第8節

故事與趣題

韓信倒油

韓信是西漢開國功臣，我國歷史上杰出的軍事家，“漢初三杰”之一。韓信早年生活坎坷，曾受淮陰屠中少年胯下之辱，又受城下漂母一飯之恩，他小時候就愛動腦筋，聰明過人。

傳說有一天，韓信外出，正好看到街上有兩個賣油人爭吵不休。出于好奇，就停下來看看發生了什么事。原來這兩個人合伙賣油，想把油簍里賣剩下的10斤油平分，但是他們手頭沒有秤，只有一個裝3斤的油葫蘆和一個裝7斤的瓦罐。他們用油桶倒來倒去，雙方總不滿意，因而爭吵起來。

韓信面對兩個各不相讓的賣油人和眼前的油桶、瓦罐、油葫蘆，默默沉思著。 有沒有辦法把油分精確呢？忽然眼前一亮，大聲說：“你們不要吵了，我能把它們分均勻。”說著，他把自己的想法告訴了這兩個賣油人。兩個賣油人按照韓信的辦法重新分，很快分好了，大家都很滿意。

小讀者們，你們知道韓信是怎樣分的嗎？

辦法是“葫蘆歸罐罐歸簍，三倒葫蘆兩倒罐。”這個是實際生活中的問題，為了便于將它們轉化為數學問題，我們需要做以下假設：

假設在每次倒“油”時都沒有“油”遺失；假設三個容器是干凈沒有污穢的；假設三個容器沒有破損；假設在進行上述活動時沒有意外發生。

我們就可以嘗試倒油了，如表8-1、表8-2所示。

表8-1

表8-2

最后，兩個賣油人各分得5斤。

這種方法就是不管數字多少，一般都是3個瓶子，先全部裝在最多的容器里，再倒入最少的里面，最后倒入中等的里面，反復幾次。最少的瓶子里面就可以得到一個新的量。這個量就是關鍵。然后，把最少的和中等的量相加，就是我們要求的量。

上面這種方法，好像完全是“湊”出來的；那么，有沒有比較普遍的解法呢？

讓我們再舉一個例子來說明。

有一個油壇，裝著很多油，還有兩個空油瓶，一個裝7升，另一個裝11升；限定只能用這兩個瓶子作為容器，可以倒來倒去，怎樣才能恰好稱出2升油？

這個問題自然可以用代數的辦法來解決。但是，在1939年時，一位數學家想出了一個巧妙的方法：設想有一個內角為60°的平行四邊形彈珠盤，一邊長7個單位，另一邊長11個單位；為了便于看出彈珠盤的撞擊路線，他在盤內劃分出許多小的正三角形，并在各邊上標明長度單位。

現在開始打彈珠。從左下角，沿著底邊（邊長為11個單位的一邊）打，這樣，彈珠就到達了圖上的A點，此點的坐標是（11,0），它的意思是：從油壇子里倒出11升油來裝滿大瓶。

彈珠撞了壁，就要碰回來，彈珠便從A點到達B點，坐標是（4,7）；它的意思是從大瓶里倒出7升油來裝滿小瓶，這時，大瓶里還有4升油，而小瓶里有7升油。這樣我們容易看到，第一個坐標便是大瓶里裝油的數量，第二個坐標就是小瓶里裝油的數量。不必多說，小讀者完全可以按照彈珠在各邊上的位置，得到相應的倒油步驟。這樣，經過18步之后，彈珠就到達了圖上的點（2,7），這時大瓶里恰好剩下2升油，問題就解決了，如圖8-1所示。

圖8-1

為了方便小讀者參考，我們在圖上標了倒油的步驟。其中，斜箭頭表示油從大瓶倒入小瓶：大瓶上面的箭頭表示油從油壇倒入大瓶；小瓶下面的箭頭表示油從小瓶倒入油壇，數字表示油的多少。

同學們是不是感到這種解法很有趣！

下面我們總結一下這類問題的解法。通常，有嘗試法、幾何坐標法、不定方程法。這種趣味數學游戲還有其他值得我們繼續深入研究的地方，有興趣的小讀者可以繼續探索，深入鉆研。

拓展應用

1． 有一個裝滿油的8升容器，另有5升及3升的空容器各一個，三個容器都沒有刻度，試將此8升油分成兩份4升油。

2．有人有12千克美酒，想把一半贈人，但沒有6千克的容器，而只有一個8千克和一個5千克的容器，怎樣才能分出6千克的美酒？

3．一個裝有14千克酒的容器，另外還有裝5千克和9千克酒的容器各一個，要把酒平分，該如何分？

4．一只水桶，可裝12升水，還有兩只空桶，容量分別為9升和5升，如何把大水桶的水平均分成兩份？