2.1　算術平均和幾何平均

算術平均收益率或平均收益率的定義是

幾何平均收益率的定義是

通常我們會將式（2-2）寫成如下更自然的形式，它表明g是該資產在N個周期上的平均累積收益：

關于算術平均收益率和幾何平均收益率的一個基本結果就是前者總是大于等于后者。在數學證明之前，我們先來看一個簡單而深刻的例子。

例2.1：假設一項投資在第一個周期具有100%的收益率，而在第二個周期具有-50%的收益率。那么其算術平均收益率就是

其幾何平均收益率是

幾何平均收益率是零，因為該項投資的價值最終沒有發生改變。第一期翻倍，第二期減半，累積收益率為0%。然而，算術平均收益率卻是正的。直觀地說，如果一項投資在兩個周期后的累積收益為零，那么這兩個周期的收益必然一正一負。此外，正收益率的幅度必然大于負收益率的幅度，這就導致算術平均值必然為正。

為了從數學上證明μ≥g，我們首先注意到當r_j≥-1時，有1+r_j≥0。以下算術平均-幾何平均不等式（AM-GM）適用于一般非負數a₁，a₂，…，a_N：

現在，我們用1+r_j代替不等式中的a_j，j=1，2，…，N。式（2-4）的左邊變成1+μ，右邊變成1+g，這就得出了μ≥g。我們對此結果有以下說明：

·只有條件1+r_j≥0為真，算術平均-幾何平均不等式才能成立。

·只有當所有周期的收益相同時，等號才成立，即r₁=r₂=…=r_N，這意味著資產收益率的波動率為零。后面我們將更詳細地分析算術和幾何平均收益與收益波動率之間的關系。

算術平均-幾何平均不等式，即式（2-4）是更一般結果的特例。請注意，其左側代表一個等權重的平均值。如果我們考慮一個帶有非負權重的加權平均值，即a₁，a₂，…，a_N都是非負實數，權重p₁，p₂，…，p_N均非負，且滿足p₁+p₂+…+p_N=1，則廣義算術平均-幾何平均不等式是

·為了使式（2-5）中的等號成立，需要a₁，a₂…，a_N完全相同。當我們研究資產組合的算術平均和幾何平均收益時，我們將使用這個不等式。