第四節 分散化決策

制造商和零售商簽訂懲罰—補償契約，零售商為Stackelberg主從博弈的領導者。即零售商為防止制造商生產過低而導致其訂購量得不到保障，要求對制造商供貨不足進行懲罰，同時零售商為鼓勵風險規避制造商增加生產投入，愿意對其生產過剩部分給予一定補償。事件序列如下：零售商提供懲罰—補償契約，制造商接受契約；由于制造商是風險規避的，在生產周期前，零售商根據制造商的產出率和風險規避系數發出訂購需求；制造商收到訂購信息后，根據自身產出率的預期和風險規避系數投入生產；生產發生，實際產出確定；當實際產出大于零售商訂購量時，制造商以批發價格交付q，剩余產品以折扣價格交付；當實際產出小于訂購量時，以批發價格交付TQ，不足訂購量部分以單位懲罰成本支付給零售商。

本小節主要對制造商和零售商的生產量和訂購量的納什均衡分析。首先，運用逆推歸納法^[6]（Backward Induction）求出制造商生產量關于零售商訂購量的反應函數；然后，零售商根據制造商的反應函數確定其最優訂購量；最后，確定制造商生產量和零售商訂購量的均衡解。

一 制造商的生產決策模型

在懲罰—補償契約下，對于零售商的訂購量q，設風險規避制造商的生產投入量為Q，則實際產出量為TQ。當TQ 大于q時，制造商以價格w交付q，以折扣價格w₁交付剩余（tQ-q）部分；當實際產出TQ 小于q時，制造商以價格w交付TQ，同時以價格s₁支付（q-tQ）部分的懲罰費用。因此，制造商的利潤函數為：

由此可得制造商的期望利潤函數為：

情況1：如果，那么制造商的利潤函數為，令，則。由于是t的嚴格增函數，因此：（1）如果，那么當t＜t₁時，有；當，有；（2）如果，那么當，有。

情況2：如果，那么制造商的利潤函數為，令，則。由于是t的嚴格增函數，因此：（1）如果，那么當時，；（2）如果，那么當，有；當t＞t₂，。

比較以上兩種情況可得：

命題3.1（1）如果，那么當時，π^m（Q）≥0，當時，π^m（Q）＜0；

（2）如果，那么當時，π^m（Q）≥0，當時，π^m（Q）＜0。

命題3.1給出了風險規避制造商期望利潤值為負值或正值的條件，命題也表明制造商在產出率t很低時總將面臨期望利潤負值。進一步，由命題3.1可得風險規避制造商的期望效用函數為：

則制造商的決策問題為：

引理3.1 制造商的期望效用E｛U[π^m（Q）]｝是其生產投入量Q的凹函數。

證明：由式（3-6）可知：

（1）如果，那么：

因此，

（2）如果，那么：

因此：

綜上，可知E｛U[π^m（Q）]｝是Q的凹函數。證畢。

命題3.2 產出隨機和需求確定情況，風險規避制造商在懲罰—補償契約下的最優生產投入量Q^*（q）滿足：

（1）如果，則：

（2）如果，則：

證明：由引理3.1可知，存在唯一的生產投入量使得風險規避制造商的期望效用最大。分別在和情況下，令dE｛U[π^m（Q）]｝/dQ=0，得到式（3-7）和式（3-8）。證畢。

命題3.2表明風險規避制造商的最優投入生產量Q^*由零售商的最優訂購量q^*、產出率分布Φ（t）、生產成本c、批發價格w、折扣價格w₁、單位懲罰值s₁和風險規避水平γ決定。式（3-7）和式（3-8）表明不同對應不同反應函數。

命題3.3 Q^*（q）是零售商訂購量q的線性增函數。

證明：由式（3-7），令：

可知：

由隱函數求導法則，可知：

同理，由式（3-8），令：

可得：

由隱函數求導法則，可知：

綜上，Q^*（q）是零售商訂購量q的線性增函數。證畢。

命題3.3表明風險規避制造商的最優生產量Q^*是零售商訂購量q的線性增函數，此結論與制造商為風險中性時情況相一致。

由此，可令：

由式（3-7）可得線性因子δ_γ1滿足：

由式（3-8）可得線性因子δ_γ2滿足：

特別地，令δ₁表示制造商為風險中性時的線性因子，即γ=1，則由式（3-10）和式（3-11）可得δ₁滿足。因此，可得：

命題3.4（1）如果，那么當δ_γ1＜δ₁時，；如果，那么當δ_γ1=δ₁時，；如果，那么當δ_γ1＞δ₁時，。

（2）如果，那么當 δ_γ2＜δ₁時，；如果，那么當δ_γ2=δ₁時，；如果，那么當δ_γ2＞δ₁時，。

證明：由式（3-10），令：

由隱函數求導法則可知：

通過與式（3-10）可得命題3.4的（1）。

由式（3-11），令：

由隱函數求導法則可知：

通過與式（3-11）可得命題3.4的（2）。證畢。

命題3.4表明，當制造商是風險規避時，線性因子δ_γ1（δ_γ2）可能小于、等于或大于風險中性時的線性因子δ₁。也就是說，在懲罰—補償契約下，風險規避制造商的最優生產量可能小于、等于或大于風險中性時的最優生產量。

命題3.5 δ_γi（i=1，2）是批發價格w和懲罰價格s₁的增函數，是生產成本c的減函數。

證明：由式（3-10），令：

由此可得

同樣方法，可得，和，和。證畢。

命題3.5表明，δ_γi（i=1，2）隨著批發價格w和單位懲罰值s₁的增加而增加，隨著生產成本c的增加而減少。

二 零售商的訂購決策模型

懲罰—補償契約下，零售商的決策變量為q。當制造商實際產出量TQ^*小于q時，制造商與零售商的產品交割量為TQ^*，并以價格s₁獲得（q-TQ^*）部分的處罰收益；當制造商的產出量TQ^*大于q 時，零售商與制造商以價格w交付q，以價格w₁交付剩余（TQ^*-q）部分。因此，零售商的期望利潤為：

式（3-12）右邊的第1項為產品銷售給消費者獲得的收益；第2項為制造商支付的懲罰收益；第3項為以批發價格采購的正常采購成本；最后一項為超過訂購量的折扣采購成本。

式（3-12）改寫為：

由于Q^*（q）=δ _γi q（當時，i=1；當，i=2），因此：

則零售商的決策問題為：

引理3.1 零售商的期望利潤E[π^m（q）]是定購量q的凹函數。

證明：由式（3-13）可得：

因此，E[π^r（q）]是q的凹函數。

命題3.6 懲罰—補償契約下，產出隨機和需求確定的零售商最優訂購量q^*滿足：

其中，當時，i=1；當，i=2。

證明：由引理3.1可知，存在唯一的訂購量使得零售商的利潤最大化。令dE[π^b（q）]/dq=0，得到式（3-14）。證畢。

命題3.6表明零售商的最優訂購量q^*由產出率分布Φ（t），制造商風險系數δ_γi，零售價格r，批發價格w，懲罰成本s₁和單位折扣價w₁決定。

命題3.2和命題3.6表明，產出和需求確定的零售商和制造商的訂購量和生產投入量在懲罰—補償下的納什均衡存在且唯一?；谏鲜鼋Y果，下面通過與集中決策情形相比較，研究供應鏈的協調問題。