1.3 電磁場數值計算方法

1.計算電磁學的重要性

在現代科學研究中，科學實驗、理論分析、高性能計算已經成為三種重要的研究手段。在電磁學領域中，經典電磁理論只能在11種可分離變量坐標系中求解麥克斯韋方程組或其退化形式，最后得到解析解。解析解的優點如下。

● 可將解表示為已知函數的顯式，從而計算出精確的數值結果。

● 可以作為近似解和數值解的檢驗標準。

● 在解析過程中和在解的顯式中，可以觀察到問題的內在聯系，以及各個參數對數值結果所起的作用。

利用這種方法可以得到問題的準確解，而且效率比較高；但是其適用范圍太窄，只能求解具有規則邊界的簡單問題。當遇到不規則形狀或任意形狀的邊界問題時，需要比較復雜的數學技巧。20世紀60年代以來，隨著電子計算機技術的發展，一些電磁場的數值計算方法也迅速發展起來，并在實際工程問題中得到了廣泛的應用，從而形成了計算電磁學研究領域，成為現代電磁理論研究的主流。簡而言之，計算電磁學是在電磁場與微波技術學科中發展起來的，它建立在電磁場理論的基礎上，以高性能計算機技術為工具，運用計算數學方法，專門解決復雜電磁場與微波工程問題。相對于經典電磁理論分析而言，在應用計算電磁學解決電磁學問題時，受邊界約束大為減小，可以解決各種類型的復雜問題。從原則上來講，從直流電到光都屬于該學科的研究范圍。近幾年來，電磁場工程在以電磁能量或信息的傳輸、轉換過程為核心的強電與弱電領域中發揮了重要作用。

2.計算電磁學的分類

（1）時域方法與頻域方法。電磁學的數值計算方法可以分為時域（Time Domain，TD）方法和頻域（Frequency Domain，FD）方法兩大類。

時域方法是指對麥克斯韋方程組按時間步進后求解有關場量。最著名的時域方法是時域有限差分法（Finite Difference Time Domain，FDTD）。這種方法通常適用于求解在外界激勵下場的瞬態變化過程。若使用脈沖激勵源，則一次求解可以得到一個很寬頻帶范圍內的響應。時域方法具有可靠的精度、更快的計算速度，并且能夠真實地反映電磁現象的本質，特別是在諸如短脈沖雷達目標識別、時域測量、寬帶無線電通信等研究領域，更是具有不可估量的作用。

頻域方法基于時諧微分、積分方程，通過對N個均勻頻率采樣值進行傅里葉逆變換可得到所需的脈沖響應，即研究在時諧（Time Harmonic）激勵條件下，經過無限長時間后的穩態場的分布情況。使用這種方法，每次計算只能求得一個頻率點上的響應。在過去，這種方法被大量使用，主要原因是信號、雷達一般工作在窄帶上。

當要獲取復雜結構時域超寬帶響應時，如果采用頻域方法，則需要在很大帶寬范圍內的不同頻率點上進行多次計算，然后利用傅里葉變換獲得時域響應數據，計算量較大；如果直接采用時域方法，則可以一次性獲得時域超寬帶響應數據，大大提高計算效率。時域方法還能直接處理非線性媒質和時變媒質問題，具有很大的優越性。時域方法使電磁場的理論與計算從處理穩態問題發展到能夠處理瞬態問題，使人們處理電磁現象的范圍得到了極大的擴展。

頻域方法可以分成基于射線的方法（Ray-based）和基于電流的方法（Current-based）?；谏渚€的方法包括幾何光學法（GO）、幾何繞射理論（GTD）和一致性繞射理論（UTD）等；基于電流的方法主要包括矩量法（MoM）和物理光學法（PO）等?；谏渚€的方法通常用光的傳播方式來近似電磁波的行為，考慮射向平面后的反射與經過邊緣、尖劈和曲面后的繞射。當然，這些方法都是高頻近似方法，主要適用于那些目標表面光滑且其細節對于工作頻率而言可以忽略的情況。同時，這些方法對近場的模擬不夠精確?；陔娏鞯姆椒ㄒ话阃ㄟ^求解目標在外界激勵下的感應電流來求解感應電流產生的散射場，但真實的場為激勵場與散射場之和。在基于電流的方法中，最著名的是矩量法。矩量法嚴格建立在積分方程的基礎上，在數字上是精確的。其實，我們并不能判斷矢量法是一種低頻方法還是一種高頻方法，只是該方法所需的存儲空間和計算時間隨未知元數的快速增長阻止了其在高頻情況下的應用，因而被限定在低頻至中頻的應用中。物理光學法可以認為是矩量法的一種近似，它忽略了各子散射元間的相互耦合作用，這種近似對大而平滑的目標是適用的，但是對于目標上含有邊緣、尖劈和拐角等外形的部件，它就失效了。當然，對于形狀簡單的物體，物理光學法還是一個常用的方法，畢竟其求解過程很迅速，并且所需的存儲空間也非常小。

（2）積分方程法與微分方程法。從求解的方程形式上又可以將電磁學的數值計算方法分為積分方程（IE）法和微分方程（DE）法。IE法與DE法相比，其特點如下：①IE法的求解區域維數比DE法的求解區域維數少一維，誤差僅限于求解區域的邊界，故精度高；②IE法適宜求解無限域問題，而DE法在用于無限域問題的求解時會遇到網格截斷問題；③IE法產生的矩陣是滿的，階數小，而DE法產生的矩陣是稀疏的，階數大；④IE法難以處理非均勻、非線性和時變媒質問題，而DE法則可以直接用于求解這類問題。因此，求解電磁場工程問題的出發點有四種方式：頻域積分方程（FDIE）、頻域微分方程（FDDE）、時域微分方程（TDDE）和時域積分方程（TDIE）。

計算電磁學也可以分成基于微分方程的方法和基于積分方程的方法。其中，基于微分方程的方法包括時域有限差分法（FDTD）、時域有限體積法（FVTD）、頻域有限差分法（FDFD）、有限元法（FEM）。在基于微分方程的方法中，其未知數從理論上講應定義在整個自由空間內，以滿足電磁場在無限遠處的輻射條件。但是計算機只有有限的存儲量，因此人們引入了吸收邊界條件，以此來等效無限遠處的輻射條件，使未知數局限于有限空間內。即便如此，其涉及的未知數數目依然龐大（相比于邊界積分方程而言）。同時，偏微分方程的局域性使得場在數值網格的傳播過程中形成色散誤差，而且研究的區域越大，色散誤差就越大。數目龐大的未知數和數值耗散問題使得基于微分方程的方法在分析電大尺寸目標時遇到了困難。對于有限元法，早期基于節點（Node-based）的處理方式非常有可能由于插值函數的導數不滿足連續性而出現不可預知的偽解問題，使得這種在工程力學中非常成功的方法在電磁學領域無法大展身手，直到一種基于棱邊（Edge-based）的處理方式出現后，這個問題才得以解決。

基于積分方程的方法主要包括各類基于邊界積分方程與體積積分方程的方法。與基于微分方程的方法不同，其未知數通常定義在源區。例如，對于完全導電體（金屬），其未知數僅存在于表面，這顯然比基于微分方程的方法少很多未知數。格林函數的引入使得電磁場在無限遠處的輻射條件已解析地包含在方程中。場的傳播過程可由格林函數來精確描述，因而不存在色散誤差的積累效應。

（3）幾種主要方法的比較。這里對計算電磁學中幾種主要的數值計算方法進行簡單的比較，包括時域有限差分法（FDTD）、有限元法（FEM）、矩量法（MoM）、多極子法（MMP）、幾何光學繞射法（GTD）、物理光學繞射法（PTD）和傳輸線法（TLM），如表1-3所示。

（4）多種方法的混合使用。由于實際問題的多樣性，單獨使用以上介紹的方法可能并不能滿足需要，如涂敷媒質的目標、印制電路板及微帶天線的輻射散射/EMC分析、帶復雜腔體和縫隙結構的目標的散射等。因此，工程界常常將各種方法搭配起來使用，形成各種混合方法。常見的混合方法包括邊界積分方程與體積積分方程/微分方程方法的混合、高頻近似方法與低頻精確方法的混合、解析方法與數值方法的混合等。

高頻近似方法與低頻精確方法的混合方法一般是針對含有復雜細節的電大尺寸目標提出的。由于完全使用低頻精確方法處理電大尺寸部分往往會超出目前計算機的能力，而單純使用高頻近似方法又得不到足夠精確的近場，所以這種分而治之的折中方案就出現了。常用的混合方法包括彈跳射線法/矩量法混合（SBR/MoM）、物理光學繞射法/矩量法混合（PTD/MoM）、幾何光學繞射法/矩量法混合（GTD/MoM）等。雖然引入了高頻近似，贏得了速度和空間，但在一定程度上損失了精度。

除了上述幾種混合方法，將解析方法和數值方法混合也是一種非常有用的方法。例如，在二維非均勻媒質電磁學問題中，將二維的數值計算轉化為徑向本征模式展開與縱向解析遞推的數值模式匹配法（NMM）；對于n維偏微分方程，先使用n-l維數值離散方法將其轉化為常微分方程，再用解析方法求其通解的直線法都是很好的例子。

（5）算法的快速求解。快速算法是為了解決矩量法求解過程中存儲量和計算量過大的問題而出現的。近年來，許多學者致力于精確方法的快速求解，以滿足工程中日益增長的對電大尺寸復雜物體進行精確模擬的需要。由于矩量法產生的是一個滿陣，存儲量為O（N²），采用直接求解的計算復雜度為O（N³），采用迭代求解的計算復雜度為O（N²）。當未知數數目N增大的時候，存儲量和計算量都會快速增加，這極大地限制了其求解能力。而某些基于矩量法的快速算法（如多層快速多極子算法）則可以成功地將存儲量和計算復雜度分別降到O（N）和O（NlogN）量級，極大地提升了其求解能力。這些方法主要有基于分組思想的快速多極子方法（FMM）、多層快速多極子算法（MLFMA）、快速非均勻平面波算法（FIPWA）、自適應積分法（AIM）、共軛梯度快速傅里葉變換（CG-FFT）等。

并行計算也稱高性能計算，它在現有的算法基礎上增加計算資源等硬件設施，把待求解的問題分解為許多小問題，并分別在不同的處理器上求解，通過網絡等方式實現進程間的通信，最后得到需要的解，從而實現聯合求解。并行計算機從20世紀中期出現以來，出現了多種體系，主要有并行向量機（PVP）、對稱多處理機（SMP）、大規模并行處理機（MPP）、集群（Cluster）、分布式共享存儲多處理機（DSM）等。

下面對幾種主要的計算電磁學數值計算方法進行簡單的介紹。

3.有限元法（FEM）

有限元法是在20世紀40年代被提出的，50年代，用于飛機的設計中。后來，這種方法得到發展并廣泛地應用于結構分析問題中。目前，作為廣泛應用于工程和數學問題的一種通用方法，有限元法已非常著名。

有限元法是以變分原理為基礎的一種數值計算方法。它應用變分原理把所要求解的邊值問題轉化為相應的變分問題，通過對場域進行剖分、插值，將離散化變分問題變為普通多元函數的極值問題，進而得到一組多元的代數方程組，此時只需求解代數方程組就可以得到所求邊值問題的數值解。有限元法對微分形式的麥克斯韋方程組在頻域進行求解，其求解的未知數是每個小網格的電場與磁場。有限元法一般會對整個求解空間用四面體進行劃分，并計算4個格點上的場強，四面體的內部場強分布由4個格點插值得出。通常在待仿真的金屬結構和變化比較復雜的部分，網格劃分得更密。

有限元法從原理上可以對任意形狀的結構進行求解，類似于暴力破解算法，對結構的要求少；但是它消耗的仿真資源多、仿真速度慢。

因為要對整個空間進行網格劃分，所以有限元法實際上更適合封閉的空間。但在實際操作中，仿真器通過引入吸收邊界條件（Absorbing Boundary Conditions）和完美匹配層（Perfectly Matched Layers）等技術，已經能夠極好地解決開放空間的求解問題。因此，有限元法已經不再局限于封閉空間。片上無源空間也是一個開放空間求解問題，我們一般要設置空氣盒子的六面為輻射邊界，以得到更準確的結果。

有限元法的求解步驟如下。

（1）區域離散化。將場域或物體分為有限個子域，如三角形、四邊形、四面體、六面體等。

（2）選擇插值函數。選擇插值函數的類型（如多項式），用節點（圖形定點）的場值求取子域各點的場的近似值。插值函數可以選擇為一階（線性）、二階（二次）或高階多項式。盡管高階多項式的精度高，但通常得到的公式比較復雜。

（3）方程組公式的建立。可以通過里茨方法或伽遼金方法建立方程組公式。

（4）選擇合適的代數解法求解代數方程，即可得到待求解邊值問題的數值解。

有限元法的特點如下。

● 最終求解的線性代數方程組一般為正定的稀疏系數矩陣。

● 特別適合處理具有復雜幾何形狀物體和邊界的問題。

● 便于處理有多種媒質和非均勻連續媒質的問題。

● 便于計算機實現，可以將其做成標準化的軟件包。

4.矩量法（MoM）

矩量法是計算電磁學中最常用的方法之一。自從20世紀60年代Harrington提出矩量法的基本概念以來，它在理論上日臻完善，并廣泛應用于工程之中。特別是在電磁輻射與散射及電磁兼容領域，矩量法更顯示出其獨特的優越性。

矩量法的基本思想是將幾何目標剖分離散，并在其上定義合適的基函數，然后建立積分方程，用權函數進行檢驗，從而產生一個矩陣方程，求解該矩陣方程，即可得到幾何目標上的電流分布，從而求得其他近/遠場信息。矩量法對積分形式的麥克斯韋方程組在頻域求解時，需要求解的未知數為金屬的表層電流分布，得到電流分布后，仿真器只需根據格林函數進行數值積分即可得到待求解空間任何點的場分布。在有限元法中，未知數為空間每個點的場分布，其求解矩陣維度大于矩量法的求解矩陣維度。

矩量法的另一大優勢是整個無限大的背景結構的信息已經包含在格林函數中，在計算時，它只需對待求解的金屬結構劃分網格，而不需要對媒質層劃分網格，因此，其網格數目小于有限元法的網格數目。因此，對于特定結構（3D層狀結構），矩量法的求解速度快、消耗的計算資源少。

對于任意結構或非均勻媒質，矩量法在理論上也可以求解。但是需要使用體積/表面積積分方程對背景環境進行描述，導致未知數數目急劇增加、求解效率急劇下降，反而不如求解微分方程的有限元法高效。

矩量法的求解過程如下。

（1）離散化過程：主要目的是將算子方程轉化為代數方程。算子方程為

式中，f為未知等效流或場；g為已知激勵源。算子L的定義域適當地選擇一組線性無關的基函數（f₁，f₂，…，f_n）（或稱展開函數），將未知函數f在算子L的定義域內展開為基函數的線性組合并取有限項近似，即

再將式（1-13）代入算子方程中，利用算子的線性性質，可將算子方程轉化為代數方程，即

于是，求解未知函數f的問題就轉化為求解未知系數a_n的問題。

（2）取樣檢驗過程：為了使未知函數f與其近似函數f_N之間的誤差極小，必須進行取樣檢驗，在抽樣點上使加權平均誤差為零，從而確定未知系數a_n。

在算子L的值域內適當地選擇一組線性無關的權函數（又稱檢驗函數）W_m，將其與上述代數方程取內積進行抽樣檢驗，即

利用算子的線性和內積性質，將式（1-15）轉化為矩陣方程，得

于是，求解代數方程的問題就轉化為求解矩陣方程的問題。

（3）矩陣的求逆過程：一旦得到了矩陣方程，通過常規的矩陣求逆或求解線性方程組，就可以得到矩陣方程的解，從而確定展開系數a_n，得到原算子方程的解。

矩量法的特點如下。

（1）矩量法是基于電磁場積分方程的數值計算方法。積分方程的主要優點在于：一方面，由于格林函數的引入，電磁場在無限遠處的輻射條件已經解析地包含在積分方程中，這樣可以準確地得到未知數之間的關系，避免數值色散誤差；另一方面，它產生的未知數的數目一般比基于微分方程的方法產生的未知數的數目少很多，比較適用于解決電大尺寸的電磁散射問題。

（2）矩量法是一種精確方法，其結果精度僅受計算精度和計算模型精度的限制，因此，它可以實現任意精度下的計算和求解。

（3）矩量法是一種穩定的計算方法，在整個矩量法的求解過程中，不易出現類似于其他計算方法計算過程中出現的偽解問題，同時，它得到的矩陣條件數好，容易求解、求逆。

（4）對于金屬表面，矩量法可以利用邊界條件直接簡化計算，從而導出金屬表面的積分方程，而其他計算方法則往往要完全計算整個實體的場分布，這就體現出矩量法在分析金屬表面問題時的優越性。

（5）矩量法的全局性使得它產生的矩陣為稠密矩陣，這樣，經典矩量法的數據存儲量和計算復雜度都很高。因此，快速算法的研究成為矩量法應用研究中的一個熱點。

5.時域有限差分算法（FDTD）

從Yee于1966年在解決電磁散射問題的時候提出最初思想到現在，FDTD已經經過了近60年的發展。在此期間，人們不斷提出新的思想和方法來克服FDTD的一些缺點。例如，在時間步進算法上，除了傳統的Leap-Frog算法，還發展了線性多步時間步進算法（如交錯后向差分算法和交錯式Adams-Bashforth算法），單步時間步進算法（如Runge-Kutta算法和離散積異卷積法），偽譜算法（如采用Laguerre多項式、交替方向隱式時間步進算法）等；在空間離散上，除了傳統的基于Taylor級數展開定理的中心對稱有限差分格式，還發展了Discrete Singular Convolution（DSC）格式、非標準的有限差分格式、基于窗函數法的中心對稱有限差分格式、最優有限差分格式、FFT等。至此，FDTD已經形成了一個龐大的算法族。

傳統電磁場的計算主要是在頻域上進行的，但近年來，時域計算方法也越來越受到重視。FDTD是電磁場的一種時域計算方法，它已在很多方面顯示出其獨特的優越性，在解決有關非均勻媒質、任意形狀和復雜結構的散射體及輻射系統的電磁問題中更加突出。FDTD可以直接求解依賴時間變量的麥克斯韋旋度方程，利用二階精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接轉換為差分形式，這樣實現了在一定體積內和一段時間上對連續電磁場的數據進行取樣壓縮。電場和磁場分量在空間被交叉放置，這樣可以保證在媒質邊界切向場分量的連續條件自然得到滿足。在笛卡兒坐標系中，每個磁場分量由4個電場分量包圍，每個電場分量也由4個磁場分量包圍。

這種電磁場的空間放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然幾何結構。因此，FDTD是計算機在數據存儲空間對連續實際電磁波的傳播過程在時間進程上進行的數字模擬。在每個網格點上，各場分量的新值均僅依賴該點在同一時間步的值及該點周圍鄰近點其他場前半個時間步的值，這正是電磁場的感應原理。這些關系構成了FDTD的基本算式，通過逐個時間步對模擬區域各網格點進行計算，在執行到適當的時間步數后，即可獲得所需的結果。

FDTD的特點如下。

（1）直接時域計算。FDTD直接把含時間變量的麥克斯韋旋度方程在Yee氏網格空間轉換為差分方程。在這種差分格式中，每個網格點上的電場（或磁場）分量僅與它相鄰的磁場（或電場）分量及上一時間步該點的場值有關。在每一時間步計算網格空間各點的電場和磁場分量，隨著時間步的推進，即能直接模擬電磁波及其與物體的相互作用過程。FDTD把各類問題都作為初值問題來處理，使電磁波的時域特性被直接反映出來。這一特點使它能直接給出非常豐富的電磁場問題的時域信息，給復雜的物理過程描繪出清晰的物理圖像。如果需要頻域信息，則只需對時域信息進行傅里葉變換即可。如果想獲得寬頻帶信息，則只需在寬頻譜的脈沖激勵下進行一次計算即可。

（2）廣泛的適用性。FDTD的直接出發點是概括電磁場普遍規律的麥克斯韋方程組，這就預示著該方法具有廣泛的適用性，近幾年的發展完全證實了這一點。從具體的算法來看，在FDTD的差分方程中，被模擬空間電磁性質的參量是按網格空間給出的，因此，只需設定相應的空間點以適應參數，即可模擬各種復雜的電磁結構。媒質的非均勻性、各向異性、色散特性和非線性等能很容易地被精確模擬。由于網格空間中的電場和磁場分量是被交叉放置的，而且在計算中用差分代替了導數，所以媒質邊界切向場分量的連續條件能自然得到滿足，這就為模擬復雜的電磁結構提供了極大的方便，任何問題只要能正確地對源和結構進行模擬，FDTD就能給出正確的解答。

（3）節省計算機的存儲空間和計算時間。很多復雜的電磁場問題都不能計算解決，往往不是因為沒有可選用的方法，而是因為計算條件的限制。當代電子計算機的發展方向是運用并行處理技術進一步提高計算速度。并行計算機的發展推動了數值計算中并行處理的研究，適合并行計算的發展將發揮更大的作用。例如，前面指出的FDTD的計算特點是每一網格點上的電場（或磁場）只與其周圍相鄰點處的磁場（或電場）及其上一時間步的場值有關，這使得它特別適合用于并行計算。施行并行計算可使FDTD所需的存儲空間和計算時間減少為只與N^1/3成正比。

（4）計算程序的通用性。由于麥克斯韋方程組是FDTD計算任何問題的數學模型，因而它的基本差分方程具有通用性。此外，吸收邊界條件和連續條件對很多問題都是通用的，而計算對象的模擬則是通過給網格賦予參數來實現的，與以上各部分沒有直接聯系，可以獨立進行。因此，一個基礎的FDTD計算程序對電磁場問題具有通用性，對不同的問題或計算對象只需修改有關部分即可，大部分是相同的。

（5）簡單、直觀，容易掌握。FDTD直接從麥克斯韋方程組出發，不需要任何導出方程，這樣就避免了使用更多的數學工具，使得它成為所有電磁場數值計算方法中最簡單的一種。由于FDTD能直接在時域中模擬電磁波的傳播及其與物體作用的物理過程，所以該方法又是非常直觀的一種方法。由于它既簡單又直觀，所以掌握它不是件很困難的事情，只要掌握電磁場的基本理論知識（不需要很多數學知識），就可以學習運用這一方法解決很復雜的電磁場問題。因此，這一方法很容易得到推廣，并在很廣泛的領域發揮作用。

6.彈跳射線法（SBR）

彈跳射線法（SBR）技術是由Hao Ling等于20世紀80年代末提出的高頻算法，這是一種結合了幾何光學法和物理光學法優點的高頻近似方法：首先，將入射的平面電磁波用一定密度的密集射線管來模擬入射波在目標幾何結構中的傳播情況，根據幾何光學法的原理，相鄰射線管之間沒有能量的耦合和泄漏，當射線照射目標時，按照光學原理發生反射來追蹤所有射線管在空間中的行進軌跡；然后，利用幾何光學法追蹤所有射線管中的場值變化，并在射線管離開目標表面時，利用物理光學法的原理對射線管的遠場散射場進行計算；最后，累加所有射線管的遠場散射場貢獻即可得到目標的總散射場。

7.如何選擇合適的電磁場仿真算法

（1）結構的特點。對于層狀結構，矩量法能夠提供最高效、快速地求解，因此可以優先考慮矩量法。例如，PCB走線、層狀倒封裝、片上無源器件，都可認為是層狀結構。對于轉換頭、接口、波導、三維天線、BGA等復雜的非層狀結構，只能選擇有限元法和FDTD。

當然，對于極其簡單的結構，如單圈電感等，采用有限元法也可以很快得到結果，速度差別并不明顯。

（2）結構的響應類型。由于有限元法和矩量法均從頻域求解，所以它們比FDTD更適合那些具備窄帶響應或高Q值（品質因數）的結構，如濾波器、諧振腔、波導等。FDTD從時域求解，因而天生更適合分析TDR和EMI、EMC等。對于寬帶響應，FDTD也更高效，它在時域求解之后采用傅里葉變換即可得到頻率響應；但有限元法和矩量法需要對頻帶內的頻點逐一進行求解（自適應算法可減少求解頻點數目）。

（3）結構的復雜程度與端口的數目。對于復雜的3D結構，有限元法的求解效率要高于FDTD的求解效率。另外，有限元法和矩量法的求解時間與端口數目的關系不大，一次求解即可得到所有端口的響應；而FDTD對N個端口需要重復求解N次。因此，像BGA這樣的多端口結構，有限元法是更好的選擇。表1-4和表1-5分別給出了不同特點的應用及不同的應用領域選擇數值計算方法的優/劣勢。