2.2　收益波動率

對于單個資產(chǎn)而言，收益波動率是它在多個周期上的收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。我們通過收益率的方差來定義它：

方差也可以用算術(shù)平均數(shù)（即一階矩）和二階矩來表示。我們有

·變量上的橫線表示平均值。注意式（2-6）和式（2-7）是用N而不是N-1作為除數(shù)。因此，它們不是方差的無偏估計。我們的目標(biāo)是分析方差和各種收益率之間的關(guān)系。

例2.2：延續(xù)例2.1，我們可以計算出前后兩期收益率依次為100%和-50%的投資的收益波動率：

方差（式（2-6））是根據(jù)各期收益率和算術(shù)平均收益率之間的差異來定義的。它可以被重寫為各期收益率之間的成對差異的函數(shù)。我們有

雙重求和覆蓋了所有可能的i和j的組合。當(dāng)然，當(dāng)i和j相同時，相應(yīng)項就消失了。式（2-8）的證明留作練習(xí)。

我們已經(jīng)定義了等權(quán)重下的算術(shù)平均收益率和收益波動率，即對每個收益率樣本都使用1/N的權(quán)重。這個定義可以推廣到非等權(quán)重的情形。假設(shè)權(quán)重是p₁，p₂，…，p_N，相應(yīng)的收益率樣本是r₁，r₂，…，r_N，且p₁+p₂+…+p_N=1，我們定義

類似地，

注意，均值μ由式（2-9）給出。

·式（2-9）和式（2-10）的定義適用于當(dāng)我們想給不同時期的收益率分配不同權(quán)重的場景。一種典型的方法是使用指數(shù)衰減的加權(quán)方案，對近期的數(shù)據(jù)點賦予更高的權(quán)重，而對早期的數(shù)據(jù)點賦予更低的權(quán)重。

·根據(jù)代數(shù)表達(dá)式，式（2-9）中的權(quán)重p₁，p₂，…，p_N不必全是正數(shù)。當(dāng)我們有負(fù)權(quán)重時，這兩個定義仍然成立，但它們的解釋必須改變。例如，式（2-10）中的某些項可能不再是非負(fù)的，這不是我們所習(xí)慣的經(jīng)典方差。后面，我們將會在研究組合權(quán)重有正有負(fù)的多空投資組合時遇到這樣一個廣義的“方差”。

廣義方差（式（2-10））可以用與式（2-8）類似的形式書寫。我們有