是依賴于投資。現有文獻成果表明多數是支持喬根森這一研究結論的。可見，提高全要素生產率對經濟增長的促進作用，在現實經濟中依然是需要倍加努力才有可能實現的目標。