ABC猜想淺說⁽¹⁾

由前三個英文字母拼合而成的“ABC”一詞據說自13世紀起便見諸文獻了，含義為“入門”。這些年隨著英文在中國的流行，該詞在中文世界里也奪得了一席之地，出現在了很多圖書的書名中，大有跟中文詞“入門”一較高下之勢。不過，倘若你在數學文獻中看到一個以“ABC”命名的猜想——“ABC猜想”（ABC conjecture），千萬不要以為那是一個“入門”級別的猜想。事實上，這一猜想在公眾知名度方面或許尚處于“入門”階段，以難度和地位而論卻絕不是“入門”級別的。

在本文中，我們將對這一并非“入門”級別的猜想做一個“入門”級別的介紹。

一、什么是ABC猜想？

在介紹之前，讓我們先回憶一下中小學數學中的兩個簡單概念。其中第一個概念是素數（prime number）。我們知道，很多正整數可以分解為其他——即不同于它自己的——正整數的乘積，比如9=3×3，231=3×7×11，等等。但也有一些正整數不能這么分解，比如13，29等。這后一類正整數——1除外——就是所謂的素數。素數是一個被稱為“數論”（number theory）的數學分支中的核心概念，其地位常被比喻為物理學中的原子（atom），因為與物理學中物質可以分解為原子相類似，數學中所有大于1的正整數都可以分解為素數的乘積（素數本身被視為是自己的分解）⁽²⁾。第二個概念則是互素（coprime）。兩個正整數如果其素數分解中不存在共同的素數，就稱為是互素的，比如21=3×7和55=5×11就是互素的⁽³⁾。

有了這兩個簡單概念，我們就可以介紹ABC猜想了。ABC猜想針對的是滿足兩個簡單條件的正整數組（A，B，C）⁽⁴⁾。其中第一個條件是A和B互素，第二個條件是A+B=C。顯然，滿足這種條件的正整數組——比如（3，8，11）、（16，17，33）……——有無窮多個（請讀者自行證明）。為了引出ABC猜想，讓我們以（3，8，11）為例，做一個“三步走”的簡單計算：

（1）將A、B、C乘起來（結果是3×8×11=264）；

（2）對乘積進行素數分解（結果是264=2³×3×11）；

（3）將素數分解中所有不同的素數乘起來（結果是2×3×11=66）。

現在，讓我們將A、B、C三個數字中較大的那個（即C）與步驟3的結果比較一下。我們發現后者大于前者（因為后者為66，前者為11）。讀者可以對上面所舉的另一個例子——即（16，17，33）——也試一下，你會發現同樣的結果。如果隨便找一些其他例子，你也很可能發現同樣的結果。

但你若因此以為這是規律，那就完全錯了，因為它不僅不是規律，而且有無窮多的反例。比如（3，125，128）就是一個反例（請讀者自行驗證）。但是，數學家們猜測，如果把步驟3的結果放大成它的一個大于1的冪，那個冪哪怕只比1大上一丁點兒（比如1.000 000 000 01），情況就有可能大不一樣。這時它雖仍未必保證能夠大于三個數字中較大的那個（即C），但反例的數目將由無窮變為有限。這個猜測就是所謂的ABC猜想⁽⁵⁾，它是由英國數學家麥瑟爾（David Masser）和法國數學家厄斯特勒（Joseph Oesterlé）于20世紀80年代中期彼此獨立地提出的。“ABC”這個毫無創意的名字——大家可能猜到了——則是來自把猜想中涉及到的三個數字稱為A、B、C的做法，而非“入門”之意。

與數學猜想大家庭中的著名成員，如黎曼猜想（Riemann hypothesis）、哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）、孿生素數猜想（twin prime conjecture），以及（已被證明了的）曾經的費馬猜想（Fermat conjecture）、四色猜想（four-color conjecture）等相比，ABC猜想的“資歷”是很淺的（其他那些猜想都是百歲以上的“老前輩”），公眾知名度也頗有不及，但以重要性而論，則除黎曼猜想外，上述其他幾個猜想都得退居其后。

二、ABC猜想為什么重要？

ABC猜想有一個在普通人看來并不奧妙的特點，就是將整數的加法性質（比如A+B=C）和乘法性質（比如素數概念——因為它是由乘法性質所定義的）交互在了一起。不過，數學家們早就知道，由這兩種本身很簡單的性質交互所能產生的復雜性是近乎無窮的。數論中許多表述極為淺顯，卻極難證明的猜想（或曾經的猜想），比如前面提到的哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、費馬猜想等都具有這種加法性質和乘法性質相交互的特性。數論中一個很重要的分支——旨在研究整系數代數方程的整數解的所謂丟番圖分析（Diophantine analysis）——更是整個分支都具有這一特性。丟番圖分析的困難性是頗為出名的，著名德國數學家希爾伯特（David Hilbert）曾樂觀地希望能找到其“一攬子”的解決方案，可惜這個被稱為希爾伯特第十問題的希望后來落了空，被證明是不可能實現的（對這一點感興趣的讀者可參閱拙作《小樓與大師：科學殿堂的人和事》中的《希爾伯特第十問題漫談》一文）。與希爾伯特的樂觀相反，美國哥倫比亞大學（Columbia University）的數學家戈德菲爾德（Dorian Goldfeld）曾將丟番圖分析比喻為飛蠅釣（fly-fishing）——那是發源于英國貴族的一種特殊的釣魚手法，用甩出去的誘餌模擬飛蠅等昆蟲的飛行姿態，以吸引兇猛的掠食性魚類。飛蠅釣的特點是技巧高、難度大、成功率低，而且只能一條一條慢慢地釣——象征著丟番圖分析只能一個問題一個問題慢慢地啃，而無法像希爾伯特所希望的那樣“一攬子”地解決掉。

但是，與交互了加法性質和乘法性質的其他猜想或問題不同的是，ABC猜想這個從表述上看頗有些拖泥帶水（因為允許反例）的猜想似乎處于某種中樞地位上，它的解決將直接導致一大類其他猜想或問題的解決。拿丟番圖分析來說，戈德菲爾德就表示，假如ABC猜想能被證明，丟番圖分析將由飛蠅釣變為最強力——乃至野蠻——的炸藥捕魚，一炸就是一大片，因為ABC猜想能“將無窮多個丟番圖方程轉變為單一數學命題”。這其中最引人注目的“戰利品”將是曾作為猜想存在了300多年，一度被《吉尼斯世界紀錄》（Guinness Book of World Records）稱為“最困難數學問題”的費馬猜想。這個直到1995年才被英國數學家懷爾斯（Andrew Wiles）以超過100頁的長篇論文所解決的猜想在ABC猜想成立的前提下，將只需不到一頁的數學推理就能確立⁽⁶⁾。其他很多長期懸而未決的數學猜想或問題也將被“一鍋端”。這種與其他數學命題之間的緊密聯系是衡量一個數學命題重要性的首要“考評”指標，ABC猜想在這方面無疑能得高分——或者用戈德菲爾德的話說，是“丟番圖分析中最重要的未解決問題”，“是一種美麗”。

ABC猜想的重要性吸引了很多數學家的興趣，但它的艱深遲滯了取得進展的步伐。截至2001年，數學家們在這一猜想上取得的最好結果乃是將上述步驟3的結果放大成它的某種指數函數⁽⁷⁾。由于指數函數的大范圍增長速度遠比冪函數快得多，由它來保證其大于A、B、C三個數字中較大的那個（即C）當然要容易得多（相應地，命題本身則要弱得多）。

除上述理論結果外，自2006年起，由荷蘭萊頓大學（Leiden University）的數學系牽頭，一些數學和計算機愛好者建立了一個名為ABC@Home的分布式計算（distributed computing）系統，用以尋找ABC猜想所允許的反例。截至2014年4月，該系統已經找到了超過2 380萬個反例，而且還在繼續增加著。不過，與這一系統的著名“同行”——比如尋找外星智慧生物的SETI以及計算黎曼ζ函數非平凡零點的已經關閉了的ZetaGrid——不同的是，ABC@Home是既不可能證明，也不可能否證ABC猜想的（因為ABC猜想本就允許數量有限的反例）。從這個意義上講，ABC@Home的建立更多地只是出于對具體反例——尤其是某些極端情形下的反例，比如數值最大的反例——的好奇。當然，具體反例積累多了，是否會衍生出有關反例分布的猜想，也是不無趣味的懸念。另外，ABC猜想還有一些拓展版本，比如對某些情形下的反例數目給出具體數值的版本，ABC@Home對那種版本原則上是有否證能力的。

三、ABC猜想被證明了嗎？

如前所述，ABC猜想的公眾知名度與一些著名猜想相比是頗有不及的。不過，2012年9月初，包括《自然》（Nature）、《科學》（Science）在內的一些重量級學術刊物，以及包括《紐約時報》（New York Times）在內的許多著名媒體卻紛紛撰寫或轉載了有關ABC猜想的消息，使這一猜想在短時間內著實風光了一番。促成這一風光的是日本數學家望月新一（Shinichi Mochizuki）。2012年8月底，望月新一發表了由四篇長文組成的系列論文的第四篇，宣稱證明了包括ABC猜想在內的若干重要猜想。這一宣稱被一些媒體稱為是能與1993年懷爾斯宣稱證明了費馬猜想，以及2002年佩雷爾曼（Grigory Perelman）宣稱證明了龐加萊猜想（Poincaré conjecture）相提并論的事件。

由于這一原因，我應約撰寫本文時，約稿編輯曾希望我能找認識望月新一的華人數學家聊聊，挖出點獨家新聞來。可惜我不得不有負此托了，因為別說是我，就連《紐約時報》等擅挖材料的重量級媒體在報道望月新一其人時，也基本沒能超出他在自己網站上公布的信息。

按照那些信息，望月新一1969年3月29日出生于日本東京，16歲（即1985年）進入美國普林斯頓大學（Princeton University）就讀本科，三年后進入研究生院，師從著名德國數學家、1986年菲爾茨獎（Fields Medal）得主法爾廷斯（Gerd Faltings），23歲（即1992年）獲得數學博士學位。此后，他先是“海歸”成京都大學（Kyoto University）數理解析研究所（Research Institute for Mathematical Sciences）的研究助理（Research Associate），幾個月后又前往美國哈佛大學從事了近兩年的研究，然后重返京都大學。2002年，33歲的望月新一成為了京都大學數理解析研究所的教授。望月新一的學術聲譽頗佳，曾獲得過日本學術獎章（Japan Academy Medal）等榮譽。

有關望月新一其人的信息大體就是這些，但讀者不必過于失望，因為望月新一所宣稱的對ABC猜想的證明雖引起了很大關注，離公認還頗有距離，因此目前恐怕還未到挖掘其生平的最佳時機。事實上，在ABC猜想并不漫長的歷史中，這并不是第一次有人宣稱解決了這一猜想。2007年，法國數學家施皮羅（Lucien Szpiro）就曾宣稱解決了ABC猜想。施皮羅的學術聲譽不在望月新一之下，不僅是領域內的專家，其工作甚至間接促成了ABC猜想的提出。但是，人們很快就在他的證明中發現了漏洞。這種宣稱解決了一個重大數學猜想，隨后卻被發現漏洞的例子在數學史上比比皆是。因此，任何證明從宣稱到公認，必須經過同行的嚴格檢驗。這一檢驗視證明的復雜程度而定，可長可短。不過對于望月新一的“粉絲”來說，恐怕得有長期等待的心理準備，因為望月新一那四篇論文的總長度超過了500頁，幾乎是懷爾斯證明費馬猜想的論文長度的四倍！更糟糕的是，望月新一的證明采用了他自己發展起來的數學工具，這種工具據說是對以抽象和艱深著稱的1966年菲爾茲獎得主格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）的某些代數幾何方法的推廣，除他本人外，數學界并無第二人通曉⁽⁸⁾。就連研究方向與望月新一相近的英國牛津大學（University of Oxford）的韓國數學家金明迥（Minhyong Kim）都表示，“我甚至無法對[望月新一的]證明給出一個專家概述，因為我并不理解它”，“僅僅對局勢有一個一般了解也得花費一段時間”。美國威斯康星大學（University of Wisconsin）的數學家艾倫伯格（Jordan Ellenberg）則表示閱讀望月新一的論文“仿佛是在閱讀外星人的東西”（reading something from outer space）。2006年菲爾茨獎得主、澳大利亞數學家陶哲軒（Terence Tao）也表示“現在對這一證明有可能正確還是錯誤做出評斷還為時過早”。

像望月新一那樣宣稱用自創的數學工具證明著名數學猜想的事例在數學界也是有先例的。2004年，美國普渡大學（Purdue）的數學教授德布朗基（Louisde Branges）宣稱證明了著名的黎曼猜想，他所用的也是自創的數學工具。不過德布朗基在數學界的聲譽和口碑均極差，加之年事已高（七旬老漢），其宣稱遭到了數學界的冷淡對待⁽⁹⁾。與之不同的是，望月新一卻不僅有良好的學術聲譽，精力和研究能力也尚處于巔峰期。用陶哲軒的話說，望月新一“與佩雷爾曼和懷爾斯類似”，“是一個多年來致力于解決重要問題，在領域內享有很高聲譽的第一流數學家”。有鑒于此，數學界不僅對望月新一的證明給予了重視，對他自創的方法也表示了興趣，比如美國斯坦福大學（Stanford University）的數學家康拉德（Brian Conrad）就表示“激動人心之處不僅在于[ABC]猜想有可能已被解決，而且在于他[望月新一]必須引入的技巧和洞見應該是解決未來數論問題的非常有力的工具”。戈德菲爾德也認為“望月新一的證明如果成立，將是21世紀數學最驚人的成就”。

在這種興趣的驅動下，一些數學家已經開始對望月新一的證明展開檢驗與討論，比如著名數學討論網站Math Overflow就已出現了一些有金明迥、陶哲軒等一流數學家參與的認真討論。不過，檢驗過程何時才能完成，目前還不得而知，檢驗的結果如何，更是無從預料。證明得到公認固然是很多人樂意見到的，但一個長達500多頁的證明存在漏洞也是完全可能的，當年懷爾斯對費馬猜想的“只有”100多頁的證明，其早期版本就存在過漏洞，經過一年多的時間才得以彌補。不過，無論望月新一的證明是否成立，不少數學家對ABC猜想本身的成立倒是都抱有樂觀態度，這一方面是因為能因這一猜想的成立而得到證明的很多數學命題（比如如今被稱為費馬大定理的費馬猜想）已經通過其他途徑得到了證明，從而表明ABC猜想的成立與數學的其他部分有很好的相容性（著名的黎曼猜想也有這樣的特點）。另一方面，ABC猜想還得到了一些啟發性觀點的支持，比如陶哲軒就從所謂的“概率啟發式理由”（probabilistic heuristic justification）出發，預期ABC猜想應該成立⁽¹⁰⁾。

當然，信心和預期取代不了證明。望月新一證明的命運將會如何？ABC猜想究竟被證明了沒有？都將有待時間來回答⁽¹¹⁾。

2012年10月14日寫于紐約

2014年10月1日最新修訂

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(1)本文是應《南方周末》約稿而寫的“ABC猜想”簡介，曾以《望月“摘月”》為標題發表于2012年10月25日（發表稿經編輯改動，系刪節版）。本文的完整版發表于《數學文化》2014年11月刊。

(2)不僅如此，這樣的分解還可以被證明是唯一的，這被稱為算術基本定理（fundamental theorem of arithmetic）。

(3)對這一定義還有一個小小的補充，即1被定義為與所有正整數都互素。

(4)為了簡單起見，我們的介紹是針對正整數的，但ABC猜想其實也可以針對整數進行表述，兩者并無實質差別。我們將后者留給感興趣的讀者去做。

(5)這里可以略作一點補充：步驟3的結果因不含任何素數因子的平方，被稱為A、B、C三個數字乘積的“無平方部分”（square-free part），簡記為sqp（ABC）——不過要注意的是，這一記號在某些文獻中有不同含義，與本文含義相一致的另一種記號為rad（ABC）。用這一記號，ABC猜想可以表述為“對任意給定的n>1，只有有限多組（A，B，C）滿足sqp（ABC）ⁿ<C”（當然，別忘了A和B互素及A+B=C這兩個條件）。這一表述通常見諸科普介紹，在專業文獻中ABC猜想往往被表述為“對任意給定的n>1，sqp（ABC）ⁿ/C的下界大于零”。感興趣的讀者不妨由“科普表述”出發，證明一下“專業表述”（不過要提醒讀者的是：相反方向的證明，即由“專業表述”證明“科普表述”，并不是輕而易舉的）。另外要說明的是，正文提到的所謂ABC猜想所允許的“反例”乃是“科普表述”特有的提法，意指滿足sqp（ABC）ⁿ<C的那有限多組（A，B，C），在“專業表述”中是沒有所謂“反例”的提法的。

(6)這個關于在ABC猜想成立的前提下，費馬猜想將只需“不到一頁的數學推理就能確立”（establishing in less than a page of mathematical reasoning）的不無夸張的說法出自美國數學協會（Mathematical Association of America）的出版主管、著名美國數學科普作家彼得森（Ivars Peterson）。不過，該說法雖然夸張，卻并非完全“忽悠”。為了說明這一點，并作為對如何由ABC猜想證明其他命題的演示，我們在這里介紹一個“不到一頁的數學推理”：假設費馬猜想不成立，即存在互素的（這點請讀者自行證明）正整數x、y、z使得x^k+y^k=z^k（k>2）。則由前一條注釋給出的ABC猜想的“專業表述”可知（取n=7/6）：sqp（x^ky^kz^k）^/6/z^k>ε（ε>0）。由于sqp（x^ky^kz^k）=sqp（xyz）≤xyz<z³，因此z^3.5-k>ε。顯然，對所有k≥4，只有小于（由ε決定的）某個數值的有限多個z能滿足該不等式，而且當k大于（由ε決定的）某個數值后，將不會有任何z滿足該不等式。這表明，對所有k≥4，費馬猜想的反例即便有也只能有有限多個，而且k大到一定程度后將不再有反例。因此，證明費馬猜想就變成了證明k=3的情形（這在兩百多年前就已完成），以及通過數值驗證排除總數有限的反例。這雖然并非“不到一頁的數學推理”就能確立的，比起懷爾斯的證明來畢竟是直截了當多了。倘若歷史走的是不同的路徑，費馬是在ABC猜想被證明之后才提出的費馬猜想，他那句戲劇性的“我發現了一個真正出色的證明，可惜頁邊太窄寫不下來”倒是不無成立之可能。

(7)具體地說，截至2001年，這方面的最好結果是exp[K·sqp（ABC）^1/3+ε]/C>1，其中K是與ε有關（但與A、B、C無關）的常數。

(8)望月新一自創的那種數學工具被稱為inter-universal Teichmuller theory或inter-universal geometry。他在其網站上則稱自己為Inter-universal Geometer。

(9)對此事感興趣的讀者可參閱拙作《黎曼猜想漫談》的第35章。

(10)陶哲軒的“概率啟發式理由”的要點是將數論命題——比如一個數是素數——視為概率性命題，并利用概率工具來猜測數學命題的成立與否。這種做法的一個例子是對強孿生素數猜想成立的猜測（參閱收錄于本書的拙作“孿生素數猜想”所介紹的有關該猜想的“簡單的定性分析”）。

(11)望月新一的證明發布至今已兩年多，這期間美國耶魯大學（Yale University）的數學系研究生季米特洛夫（Vesselin Dimitrov）及斯坦福大學（Stanford University）的數學家文卡塔斯（Akshay Venkatesh）曾寫信向他指出過一個錯誤。望月新一承認了錯誤，但表示那是一個不影響結論的小錯誤。此后，他數度更新了自己的論文，截至本文修訂之日（2014年10月1日），他更新后的四篇論文總長度超過了550頁，最近一次更新的日期則為2014年9月15日。