3.1 正弦信號采樣誤差分析

當按某一頻率對交流正弦信號進行采樣時，根據采樣間隔T_s與信號周期T的相互關系，可將采樣分為整周期采樣和非整周期采樣。其中，前者滿足關系式T=NT_s，N為一個周期內的采樣點數，此時，采樣截斷區間正好等于被測信號周期的整數倍。圖3.1和圖3.2給出了兩種采樣的示意圖。圖中，電壓信號頻率f₀=50Hz，采樣頻率分別為F_s1=500Hz，F_s2=510Hz，前者為整周期采樣。

從圖3.1和圖3.2可看出，整周期采樣下，采樣信號長度與原信號的周期嚴格相等，時域內無同步誤差；同時，延拓的采樣信號亦為原始交流信號的采樣，即保持了同周期重復關系。相反，在非整周期采樣中，出現了同步誤差和延拓后的不一致性，造成延拓的采樣信號不是原始交流信號的采樣。更深層次來講，對[0，T]內采樣等價于對原信號的矩形窗截斷，在頻域內即為信號頻譜與矩形窗頻譜的卷積，在整周期采樣時，矩形窗的過零點正好對齊離散頻點，故而無頻譜泄漏，且采樣序列的離散傅里葉變換（DFT）譜線是單一的位于ω_k處的譜線，也不會出現柵欄效應，可準確獲得信號的離散譜。因此，整周期采樣時不會引入采樣誤差；相反，非整周期采樣時則會引入誤差，如圖3.3所示。

3.1.1 整周期采樣誤差分析

理論上講，數字系電能表能計量的諧波次數（最高信號頻率）取決于采樣頻率并滿足采樣定理。而在工程上，隨著諧波次數的增加，電學量的振幅快速衰減，因而僅需考慮有限次數諧波的影響，故可將測量信號視為“帶限”信號。以周期電壓信號為例，設其最高諧波為M次，其表達式可寫為

其有效值的理論計算公式為

由于三角函數在區間[0，T₀]上滿足正交關系，故有

現對u（t）以頻率F_s=Nf₀采樣，則一個周期內的采樣點數為N（在滿足采樣定理條件下應有M≤N/2），采樣序列為

離散序列u（n）的有效值計算式為

下面將序列有效值公式進一步推導，定義數字角頻率和m次諧波的采樣序列為

由于整周期采樣、非同次諧波采樣序列之間相互正交，即有〈u_m（n），u_k（n）〉=δ_mk，所以：

而：

上式推導過程中應用了周期序列求和關系式：

因此有

結合前述推導，最終有。該結果表明：計算的有效值與理論值相等，即交流信號的整周期等間隔采樣不存在誤差。

同理，在電參量測量中，都類似于上述電壓的周期信號（都可采用FFT分解為正余弦信號），凡是采用數值積分方式進行求解的電參量，在整周期采樣情況下同樣不存在誤差。

3.1.2 非整周期采樣誤差分析

1.電壓、電流有效值誤差

以周期電壓信號為例，設被測電壓信號為u（t）=U_msinωt，有效值為U=。國標GB/T 15945—2008規定，電網頻率在[49.8，50.2]Hz之間波動，實際電壓頻率為f_x，以采樣頻率f_s等間隔采樣，一周內采樣N點，設第一個采樣點在α處，最后一個采樣點在2π+β處，且α≠β，則存在同步誤差（弧度）（見圖3.4）為

實際采樣中的間隔（弧度）為

各瞬時采樣點的位置（弧度）為

電壓在各點采樣的瞬時值為

在一個周期內求電壓有效值：

同步誤差Δω是很小的數，應用重要數學極限和可求得上式為

電壓測量的絕對誤差和相對誤差為

f為已知量，由上述誤差公式可知，工頻電壓、電流有效值的非整周期測量誤差與被測信號頻率f_x、采樣起始點α和采樣點數N有關。

2.功率有效值誤差

設被測信號為

一個周期內對電壓、電流同時等間隔采樣N點，電壓、電流信號采樣的起始點分別為α_u、α_i+φ，終止點分別為2π+β_u、2π+β_i，同步誤差分別為Δω_u=β_u-α_u、Δω_i=β_i-α_i，電流和電壓同步采樣，Δω=Δω_u=Δω_i，則電壓電流瞬時值為

功率理論有效值為

實際測量功率值為

實際測量結果和理論結果相比較，絕對誤差和相對誤差為

對比電壓、電流的誤差公式可見，功率誤差不僅與被測采樣起始點α、采樣點數N和信號頻率f_x有關，還受功率因數角φ的影響。

3.1.3 仿真分析

1.電壓/電流有效值誤差影響因素仿真分析

由前述電壓測量相對誤差公式：

可知，其實質上由多個變量綜合影響，包括被測信號頻率f_x、采樣起始點α和采樣點數N。

因此，為研究上述誤差影響參量對電壓有效值計算的影響，首先從整體考察三個參量變化時相對誤差的變化趨勢；其次，分別根據外部條件和影響程度，在確立一個參量的條件下，對其余參量進行仿真和分析；最后，在確立前述參量最優的條件下，考察剩余參量對誤差的影響。

仿真設定的條件：信號頻率f_x∈[49.8，50.2]，采樣點N∈[50，512]，采樣起始角α∈[0，π/2]。其中，電網頻率隨著電網實際運行情況變化而產生波動，國標GB/T15945—2008規定，允許其在[49.8，50.2]Hz之間波動；傳統采樣采用過零點采樣，包括上升和下降兩個過零點[0，π]，正弦信號情況下相互對稱，故采樣起始點的范圍為[0，π/2]；采樣點數應滿足奈奎斯特采樣定律，同時考慮工程實際，分別選取[50 64 100 128 200 256 400 512]。

整體以上述三個因數為誤差影響參量，仿真結果如圖3.5所示。

由圖3.5可以看出：

1）當被測信號頻率為50Hz時，電壓有效值相對誤差的絕對值相對最小，且不受采樣點數（滿足奈奎斯特采樣定律前提）和采樣起始角的影響；當被測信號偏離50Hz時，誤差隨著頻率波動幅值增大而逐漸增大。

2）當采樣起始角（即采樣起始點在周期左右）在45°～50°附近時，電壓有效值相對誤差的絕對值相對最較小，且受被測信號頻率波動和采樣點數的影響較小；當采樣起始點逐漸偏離45°～50°這個區域時，誤差逐漸增大；在采樣起始角接近0°和90°時，誤差最大。

3）采樣點數不會對電壓有效值相對誤差絕對值的整體趨勢產生影響，即在不同的采樣點數情況下，誤差整體趨勢由采樣起始角和被測信號頻率波動確定。

由于被測信號頻率波動是誤差影響的外在條件，且根據上述結果可知，相對于采樣起始點和被測信號頻率，采樣點數對電壓有效值相對誤差（絕對值）的總體影響程度較小。因此，首先確立采樣點數，考察被測信號頻率波動和采樣起始點對誤差的影響，進而得到不同被測信號頻率下的最優采樣起始角。

被測信號頻率波動和采樣起始點對誤差的影響

圖3.6分別為確定采樣點下被測信號相對誤差隨采樣起始角和信號頻率變化而變化的曲面。由圖3.6可知，在不同采樣點下，誤差的整體趨勢一致，但誤差較小的采樣角區域逐漸變小，相對誤差最小時的采樣起始角也將減小；從梯度圖可看出，當采樣起始角在45°～50°附近時，誤差小且變化較為緩慢，在采樣起始角接近0°和90°時，誤差急劇增加。

最優采樣起始角

從上述誤差曲面中分別找出誤差最小時的采樣起始角，即“最優采樣起始角”。此處遵循上述采樣點設置，在9個頻點進行仿真，統計結果見表3.1，結果如圖3.7所示。

從表3.1和圖3.7中可以看出，最優采樣起始角會隨著采樣點數和被測信號頻率的波動而改變。當采樣點數不變時，非50Hz處的最優采樣起始角將隨著頻率的增大而減小，最大和最小值之間最大相差1.434°；當被測信號頻率不變時，非50Hz處的最優采樣起始角也將隨著采樣點數的增大而減小，最大值和最小值之間最大相差3.261°。由此可見，被測信號頻率和采樣點數對最優采樣起始角的選取有著直接的影響。

此處僅是理論上尋找“最優采樣起始點”，從實際工程角度考慮，特別是在采樣頻率設定的情況下，這些“最優采樣起始角”將難以確定，給工程應用帶來了困難。而易于確定的過零點，從相對誤差曲線來看，恰恰是測量誤差較大的起始點，因為“過零點”采樣時，落在f_x范圍內的采樣值接近于零，遠離被測信號的有效值，故測量誤差比較大。故從減小誤差的角度考慮，鑒于電網信號的頻率是不可控性的，可采取鎖相電路來跟蹤信號的頻率變化，結合采樣點數選取合適的采樣起始角。

采樣點數

采樣點數和采樣頻率密切相關，對于模擬信號的采樣，在高精度電測儀表中，為了避免高頻干擾的影響，很好地重構被測信號，減小噪聲干擾，一般采用較高的采樣率。采樣率越高，一周內的采樣點數就越多，由離散公式求得的結果就越逼近理論值，即理論上講采樣頻率越高，越能完全復現出原模擬信號。當被測信號采樣起始角為45°、信號頻率為49.80Hz時，不同的N對相對誤差r絕對值的影響如圖3.8所示。

從圖3.8可以看出，當一周內采樣點數大于12時，相對誤差絕對值大于0.1%。由此可見，在確定信號頻率且不考慮采樣起始點的情況下，采樣點數越多，相對誤差越小；若已知被測信號頻率，應合理選擇采樣率。實際工程應用中，對于采樣點數可根據硬件平臺和計量精度來選取。

被測信號頻率波動的影響

國標GB/T 15945—2008規定，電網頻率允許在[49.8，50.2]Hz之間波動，從前述部分分析可知，電網頻率的波動對電壓、電流有效值和功率的測量有著很大的影響，此處以512采樣點、采樣起始角為45°進行仿真，定性分析被測信號頻率波動對有效值誤差的影響，結果如圖3.9所示。

從圖3.9可以看出，當信號頻率為50Hz時，相對誤差絕對值為零；被測信號頻率偏離50Hz越多，誤差越大；信號頻率的變化對相對誤差絕對值的影響基本近似線性變化。

2.功率有效值誤差影響因素仿真分析

由功率誤差公式：

可知，實質上其由多個變量綜合影響，包括被測信號頻率f_x、采樣起始點α、采樣點數N和功率因數角φ。

上式與有效值誤差相比，影響因素多了一個功率因數角φ，但整體與電壓有效值類似，因此其他影響因素在此不再做分析，著重研究分析功率因數角對有功相對誤差的影響。選取不同功率因數角，分別為π/6、π/4、π/3、π/2.5，被測信號頻率為49.8Hz，采樣起始角α∈[0，π/2]，不同功率因數角下有功相對誤差曲線如圖3.10所示。

從圖3.10相對誤差曲線可知，被測信號的功率因數角對有功功率的測量也有較大的影響。功率因數角越小，測量的相對誤差越大；同時考慮采樣起始角的影響，當采樣起始角大于60°以后，測量的相對誤差隨功率因數角的增大而急劇增大；最佳的采樣起始點隨著功率因數角的增大而減小。根據被測信號的功率因數角及頻率，選擇合適的采樣起始點和采樣點數，對提高有功功率測量的精度有著重要的意義。