Chapter 1
第1章 概述

1.1 轉(zhuǎn)動機(jī)械轉(zhuǎn)子動力學(xué)的發(fā)展現(xiàn)狀

轉(zhuǎn)子動力學(xué)伴隨工業(yè)大型化興起并逐漸發(fā)展至今，隨著技術(shù)的不斷進(jìn)步，各應(yīng)用領(lǐng)域?qū)﹄x心泵機(jī)組的水力性能要求越來越高，機(jī)組也逐漸向高轉(zhuǎn)速、大功率密度方向發(fā)展，在機(jī)組振動性能與運(yùn)行穩(wěn)定性方面的問題日益突出。設(shè)計過程中，對機(jī)組水力性能及振動性能預(yù)測精度的要求不斷提高，對機(jī)組的水力優(yōu)化設(shè)計、轉(zhuǎn)動部件結(jié)構(gòu)設(shè)計、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計的要求也不斷提高。因此，高轉(zhuǎn)速離心泵機(jī)組與大跨距多級離心泵機(jī)組的轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性研究、多種載荷作用下的動力學(xué)行為研究及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計逐漸成為新的研究熱點(diǎn)。

19世紀(jì)20年代，英國著名的動力學(xué)家H. H. Jeffcott簡化了一種撓性轉(zhuǎn)子模型，即Jeffcott轉(zhuǎn)子，并首先解釋了這一模型的轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性，指出在超臨界運(yùn)行時，該轉(zhuǎn)子會產(chǎn)生自動定心現(xiàn)象。這是有關(guān)轉(zhuǎn)子動力學(xué)觀念的第一次變革，這一結(jié)論使得旋轉(zhuǎn)機(jī)械的功率和使用范圍極大地提高，工作轉(zhuǎn)速高于臨界轉(zhuǎn)速的渦輪機(jī)、壓縮機(jī)和泵機(jī)組被設(shè)計和制造出來^[1-3]。1965年，Lund首次提出了將滑動軸承和轉(zhuǎn)子結(jié)合在一起研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，油膜的動態(tài)效應(yīng)在線性范圍內(nèi)用8個剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)來表征^[4]。Tondle在實(shí)驗(yàn)臺上成功地演示了由于油膜力激勵，系統(tǒng)失穩(wěn)的全過程^[5]。70年代初，相關(guān)研究分析了略去柯氏力影響下，兩端剛性鉸支的無阻尼均勻軸在其初始位置受擾后的平衡條件^[6]，隨后Black和Barrett等針對軸承對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的阻尼作用進(jìn)行了專門的研究^[7-9]。隨著工業(yè)大型化的不斷發(fā)展，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)運(yùn)行時，達(dá)到某一轉(zhuǎn)速時會出現(xiàn)強(qiáng)烈的自激振動并造成失穩(wěn)。80年代，A. Muszynska等通過一系列實(shí)驗(yàn)提出了一個簡化的軸承動力特性模型，找到了表征油膜運(yùn)動整體的特征量^[10-12]；Smith考察了具有各向異性剛度的彈性軸承對轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響^[13]，“轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)”相關(guān)理論迅速發(fā)展。

在轉(zhuǎn)子動力學(xué)研究中，數(shù)值計算分析占有很重要的地位。無論是討論轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性，分析轉(zhuǎn)子的各種動力學(xué)現(xiàn)象，還是進(jìn)行轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計，解決旋轉(zhuǎn)機(jī)械的有關(guān)工程問題等，甚至一些無法用理論分析方法解決的復(fù)雜問題，也可以用數(shù)值計算的方法得到結(jié)果，或通過計算機(jī)仿真，揭示某些難以用理論分析方法或?qū)嶒?yàn)觀察獲得的新現(xiàn)象。目前，較完善的計算分析方法主要包括傳遞矩陣法、有限元法、模態(tài)綜合法。傳遞矩陣法最早起源于Holzer用來解決多葉輪轉(zhuǎn)子扭振問題的初參數(shù)法，之后由梅克斯泰德和蒲爾將Holzer方程推廣用于求解轉(zhuǎn)子的彎曲振動問題。主要特點(diǎn)是矩陣的結(jié)束不隨系統(tǒng)自由度數(shù)的增大而增加，故程序簡單，計算方便，特別適用于同軸多葉輪轉(zhuǎn)子的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)。與機(jī)械阻尼、直接積分法等方法相結(jié)合，還可以求解復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)問題。Riaccti傳遞矩陣法，保留了傳遞矩陣法的全部優(yōu)點(diǎn)，而且在數(shù)值上比較穩(wěn)定，計算精度較高，易于處理具有球鉸和剛性支承轉(zhuǎn)子、雙轉(zhuǎn)子、畸形轉(zhuǎn)子等復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的問題，是一種比較理想的計算方法。國內(nèi)也有人提出了子結(jié)構(gòu)傳遞矩陣法，還有一些研究者把傳遞矩陣法與模態(tài)綜合法、直接積分法、有限元法及阻抗匹配法相結(jié)合，成功地應(yīng)用于復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性分析中。經(jīng)過這些改進(jìn)后無論在計算精度或數(shù)值穩(wěn)定等問題上都獲得了滿意的效果^[14,15]。采用有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）分析轉(zhuǎn)子動力學(xué)問題始于1970年，起初考慮轉(zhuǎn)子只有移動慣性情況下的彎曲振動問題。其建立在把一個整體連續(xù)結(jié)構(gòu)離散成有限個單元的基礎(chǔ)上，即用一個等價的計算模型去代替真實(shí)的物理模型，這個模型由表示成矩陣形式的已知彈性和慣性的離散單元所組成。依照彈性理論所給定的規(guī)則將單元組合在一起，可給出真實(shí)結(jié)構(gòu)的靜力和動力特性^[16]。1976年，H. D. Nelson和J. M. Mcvangh計入了轉(zhuǎn)軸的陀螺效應(yīng)和轉(zhuǎn)動慣量，導(dǎo)出了Rayleigh梁-軸模型下的有限元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。H. D. Nelson又推導(dǎo)出了Timoshenko梁-軸模型下的有限元公式^[17-20]。對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)用有限元模型，使得對大型復(fù)雜轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)列寫運(yùn)動方程成為可能，而計算機(jī)的發(fā)展又使得對大型運(yùn)動方程求解問題進(jìn)行數(shù)值計算成為可能。隨著有限元法的日益完善，出現(xiàn)了很多通用和專用的商業(yè)有限元計算分析軟件，著名的大型通用軟件有幾十個，如ANSYS^?、NASTRAN^?、MARC^?、ABAQUS^?等，功能強(qiáng)大，設(shè)計分析靈活，在國際上都十分流行。由于現(xiàn)代轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析中，轉(zhuǎn)子動力學(xué)問題的復(fù)雜性和特殊性，要考慮陀螺效應(yīng)與支承各向異性，致使阻尼矩陣、剛度矩陣為非對稱矩陣，并與轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速有關(guān)，因此這些軟件都不能直接用來解決轉(zhuǎn)子動力學(xué)問題，需經(jīng)過二次開發(fā)后才能用于轉(zhuǎn)子的振動分析計算。比利時SAMTECH公司的SAMCEF POTOR^?軟件，是專業(yè)轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析有限元軟件。其數(shù)據(jù)庫幾乎包括了所有旋轉(zhuǎn)機(jī)械零部件的理論模型和現(xiàn)有的所有轉(zhuǎn)子動力學(xué)計算結(jié)果表示方法，并具有瞬態(tài)響應(yīng)分析功能、隨機(jī)響應(yīng)分析功能、結(jié)構(gòu)敏感性分析、高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子動力特性分析與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)修改功能、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性特性分析功能、各向異性復(fù)合材料的轉(zhuǎn)子動力特性分析功能，可計算包括曲軸、旋翼、齒輪在內(nèi)的類型廣泛的旋轉(zhuǎn)機(jī)械。此外CFX-Tascflow^?、Numeca-FineTM系列也在不斷發(fā)展，由于計算機(jī)CPU技術(shù)的飛速發(fā)展和內(nèi)存空間的大幅提高，加之快速收斂技術(shù)、非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格技術(shù)、多重網(wǎng)格、隱式殘差光滑方法的使用，使得轉(zhuǎn)動和非轉(zhuǎn)動部分聯(lián)合計算成為可能。

目前模態(tài)綜合技術(shù)已趨于成熟，并在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。其基本思想是把完整的結(jié)構(gòu)肢解成若干子結(jié)構(gòu)，首先對自由度較少的各子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，分別提取各子結(jié)構(gòu)若干低階模態(tài)，根據(jù)各子結(jié)構(gòu)對接面位移協(xié)調(diào)條件或力平衡條件把各子結(jié)構(gòu)模態(tài)形狀裝配成整體運(yùn)動方程，導(dǎo)出減縮自由度的綜合特征值問題。大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力模型的自由度數(shù)極大縮減，同時又能使縮減后的動力模型在工程精度要求范圍內(nèi)替代實(shí)際結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。在模態(tài)綜合法中，當(dāng)子結(jié)構(gòu)采用有限元分析時，它既能保持有限元精度高這一優(yōu)點(diǎn)，又能十分有效地減少機(jī)時和內(nèi)存占用^[21,22]。目前，模態(tài)綜合技術(shù)與有限元以及實(shí)驗(yàn)測試技術(shù)緊密結(jié)合，已成為結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計、分析的重要方法。

隨著計算機(jī)的計算和存儲能力的增強(qiáng)，針對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合方法也在不斷發(fā)展和完善中。Rao針對負(fù)剛度系數(shù)支撐的耦合轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)在2倍轉(zhuǎn)速的一個狹窄區(qū)域系統(tǒng)將變得愈發(fā)不穩(wěn)定^[23]。隨后，Rao和Sharan又采用影響系數(shù)法研究了兩個不同滑動軸承支承的多葉輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，并分析了軸承阻尼對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動特性的影響^[24]。Lie和Bhat則首先用外域法（out-domain method）求解了固定瓦塊推力軸承的動特性系數(shù)，再將其與滑動軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行耦合，發(fā)現(xiàn)推力軸承對耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動和穩(wěn)定性具有重要影響^[25]。Lin聯(lián)立連續(xù)性方程與Stokes的本構(gòu)方程得到了改進(jìn)后的廣義雷諾方程，并利用窄軸承逼近得到了其封閉解，進(jìn)而求解了轉(zhuǎn)子-軸承耦合系統(tǒng)下油膜的耦合應(yīng)力，并研究了其對油膜靜特性和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動特性的影響^[26]。截至目前國內(nèi)外學(xué)者針對轉(zhuǎn)子-軸承耦合系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)定性等動力學(xué)特性已經(jīng)做了大量研究^[27-30]。除轉(zhuǎn)子-軸承耦合系統(tǒng)外，轉(zhuǎn)子-密封耦合系統(tǒng)、轉(zhuǎn)子-密封-軸承等其余耦合系統(tǒng)的研究也在開展之中。Kirk和Miller以多質(zhì)量（multi-mass）柔性轉(zhuǎn)子為對象，研究了高壓密封口環(huán)對其穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)高速高壓情況下，口環(huán)密封會產(chǎn)生一個不穩(wěn)定的渦動區(qū)域^[31]。Rajakumar和Sisto通過實(shí)驗(yàn)測量了不同渦動偏心下迷宮密封腔內(nèi)的壓力分布情況，并對轉(zhuǎn)子表面周向壓力積分得到了密封激勵力，發(fā)現(xiàn)該密封激勵力是轉(zhuǎn)子渦動偏心函數(shù)^[32]。Huang和Li以無阻尼的Jeffcott轉(zhuǎn)子-迷宮氣封為研究對象，采用非穩(wěn)態(tài)三維Navier-Stokes（N-S）求解程序求解了迷宮密封的氣體激勵力，最后利用四階顯式亞當(dāng)斯格式求解了轉(zhuǎn)子的動力學(xué)響應(yīng)^[33]。Akmetkhanov等人研究了考慮庫侖摩擦力高速不平衡轉(zhuǎn)子-浮動密封環(huán)耦合振動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)^[34]。Jiang等人針對光滑環(huán)形密封作用下的多級轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性進(jìn)行了研究，通過矩陣變換將密封動特性系數(shù)耦合到轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程中，建立了多級轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的耦合運(yùn)動方程，發(fā)現(xiàn)口環(huán)密封對轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速等動特性具有十分重要的作用。但是由于在計算過程中未考慮軸承動特性系數(shù)隨轉(zhuǎn)速的影響，因此計算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定誤差^[35]。黃浩欽等人分別采用單向弱耦合和雙向強(qiáng)耦合兩種耦合方法，研究了不同流-固耦合作用下船用離心泵轉(zhuǎn)子應(yīng)力應(yīng)變及模態(tài)的變化情況^[36]。

近些年，與軸承和光滑環(huán)形密封的動力學(xué)特性求解一樣，將CFD軟件運(yùn)用到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的流-固耦合研究中也逐漸流行起來。Li等人將Fluent的動網(wǎng)格技術(shù)運(yùn)用到轉(zhuǎn)子-滑動軸承系統(tǒng)的耦合動力學(xué)研究中，利用自編的網(wǎng)格運(yùn)動程序，求解得到了軸徑在光滑和傾斜條件下的瞬態(tài)運(yùn)動軌跡和滑動軸承內(nèi)部流場特性^[37,38]。Liu等人基于N-S方程和流-固耦合技術(shù)，運(yùn)用CFD軟件求解了等溫條件下轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)彈流潤滑油膜與轉(zhuǎn)子軸頸動力學(xué)間的瞬時相互作用，并采用簡化的相變邊界條件對潤滑油膜內(nèi)部的空化現(xiàn)象進(jìn)行了研究^[39]。Ye等人采用新的剛體流-固耦合法解決了傳統(tǒng)ANSYS軟件中流-固耦合網(wǎng)格變形大、網(wǎng)格重生成較困難的情況，研究了軸徑在周期不平衡外載荷下渦動中心軌跡和幅值的變化規(guī)律^[40]。沈海平將Matlab軟件計算的滑動軸承動特性系數(shù)與CFD軟件計算的口環(huán)結(jié)果和軸系模型相結(jié)合，分析了能量回收液力透平轉(zhuǎn)子-軸承-口環(huán)密封的動力學(xué)特性，但由于口環(huán)動特性系數(shù)取值為常數(shù)，計算模型不能完整反映實(shí)際模型^[41]。

20世紀(jì)80年代起，旋轉(zhuǎn)機(jī)械逐漸走向大型化、高速化，轉(zhuǎn)動機(jī)械的非線性轉(zhuǎn)子動力學(xué)行為逐漸凸顯，相關(guān)非線性動力學(xué)特性研究也逐漸興起。Saito采用諧波平衡法針對帶徑向間隙的球軸承Jeffcott轉(zhuǎn)子的非線性不平衡響應(yīng)進(jìn)行了研究，計算結(jié)果表明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在四種不同的不平衡響應(yīng)形式^[42]。Brancati等人采用短軸承理論求解了非線性滑動軸承油膜力，研究了恒定垂直載荷下不對稱及不平衡剛性轉(zhuǎn)子-滑動軸承系統(tǒng)的非線性運(yùn)動，并對相應(yīng)穩(wěn)定周期解的存在區(qū)域進(jìn)行了劃定^[43]。Garaner等用多尺度法分析了長軸承和短軸承近似下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)線性失穩(wěn)后的弱非線性運(yùn)動，研究了平衡點(diǎn)失穩(wěn)后的次臨界和超臨界分岔，研究了湍流對同頻渦動穩(wěn)定性的影響。Adams和Abu-Mahfouz用數(shù)值積分方法結(jié)合FFT變換、軸心軌跡分析和映射，研究了圓柱軸承和可傾瓦軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)豐富的非線性動力學(xué)行為，著力于揭示進(jìn)入和離開混沌的路徑。Adiletta等人采用π-油膜（π-oil）和短軸承理論求解了五自由度條件假設(shè)下的剛性不平衡轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性振動特性，并利用實(shí)驗(yàn)對理論計算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)在低轉(zhuǎn)速情況下兩者吻合較好，但是在高轉(zhuǎn)速時由于未考慮油膜的黏溫效應(yīng)及數(shù)學(xué)模型尚不完善導(dǎo)致兩者相差較大^[44,45]。Kicinski等人考慮了油膜的黏彈性和傳熱的影響，采用改進(jìn)的攝動法求解了滑動軸承的非線性剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，并提出了相應(yīng)的轉(zhuǎn)子-軸承非線性振動模型^[46]。Harsha等人則利用Hertz彈性接觸變形理論得到了考慮滾動軸承內(nèi)、外滾道表面波度的滾珠與滾道的接觸剛度，并采用Newmark-β法和Newton-Raphson法迭代求解了轉(zhuǎn)子-滾動軸承非線性微分方程，得到了不同波瓣數(shù)下渦動頻率的離散譜信息^[47]。Muszynska和Bently兩人在大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上提出了一種可計算大擾動情況下的流體激勵力模型，該模型后來也被廣泛地運(yùn)用于密封非線性力的求解中，大大地促進(jìn)了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的發(fā)展^[48,49]。Ding等人采用Muszynska的密封力非線性模型研究了對稱轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的霍普夫分岔行為，并證明了霍普夫分岔是導(dǎo)致完美平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界平衡位置不穩(wěn)定的原因^[50]。Hua等人則將精細(xì)積分法用于轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的非線性微分運(yùn)動方程的求解中，發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)中存在豐富的多周期運(yùn)動，并得到了轉(zhuǎn)子質(zhì)量、密封間隙等參數(shù)對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律^[51]。Banakh和Nikiforov針對二質(zhì)量（two-mass）模型的高速轉(zhuǎn)子-浮環(huán)密封系統(tǒng)的碰撞振動響應(yīng)及系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，認(rèn)為系統(tǒng)碰撞振動激發(fā)的超諧波振蕩可能是引起系統(tǒng)次諧波共振和不穩(wěn)定的原因^[52]。Wang等人研究了超臨界和亞臨界轉(zhuǎn)速下兩組典型汽輪機(jī)組蒸汽的熱力參數(shù)對Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)響應(yīng)的影響，并采用李亞普諾夫第一方法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性^[53]。Zhou等人基于有限元法和拉格朗日方程，研究了包含Muszynska非線性密封流體力和葉輪重力作用下的雙葉輪轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的非線性運(yùn)動，并指出較小的不平衡質(zhì)量和較大的密封長度均有利于雙葉輪轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的穩(wěn)定性^[54]。陳予恕和李松濤運(yùn)用Muszynska模型分析了非線性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性及失穩(wěn)后的非線性動力學(xué)行為。袁小陽和朱均基于打靶法提出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期振動求解及其穩(wěn)定性分析的數(shù)值方法，討論了不平衡量對圓柱軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。