1.1 穩定性概述

自1927年Harold S.Black提出負反饋以來，負反饋已經成為電子學、控制學以及應用科學的基石。負反饋能夠提高系統整體性能：暫態和環境變化時增益更加穩定，減少元器件非線性、寬帶和阻抗變化時引起的失真，如果運算放大器施加負反饋則上述優勢更加明顯。

負反饋同樣存在故障隱患，即無論施加何種輸入信號或者輸入信號是否有無時都能引起系統振蕩，此時環路產生足夠大的相移，使得負反饋轉換為正反饋，并且系統具有足夠大的環路增益維持輸出振蕩。

穩定性為計算機仿真提供了廣闊沃土，利用仿真既能驗證系統整體功能，又能全面測試系統穩定性，尤其對新觀念的引入和深入探索更是發揮了淋漓盡致的功效。接下來首先利用PSpice仿真對同相放大電路進行時域測試，然后逐步引出運放電路穩定性判定準則。

1.1.1 同相放大電路穩定性測試

運放傳遞函數測試：圖1.1所示為運放傳遞函數測試電路，GaindB為運放開環直流增益，f_p1為運放第1極點，f_p2為運放第2極點；圖1.2所示為交流仿真設置，起始頻率為1Hz、結束頻率為1GHz，分別為f_p1的1/10和f_p2的10倍，以便充分測試-180°～0°相位；圖1.3所示為運放增益與相位頻率特性曲線，頻率低于f_p1時增益基本保持120dB、在f_p1～f_p2之間增益按照-20dB/dec進行衰減、高于f_p2時增益按照-40dB/dec進行衰減，相位在f_p1和f_p2時分別為-45°和-135°、并且在其1/10和10倍范圍內按照-45°/dec降低；設計電路時按照所選運放數據手冊提供的特征參數進行設置，以便仿真與實際測試能夠匹配，該模型未考慮運放輸入電容和輸出阻抗，在接下來的章節中將逐步增加運放模型參數，使得仿真與實際更加一致。

同相放大電路瞬態與增益測試：圖1.4所示為同相放大瞬態與增益測試電路，其中f_z1為反饋第一零點頻率、C_fv為反饋電容參數值、Beta為反饋系數——低頻閉環增益設置；運放工作于線性區時正負輸入端虛短虛斷，虛短表示正負輸入端的電壓相同，虛斷表示流入/流出正負輸入端的電流為零，所以正常工作時節點IN₂與V_fb2的電壓相同，即輸入電壓與反饋電壓相同，低頻時電路閉環增益Gain=，所以調節電阻R_F14與R_I15之比即可改變電路放大倍數；運放由Laplace傳遞函數定義、輸出限幅為±15V；f_z1為C_F8和R_I15構成的反饋第一零點，Beta為反饋系數、即同相放大電路的閉環增益Gain=1/Beta；圖1.5所示為瞬態仿真設置；圖1.6所示為Beta參數仿真設置，Beta=0.1、0.125、0.25、0.5，所以閉環增益Gain=10、8、4、2；圖1.7所示為輸入和輸出電壓波形，輸入、輸出同相，只是脈沖過渡瞬間出現微小過沖。

同相放大電路直流與交流測試：圖1.8所示為同相放大直流與交流測試電路；圖1.9所示為直流仿真設置，當輸入電壓從-1V線性增加到1V時輸出電壓從-10V線性增大到10V，輸入/輸出同相，直流仿真輸出電壓波形如圖1.10所示；圖1.11所示為交流仿真時f_z1的參數設置；圖1.12所示為交流閉環增益曲線，f_z1越小閉環增益的峰值越大，從而瞬態分析越容易產生振蕩，f_z1=100kHz時的瞬態輸出電壓波形如圖1.13所示——輸出振蕩。

上面分別對同相放大電路進行了瞬態和交流分析，那么當運放電路滿足什么條件時電路才能穩定工作呢？接下來分別利用增益裕度和相位裕度、增益峰值與超調、勞斯穩定判據對運放電路穩定性進行判定。

1.1.2 增益裕度和相位裕度

增益裕度：系統穩定與否取決于環路增益T（jf）隨頻率的變化方式，設T（jf）在某一頻率處的相位為-180°，并將該頻率記為f_-180°，于是T（jf_-180°）為負實數——表明系統已從負反饋變成正反饋；如果，則系統閉環增益表達式A（jf_-180°）如下所示

式中，a（jf_-180°）為該頻率時的運放增益。

因為分母小于1，所以由上式可得A（jf_-180°）大于a（jf_-180°）；盡管如此，由于反復圍繞環路流過的任何信號幅度均會逐漸降低并最終消失，因此電路穩定，并且閉環傳遞函數A（s）的極點必然落在s域的左半平面。

如果=1，由上述方程可得，表明電路此時可在零輸入條件下維持某一信號輸出——電路變為振蕩器，A（s）必然在虛軸上存在一對共軛極點。振蕩器總是受到某種形式存在于放大器輸入端的交流噪聲激勵，當恰好某一頻率的交流噪聲分量x_d產生反饋分量x_f=-x_d，在求和網絡中將該分量進一步放大-1倍，由此可得x_d自身，一旦該交流分量進入環路即可在很長時間內保持恒定。

當時將不能再用上述公式，而需采用數學工具預估電路的穩定特性。如果閉環增益A（s）在s域右半平面存在一對共軛極點，此時一旦電路開始振蕩，幅度就會不斷增大，直至某些電路的非線性將環路增益降至1為止，此非線性既可系統固有（例如非線性的VTC）也可人為設計（例如外部鉗位網絡）。

增益裕度定量計算公式定義如下：

GM定義為變成1導致不穩定之前可被增加的分貝數，具體如圖1.14所示，例如某電路的T（jf_-180°），則其GM=20lg=10dB，該值在合理增益裕度范圍內；與此成對比的是某一電路的T（jf_-180°），則其GM=3dB，該增益裕度值很小，只要運放生產過程或環境改變引起增益A（s）的微小增大，都有可能導致系統不穩定。

相位裕度：另一種更常用的定量表示運放系統穩定性的參數為相位裕度，此時關注系統傳遞函數T在交叉頻率f_x處的相位角；在交叉頻率處1，定義相位裕度φ_m為達到-180°導致系統不穩定之前可被降低的度數，即，圖1.14所示為相位裕度圖形表示。

為分析相位裕度的意義，記T（jf_x）=1∠（φ_m-180°）=-exp（jφ_m），此時誤差函數1+[1+1/T（jf_x）]=1/[1-exp（-jφ_m）]，利用歐拉恒等式exp（-jφ_m）=cosφ_m-jsin（φ_m）可得系統閉環增益為

根據不同φ_m值計算誤差函數，可得φ_m=90°時誤差函數值為0.707，φ_m=60°時誤差函數值為1，φ_m=30°時誤差函數值為1.93，φ_m=15°時誤差函數值為3.83，φ_m=0°時誤差為無窮大∞、增益誤差也為無窮大。由上述計算數值可知：φ_m＜60°時，表明該閉環系統存在峰值；φ_m越低峰值現象越明顯；φ_m→0時→∞，系統處于振蕩狀態；實際設計時φ_m的典型下限值為45°，通常φ_m下限值為60°。

增益裕度與相位裕度：圖1.15所示為同相放大開環測試電路，電感L₁用于建立靜態工作點、交流時開路，電容C₁用于交流環路測試、直流時開路；圖1.16所示為f_z1=1megHz時的增益與相位曲線，頻率為10.491megHz時環路相位為-180°、增益裕度GM=40dB，頻率為812.3kHz時環路增益為0dB、相位裕度φ_m=180°-126.6°=53.4°——系統穩定；圖1.17所示為f_z1=400kHz時的增益與相位曲線，頻率為6.488megHz時環路相位為-180°、增益裕度GM=39.6dB，頻率為596.7Hz時環路增益為0dB、相位裕度φ_m=180°-143.7°=36.3°——系統超調嚴重。

1.1.3 增益峰值與超調量

頻域中峰值現象的存在通常伴隨著時域中振鈴現象的出現，反之亦然。如圖1.18所示，通常利用增益峰值GP（dB）和超調量OS（%）進行具體定量計算，其中GP=20lg、OS（%）=，因為兩種效應的產生需要一對復極點，所以一階系統中不存在峰值和超調量。對于二階全極點系統，當Q2時將會出現尖峰，當ζ11時將會出現振鈴；此處品質因數Q和阻尼系數ζ的關系式為或；對于二階系統，GP、OS、Q、ζ和相位裕度φ_m之間的關系式為

將上述三個方程組合可得圖1.18中所示的增益峰值和超調量曲線，該圖給出尖峰現象和振鈴現象與相位裕度之間的關系。觀察發現當φ_m≤=65.5°時將發生尖峰現象，當φ_m≤=76.3°時將發生振鈴現象；下面為GP（φ_m）和OS（φ_m）的常用值：

根據實際所用電路，閉環響應可能存在一個極點、一對極點或多個極點，但是通常更高階電路的輸出響應只受一對極點控制，因此圖1.18給出的二階系統相位裕度與峰值和超調量的關系曲線實用，根據開環相位裕度可以判斷閉環增益峰值和超調量，根據閉環增益峰值和超調量也可估算系統相位裕度；二階系統閉環頻域分析時的相位裕度與增益峰值對應數據見表1.1，二階系統閉環時域分析時的相位裕度與超調量對應數據見表1.2。

下面利用同相放大電路對上述數據進行驗證，電路、波形和數據如圖1.19～圖1.22所示；當f_z1=400kHz時相位裕度φ_m=36.3°，增益峰值GP=28.8dB-20dB=8.8dB；當f_z1=1megHz時相位裕度φ_m=53.4°，增益峰值GP=22.8dB-20dB=2.8dB。由表1.1和表1.2可得相位裕度φ_m=36.3°時的超調量OS=39%、增益峰值GP=4dB；相位裕度φ_m=53.4°時的超調量OS=16%、增益峰值GP=1.5dB。為何仿真數據與計算數據存在很大誤差呢？主要原因在于計算數據以二階系統為基礎進行計算，而仿真電路為三階系統——二階運放+一階反饋，所以仿真數據與計算存在誤差；另外誤差與仿真步長和輸入脈沖上升沿時間均有關系，仿真與實際驗證時務必進行嚴格測試。

當f_z1=1megHz時超調量OS≈50%，當f_z1=400kHz時超調量OS≈100%。

接下來測試純二階系統的超調量與增益峰值，具體電路如圖1.23所示，由對比結果可知仿真波形和數據與表1.1和表1.2中的數據非常一致，如果所研究系統為純二階系統或者可以簡化為二階系統，則實際設計時應該充分利用表1.1和表1.2的數據對系統的穩定性進行驗證。

超調量：當增益設置為10時相位裕度φ_m≈90°，輸入輸出電壓波形如圖1.24所示，超調量近似為零；當增益設置為1時相位裕度φ_m≈45°，輸入輸出電壓波形如圖1.25所示，輸出電壓放大波形與數據圖1.26所示，超調量OS==24.8%，超調量仿真結果與表1.2中的數據基本一致。

增益峰值：當增益設置為10時的輸出電壓頻率特性曲線如圖1.27所示，增益峰值GP=0dB；當增益設置為1時的輸出電壓頻率特性曲線和數據如圖1.28所示，增益峰值GP=1.25dB；增益峰值仿真結果與表1.1中的數據基本一致。

1.1.4 勞斯穩定判據

勞斯法則利用數學方法進行系統穩定性判斷，根據特征方程根落在右半平面的數量檢驗系統是否穩定。使用勞斯法則時不必計算方程根的具體位置，只需判斷方程的根是否屬于右半平面，勞斯法則具體計算步驟如下：

1）寫出特征多項式：

根據特征多項式（1-LT）計算其在右半平面是否存在零點，右半平面（1-LT）的零點對應系統閉環極點，此處假設a_n≠0繼續進行分析。

2）接下來觀察任意系數是否為零或具有與其他系數不相同的符號。必要但不充分的穩定條件：特征方程中沒有非零系數，并且所有系數具有相同符號。

3）如果所有系數具有相同符號，接下來構建行和列矩陣模型，該矩陣模型維數為偶數n；矩陣數據從水平和垂直方向填充，直到含零行為止；第三行及以下行由前兩行計算得出。

4）右半平面極點數量等于勞斯矩陣第一列中符號改變的個數，下面將勞斯法則應用于傳遞函數：

由傳遞函數可知存在右半平面極點s=+2rad/s，利用勞斯法則對其進行驗證，該勞斯矩陣如下：

由勞斯矩陣計算結果可知第一列中存在一次符號變化，矩陣元素從+4變化到-12，因此系統必定存在一個右半平面極點。再次將勞斯法則應用于單反饋環路內具有三個極點的系統（見圖1-29），利用勞斯法則確定K值，以確保該反饋環路能夠穩定運行，該系統的閉環傳遞函數為

分母多項式為

勞斯矩陣為

由上述勞斯矩陣計算結果可知：K28時第一列中有兩次符號變化，因此如果K=8預計在jω軸上有兩個極點，如果K28，有兩極點在右半平面，從而判定該系統不穩定；K18時第一列無符號變化，因此系統穩定，全部三個極點均在左半平面。

實例電路仿真分析：

當K_v恒定、F_p變化時勞斯判據符號不變，為降低仿真時間，將F_p設置為10kHz，以提高電路響應速度即環路帶寬。圖1.30所示為開環與閉環測試電路。

第1步——開環頻率特性：測試增益變化時電路穩定裕度。交流仿真設置如圖1.31所示，K_v參數仿真設置如圖1.32所示，頻率特性曲線如圖1.33所示，輸出振蕩、輸出超調和系統穩定情況分別如圖1.34～圖1.36所示。

第2步——閉環頻率特性測試：增益變化時電路輸出特性。圖1.37所示為增益變化時的1Hz～100kHz閉環頻率特性曲線，圖1.38所示為增益變化時的1～100Hz閉環頻率特性曲線。

由圖1.37和圖1.38可得，K_v=8時輸出電壓0.9V，更接近理想值1V，但產生振蕩；K_v=2時輸出電壓0.667V，誤差偏大，但電路穩定。圖1.39所示為閉環穩態誤差K_v設置，圖1.40所示為K_v改變時的輸出電壓波形。

當輸入為交流1V時理想輸出電壓為1V，K_v改變時的環路誤差數據見表1.3，計算值與仿真測試值完全一致，環路增益越大誤差越小。

第3步——閉環時域特性：測試增益變化時電路輸出特性。輸入為1V階躍信號。圖1.41所示為瞬態仿真設置。

圖1.42為K_v變化時的輸出電壓波形：V（V_o）@3對應K_v=8——輸出電壓振蕩，V（V_o）@2對應K_v=4——輸出電壓超調嚴重，V（V_o）@1對應K_v=2——輸出電壓穩定但穩態誤差增大。

上述討論了兩種運放環路穩定性判定方法，但是對于工程師如何實際測試一個系統的穩定性呢，尤其在包含雜散參數的情況下，利用計算固然準確，但是參數辨識以及方程求解恐怕大家都會望而卻步，接下來分析如何利用仿真進行環路測試。