二 在險增長的G-VaR度量

金融學中常用Value-at-Risk（VaR）度量投資組合的最大損失風險，一般為負值，Wang和Yao[18]將其移植到宏觀經濟研究中來，構建在險增長GaR指標并用其刻畫經濟衰退。主要原理和思路為，假定國民生產總值（GDP）序列g的概率密度函數為 f（g），對給定的置信水平 α，求g?（＜ 0），使得：

其中，為客觀概率測度，這意味著經濟增長低于g? 的概率為α，即在給定置信水平1-α下經濟出現負增長的最大幅度。在險增長GaR表示預期增幅與最大降幅的差，即：

衡量最大降幅相較于預期增幅之間的差距，意味著如果我們想要實現預期增長幅度，需要有 的潛在增長速度，以防范經濟下行風險。舉例而言，如果取置信水平α = 5%，通過式（3-1）得到的計算結果為：

其經濟含義可從兩個維度加以解釋：一是在95%的置信水平下，經濟增長的最大降幅不高于6%，換言之，經濟增長下降幅度超過6%的可能性不超過5%。二是如果設定未來的經濟增長目標為5%，為防范經濟下滑6%的潛在風險，我們需要有能力保證11%的潛在增長速度，即潛在增長率要達到11%才行。

下面借鑒 Peng 等[19]以及 Peng 和 Yang[20]的相關結果給出在險增長GaR的G-VaR刻畫，以刻畫經濟增長波動性不確定下的經濟增長風險，旨在提高以往文獻中用VaR刻畫經濟增長風險的精度。通常，在次線性期望 框架下討論問題（相關理論結果見附錄一），因為次線性期望可以表示一族概率測度的上確界，即對于給定的隨機變量X，有：

從風險度量的角度而言， 表示所有可能情況中的最大的那一個，即找到經濟增長下滑幅度中最大的下滑幅度，稱為“底線思維”。由非線性期望框架下的中心極限定理知，不失一般性，我們假定經濟增長服從G-正態分布，），其中和分別為下均值和上均值，和分別為下標準差和上標準差，即均值和方差均不確定（見附錄二）。也就是說，G-正態分布的均值和方差均處于一個區間內，而不是唯一確定的常數，而且也不需要假定均值和方差服從如前所述的隨機波動模型等具體隨機過程，這是非線性期望理論在刻畫均值和方差不確定性尤其是方差不確定性方面的優勢所在。

進一步，為簡單起見，假定經濟增長幅度的均值μ給定，即不存在均值不確定性，此時經濟增長服從的 G-正態分布為 。由非線性期望理論的常數平移不變性，我們可假定經濟增長服從的G-正態分布為）。類似于GaR的VaR刻畫，可定義經濟增長g的G-VaR（由G-正態分布構建的VaR）為：

其中， 為次線性期望，為實數集。進一步的計算可得：

其中：

Φ為標準正態分布的分布函數。特別地，如果在給定的置信水平下有G-VaRα（g）＞ 0，可以證明：

其中，，稱二者分別為調整波動性和調整風險水平。由此，可以給出與式（3-1）對應的非線性期望框架版本為：

其中， 為非線性期望，，α為給定的置信水平，即在險增長GaR的G-VaR度量版本。具體的經濟含義同期望框架下的版本，不再贅述。這里需要增加的一點說明是，可認為是對標準正態分布的尺度變換，而相當于把風險水平平移到 ，且其值小于α，因此，可認為波動性參數的比值是對經典正態分布的修正[21]，進而刻畫經濟增長風險的厚尾特征，從理論上解釋非線性期望框架下的G-VaR風險度量指標提高了期望框架下VaR風險度量指標的精度。

綜上，我們得到命題 1，即非線性期望框架下的經濟增長風險度量。

命題1假定經濟增長g服從G-正態分布，經濟增長風險的G-VaR度量為：

其中，為實數集， 為次線性期望，α為置信水平。如果在給定的置信水平α下有G-VaRα（g）＞ 0，則：

其中，，。

下面，我們從參數不確定性的視角對風險度量G-VaR稍作穩健性分析。從風險度量的角度而言，式（3-2）給出的是悲觀預期，即“底線思維”，如果將式（3-2）中的上確界sup換成下確界inf，則給出的是樂觀預期，即“頂部思維”，二者構成“在險增長走廊”的上界和下界。從參數不確定性而言，式（3-3）由上標準差和下標準差共同決定，所以可從上標準差和下標準差的不確定性來度量模型不確定性下的風險變化情況。當時，式（3-3）退化為：

進一步，當時，其中σ為樣本總體方差，式（3-3）退化為：

即經典正態分布下的 VaR（g），顯見 ≤ VaR（g）≤ GVaRα（g），它們分別對應于經濟增長風險的樂觀、中性和悲觀預期（或者說頂部、中部和底線思維）。進一步，可稱時序的[，G-VaRα（g）]為“在險增長走廊”，刻畫經濟增長風險的波動范圍，含義為經濟增長風險幾乎處處（概率意義上）落在“在險增長走廊”內部，可以說“在險增長走廊”刻畫經濟增長的風險邊界。最后，從模型誤差導致的風險度量誤差角度而言，還可將G-VaRα（g）與VaR（g）的差理解為“風險缺口”或“救市缺口”。

由此，我們得到非線性期望框架下經濟增長風險度量的比較靜態分析，即模型或參數不確定性視角的在險增長走廊刻畫（命題2）。

命題2如果，G-VaRα（g）退化為：

如果，其中σ為樣本總體方差，G-VaRα（g）退化為：

即傳統概率框架下正態分布的VaR（g）。由此和命題1 可得到內含VaR（g）的在險增長走廊為[，G-VaRα（g）]。

實踐中，為給出G-VaRα（g）的具體計算，我們還應對其中的相關參數進行估計。借助非線性期望框架下的大數定律和中心極限定理，可利用φ-max-min計算思路給出參數的無偏估計[22]。設xi（i = 1，2，…，m×n）為獨立同分布隨機變量的一個樣本，當均值為μ確定時，可以獲得關于方差下限 和方差上限 的最優漸近無偏估計：

其中：

前述的參數估計方法是將長度為m×n的樣本數據分為n組長度為m的數據，用這n組數據的下方差統計量和上方差統計量作為方差下限和方差上限的無偏估計。

再者，如果預測下一階段的經濟增長風險，在假定 μ給定的基礎上，還需要用非線性框架下的回歸分析理論預測波動下限和波動上限的下一階段取值。給定經濟增長序列，如果下一階段的經濟增長gt+1 與往期的經濟增長 {g1，g2，…，gt}獨立，Peng等[23]給出和μt 的p-階自回歸模型，當p = 1時：

其中，、和分別為標準差上限、標準差下限和均值序列。

為給出非線性期望框架下的G-VaR方法度量在險增長GaR的理論推導和實證分析，需要完成如下四步工作：第一步，假定經濟增長服從G-正態分布；第二步，在非線性期望框架下給出在險增長 GaR 的 G-VaR度量理論推導；第三步，基于原始數據及處理后的原始數據，對G-正態分布的參數或其他相關參數進行估計；第四步，利用次線性期望框架下的回歸分析理論給出下一階段的參數預測，并進行在險增長GaR的G-VaR預測。以上我們完成了前面兩步，下面進行實證分析，即第三步和第四步。