3.2 非正弦信號采樣誤差分析

3.2.1 非正弦信號時域內(nèi)功率測量誤差分析

設(shè)電網(wǎng)電壓、電流信號分別為

其中，U_m、I_m分別為第m（m=1，2，…，M）次諧波電壓、電流信號的幅值；φ_m、ψ_m分別為相應(yīng)的諧波電壓、電流信號的初相位；ω為基波電壓、電流信號的角頻率，且ω=2πf=2π/T，f、T分別為基波電壓、電流的頻率和周期。

在一個基波周期T內(nèi)分別對電壓、電流波形均勻采樣N點(diǎn)，實際工程應(yīng)用中常以固定頻率f_s采樣（采樣周期T_s=1/f_s），則T=NT_s。假設(shè)被測信號的實際基波頻率f′相對于理想基波頻率f有Δf的偏差，即f′=f+Δf。設(shè)α=Δf/f，當(dāng)α≠0時，NT_s/f′為非整數(shù)，相應(yīng)的采樣序列為非整周期序列。被測電壓、電流信號的交流采樣序列可寫為

用數(shù)字積分法計算非整周期采樣一個周期T內(nèi)的有功功率，即

如果僅考慮式所有同頻諧波（含基波）電壓、電流的乘積項，則有

式中，P₀為整周期采樣有功功率表達(dá)式；為同頻率諧波電壓、電流分量因非整周期采樣引入的功率測量誤差。

如果考慮上式中所有非同頻諧波（含基波）電壓、電流的乘積項，因非整周期采樣也會產(chǎn)生功率測量誤差，即

可見，P=P₁+P₂=P₀+P₀+P₂，由于非整周期采樣頻率偏差的存在，已經(jīng)不滿足三角函數(shù)的正交性：同頻率諧波電壓、電流分量因非整周期采樣引入功率測量誤差；非同頻諧波（含基波）電壓、電流分量因非整周期采樣引入功率測量誤差P₂。

當(dāng)α=0時，、P₂均為0，非整周期采樣變?yōu)檎芷诓蓸?，整周期采樣時，總有功功率為

即整周期采樣時，總有功功率等于各次諧波有功功率之和，這是傳統(tǒng)有功功率的計算公式；非整周期采樣時，有功功率的相對誤差為

3.2.2 非正弦信號頻域內(nèi)功率測量誤差分析

對非整周期采樣序列進(jìn)行N點(diǎn)的離散傅里葉正變換和反變換，有正變換：

其中，（k=0，1，2，…，N-1）

同理可得到

其中，（k=0，1，2，…，N-1）

反變換得

本文中u（n）、i（n）均為實數(shù)，所以有

推導(dǎo)DFT變換后頻域內(nèi)有功功率表達(dá)式為

式中，|U（k）|、|I（k）|分別為u（n）、i（n）的第k點(diǎn)離散傅里葉變換U（k）、I（k）對應(yīng)的幅值；φ（k）為U（k）所對應(yīng)的相位值；ψ（k）為I（k）所對應(yīng)的相位值。

在非整周期采樣時，由于頻譜泄漏，|U（k）|、|I（k）|不是第k次電壓、電流諧波的準(zhǔn)確幅值，產(chǎn)生了泄漏誤差，含有頻譜泄漏誤差的有功功率表達(dá)

式為

在整周期采樣且當(dāng)k>M或k=0時，U（k）、I（k）均為0，也為0 (由于滿足滿足奈奎斯特定律，)，|U（k）|、|I（k）|分別是第k次電壓、電流諧波的準(zhǔn)確幅值，cos[φ（k）-ψ（k）]是第k次電壓、電流諧波的功率因數(shù)，可以用上式準(zhǔn)確計算第k次諧波的有功功率。也可以用下式計算基波和各次諧波的總有功功率：

3.2.3 仿真實例

為了驗證以上分析的正確性，利用MATLAB軟件進(jìn)行仿真。電壓信號和電流信號參數(shù)見表3.2，其中，基波頻率f=50Hz，采樣頻率f_s=4500Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N=90。求P₀、、P₂、P₃和e。仿真結(jié)果見表3.3。

從表3.3可以看出，，同頻率諧波電壓電流分量和非同頻諧波（含基波）電壓、電流分量因非整周期采樣引入功率測量；P₃=P，驗證了有功功率計算公式的時域、頻域的統(tǒng)一。當(dāng)頻率偏差Δf沿基頻正方向增大時（α也增大），相對誤差e增大；當(dāng)Δf沿基頻負(fù)方向減小時（α也減?。?，相對誤差e增大。