前言

《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，是中國古代先秦至西漢論天三家（宣夜、周髀、渾天）之一周髀家學(xué)說的經(jīng)典記錄，未署作者或編者之名。周髀，本意是周代測影用的圭表。書中陳子答榮方問時(shí)已挑明書名含義，陳子說：“古時(shí)天子治周，此數(shù)望之從周，故曰周髀。髀者，表也。”測影的圭表是周髀家的主要儀器，測影的數(shù)據(jù)、方法及理論分析是周髀家的學(xué)說基石，稱《周髀》可以說是名實(shí)相符。到唐代，國子監(jiān)以李淳風(fēng)〔1〕 （602—670）等注釋的十部算經(jīng)作為教材，《周髀》改稱《周髀算經(jīng)》，列為十部算經(jīng)的第一部，遂以《周髀算經(jīng)》傳世。根據(jù)流傳至今最古的版本南宋本，書名中的“算”字原為“筭”字。今因“筭”同“算”，故本書沿用《周髀算經(jīng)》之稱。

著作年代和內(nèi)容

天文學(xué)經(jīng)過春秋戰(zhàn)國時(shí)期的百家爭鳴和政治經(jīng)濟(jì)大變革，出現(xiàn)了多種思潮和學(xué)派，其中最有價(jià)值的是渾天說和宣夜說。這些新天文學(xué)派對傳統(tǒng)周髀說提出了有力的質(zhì)疑。秦始皇統(tǒng)一中國后，重整歷律，各派繼續(xù)爭辯。為回應(yīng)當(dāng)時(shí)的新天文學(xué)派，《周髀算經(jīng)》可能就在此期間或較后在周髀學(xué)派流傳著作的基礎(chǔ)上編輯成書。編輯年代學(xué)術(shù)界看法不一，具體年代待考。

《商高篇》（此篇名及下文的《陳子篇》、《周髀天文篇》皆系譯注者所加）和《陳子篇》均以“昔者”一詞起始，說明此兩篇的寫作年代分別晚于周公、商高和陳子時(shí)代，而文中的辭句構(gòu)造卻說明此兩篇的寫作年代要早于《周髀算經(jīng)》的編輯年代。

《周髀算經(jīng)》的本文，雖僅六千二百余字，但言簡意賅，內(nèi)容充實(shí)深廣，是一部以推理觀測為基礎(chǔ)的學(xué)術(shù)著作，堪稱古代研究自然科學(xué)的奇著。從行文體裁到內(nèi)容分析，顯然不是一個(gè)人也不是一個(gè)時(shí)代的著作，全書可分為三部分。首先是西周數(shù)學(xué)大師商高以對話方式向周公敘述當(dāng)時(shí)的主要數(shù)學(xué)理論和成就，以及在觀測天地上的應(yīng)用。此部分是中華古文明現(xiàn)存最早的一篇數(shù)學(xué)述作，本書將其稱為《商高篇》。

《商高篇》敘述的主要數(shù)學(xué)成就可以歸納為三點(diǎn)：1. 創(chuàng)建積矩推導(dǎo)法和推導(dǎo)勾股定理；2. 建立方圓法和“毀方而為圓，破圓而為方”的理論和步驟，推算近似圓面積及圓周率；3. 矩在觀測天地上的應(yīng)用。商高積矩推導(dǎo)法的一個(gè)主要成就是把數(shù)學(xué)由經(jīng)驗(yàn)層次發(fā)展到以推導(dǎo)證明的層次，從而奠定了中國理論數(shù)學(xué)的基石。以全球視角來分析，根據(jù)希臘科學(xué)史家普羅克魯斯（Proclus，410—485）在其Eudemian Summary （《歐德莫斯概要》）中的論述，西方有據(jù)可考的畢達(dá)哥拉斯定理〔2〕 （Pythagorean Theorem，即勾股定理）的最早證明出現(xiàn)在歐幾里得〔3〕 （Euclid，活動(dòng)于公元前300）的《幾何原本》中。商高推導(dǎo)勾股定理的敘述是世界數(shù)學(xué)史現(xiàn)存最早證明勾股定理的記載。公元前三世紀(jì)古希臘科學(xué)家阿基米德（Archimedes，約公元前287—前212）繼承其前輩歐多克索斯〔4〕 （Eudoxus，約公元前408—355）的思路，創(chuàng)用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，以此推導(dǎo)圓周率。商高方圓法的“毀方而為圓，破圓而為方”已在理論上指出了圓周率近似值的推算步驟。測量數(shù)學(xué)雖早在古埃及和巴比倫已有實(shí)際應(yīng)用，商高在矩應(yīng)用上的敘述也是現(xiàn)存測量數(shù)學(xué)的早期系統(tǒng)記載。這些成就奠定了《商高篇》在世界數(shù)學(xué)史上應(yīng)有的地位。

《周髀算經(jīng)》的第二部分包含春秋末期（或戰(zhàn)國初期）杰出數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家陳子的數(shù)學(xué)、天文學(xué)成就，本書稱之為《陳子篇》。其內(nèi)容是以師生對話方式敘述治學(xué)之道和春秋戰(zhàn)國之交有關(guān)周髀說的天文學(xué)知識。陳子注重“通類”思考，提出“同術(shù)相學(xué)，同事相觀”以協(xié)助思維的治學(xué)之道。《陳子篇》的主要成就可以歸納為四點(diǎn)：1. 二望雙測法和重差公式的推導(dǎo)；2. 日徑和日高的測量和推算；3. 影差與日（視）運(yùn)行的模型分析；4. 日月（視）運(yùn)行與季節(jié)的七衡圖理論關(guān)系。

陳子重差公式的推導(dǎo)，現(xiàn)僅存日高圖和圖中標(biāo)以甲、乙、戊面積所示的數(shù)量關(guān)系。歷來學(xué)者對這些面積之間的關(guān)系有不同看法，但均未解釋這些面積對于推導(dǎo)重差公式的關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)存南宋本和明刻本的陳子日高圖脫缺最下一行；補(bǔ)上底行的陳子日高圖（參見《陳子篇》二“日高圖”，圖四十和圖四十五）展示甲、乙、戊面積之間的關(guān)系，正是推導(dǎo)重差公式的關(guān)鍵的面積關(guān)系且與趙爽注文符合。由此證實(shí)，推導(dǎo)重差公式出自春秋末期（或戰(zhàn)國初期）的陳子，遠(yuǎn)在趙爽（約活動(dòng)于公元250左右）和劉徽〔5〕 （活動(dòng)于公元263左右）時(shí)代之前。

陳子應(yīng)用此重差公式不僅測量和推算出日徑和日高，而且測導(dǎo)出“寸差千里”日影與日（視）運(yùn)動(dòng)度量上的關(guān)系。由此“寸差千里”影距關(guān)系，陳子建立了日月（視）運(yùn)行的數(shù)理模式和其運(yùn)行與季節(jié)的七衡圖理論關(guān)系。當(dāng)后世學(xué)者理解到天體（視）運(yùn)行與觀測地水平面相互平行假設(shè)存在著局限性時(shí)，陳子“寸差千里”的影距關(guān)系和其日月（視）運(yùn)行的分析就都隨著此假設(shè)而淘汰了。但是在陳子時(shí)代，這些解析性的模式數(shù)理分析是一個(gè)突破性的成就。陳子測得“率八十寸而得徑一寸”的日距日徑比率，西方直到阿基米德時(shí)代才達(dá)到類似的成就。陳子的模式天體（視）運(yùn)行的測算嘗試是一個(gè)以測量和理論為依據(jù)的超時(shí)代學(xué)術(shù)研究，具有高度的科學(xué)價(jià)值。

《周髀算經(jīng)》的第三部分記載古代天文和歷來周髀說的成就，本書稱之為《周髀天文篇》。內(nèi)容包括蓋天天地模型、北極璇璣結(jié)構(gòu)、二十八宿、二十四節(jié)氣和歷學(xué)歷法。

簡而言之，《周髀算經(jīng)》作為我國最早的數(shù)理天文學(xué)著作，在集蓋天說之大成的同時(shí)，熔勾股定理的建立、重差公式的推導(dǎo)以及數(shù)理模式的發(fā)端于一爐，在中國和世界數(shù)學(xué)史、天文學(xué)史上均占有重要的領(lǐng)先地位。

版本流傳、注釋和校勘

現(xiàn)存史書中最早提到《周髀》者是《宋書》。其《天文志》引東漢蔡邕（132—192）之言：“論天體者三家：宣夜之說絕無師法；《周髀》術(shù)數(shù)具存，考驗(yàn)天狀，多所違失；惟渾天僅得其情。”又《宋書》卷九十八記載，劉宋元嘉十四年（437），北涼沮渠牧健（茂虔）奉表獻(xiàn)方物，并獻(xiàn)書籍二十種計(jì)一百五十四卷，其中載明有《周髀》一卷。《宋書》記載的北涼所獻(xiàn)書目，后來大多出現(xiàn)于《隋書·經(jīng)籍志》。《隋書·經(jīng)籍志》收錄了《周髀》一卷（趙嬰注）、《周髀》一卷（甄鸞重述）及《周髀圖》一卷，這是《周髀》書目見于正史經(jīng)籍志之始。經(jīng)前人（如鮑澣之〔6〕 ）考證，趙嬰即趙爽。趙爽可能是東漢末至三國時(shí)代的人（據(jù)錢寶琮考證），生平未詳。

上海圖書館所藏孤本南宋版《周髀算經(jīng)》系嘉定六年（1213）鮑澣之根據(jù)北宋元豐七年（1084）秘書省重刊《算經(jīng)十書》重刻，這是目前存世的《周髀算經(jīng)》的最古版本，學(xué)術(shù)界稱為“南宋本”。

南宋本《周髀算經(jīng)》保留了趙爽（字君卿）、北周甄鸞〔7〕 、唐李淳風(fēng)等的三家注文。這三家注文不僅水平不一，而且性質(zhì)也不同。趙爽的注解是一種純學(xué)術(shù)性的注釋和研究著作，甄鸞的注解主要是作特例的數(shù)字核對，李淳風(fēng)等的注解則是唐代國子監(jiān)《算經(jīng)十書》編輯組的合作著作。特例核對所得數(shù)字的一致只是一個(gè)必要條件，并非充分條件，不足以證實(shí)其核對數(shù)理關(guān)系的正確性，甄鸞注解的價(jià)值極為有限，況且其注解有誤，李淳風(fēng)等對此有多處批評。

李淳風(fēng)等注解的主要貢獻(xiàn)在于評論《周髀》中“周髀長八尺，句之損益寸千里”影差與日（視）運(yùn)行南北距差的成說。李淳風(fēng)等利用歷代實(shí)測數(shù)據(jù)，否定了影差與南北日距差“損益寸千里”這一傳統(tǒng)重差率。李淳風(fēng)等在其注中，采用測望地面的斜度試圖改進(jìn)此重差率，雖然在數(shù)學(xué)上成功地把平面重差術(shù)推廣到斜面重差術(shù)，但是對數(shù)理天文學(xué)中實(shí)際日（視）運(yùn)行推算的改進(jìn)，離目標(biāo)相差甚遠(yuǎn)。李淳風(fēng)等也以實(shí)測結(jié)果分析了《周髀》原著與趙爽注文用等差級數(shù)插值法推算二十四氣表影尺寸，指出這些尺寸與實(shí)測結(jié)果不合。李淳風(fēng)等的注釋偏重于實(shí)驗(yàn)測量，但是對陳子天體（視）運(yùn)行模式研究的評論頗有值得商榷之處，對趙爽在數(shù)學(xué)方面的成就也有認(rèn)識不到的地方。也許李淳風(fēng)等最重要的貢獻(xiàn)在于將《周髀》編入《算經(jīng)十書》，不僅提高了國子監(jiān)教材的質(zhì)量，而且有助于《周髀》的保存和流傳。

三家注文中以趙爽的貢獻(xiàn)為最大。趙爽注《商高篇》，除作注釋之外并附有一篇有關(guān)方圓和勾股的數(shù)學(xué)專著，傳本《周髀算經(jīng)》中，它僅存勾股部分，今簡稱為“勾股論”。在“勾股論”中，趙爽不僅利用積矩法推導(dǎo)出勾股定理的另一證明，并且說明積矩推導(dǎo)法中面積組合“形詭而量均，體殊而數(shù)齊”的轉(zhuǎn)變原理。為分析和比較自己與商高推導(dǎo)勾股定理的兩個(gè)不同證明，趙爽提供了一幅重迭弦圖，商高推導(dǎo)勾股定理的弦圖由此得以流傳后世。

趙爽組合轉(zhuǎn)變原理——“形詭而量均，體殊而數(shù)齊”的陳述，說明在積矩推導(dǎo)中，當(dāng)由一面積組合轉(zhuǎn)變到另一面積組合，其內(nèi)部不同形狀面積的合并必須形成同一組合量度，其內(nèi)部不同尺寸面積的總和必須等于同一組合總數(shù)。趙爽的“組合轉(zhuǎn)變原理”是商高積矩推導(dǎo)演變的一個(gè)基本理論。“組合轉(zhuǎn)變原理”和劉徽的“出入相補(bǔ)原理”不約而同地奠定和推演了商高積矩推導(dǎo)法的理論和應(yīng)用。在公元十七世紀(jì)，當(dāng)商高積矩推導(dǎo)法出現(xiàn)于歐洲時(shí)，被歐洲數(shù)學(xué)界稱為“解剖證明法（Dissection Proof）”。

趙爽“勾股論”的另一個(gè)重要貢獻(xiàn)是在代數(shù)。由《九章算術(shù)》可知古代中國很早就可數(shù)值解一元二次方程。在趙爽時(shí)代，帶從法（二次開方法）已是數(shù)學(xué)界數(shù)值解方程的普通知識。趙爽的興趣不在數(shù)值解方程而在分析解方程。利用帶從法和勾股圖中面積轉(zhuǎn)變關(guān)系，趙爽設(shè)立了具有適當(dāng)系數(shù)的帶從平方式（即一般性二次方程）作分析解方程，并求得通解此方程的兩個(gè)根。在十六世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Franciscus Vieta，1540—1603）獨(dú)立地再次求得與趙爽相等的兩個(gè)通解根。現(xiàn)今一般稱解二次方程的兩個(gè)通解根為韋達(dá)（Vieta）公式。以全球視角來分析，現(xiàn)存通解一般性二次方程的兩個(gè)根的最早記錄出自趙爽為注《周髀算經(jīng)》所作的“勾股論”。由此可見，分析解方程的開拓者是公元三世紀(jì)的趙爽。

趙爽注《陳子篇》也給日高圖和七衡圖附了篇注，今相應(yīng)地稱為“日高圖注”和“七衡圖注”。現(xiàn)今對陳子日高圖和七衡圖的理解主要經(jīng)過趙爽的注釋，尤其是陳子應(yīng)用積矩法推導(dǎo)重差公式的細(xì)節(jié)。

趙爽注對《周髀》的保存和流傳更是功不可沒。晉末中原戰(zhàn)亂，大批士人避亂甘肅河西，河西人文學(xué)術(shù)繁榮一時(shí)。劉宋元嘉十四年（437）北涼所獻(xiàn)書籍中大多是五涼學(xué)者的著作。其中北涼太史令趙 善歷算，制玄始?xì)v等，造歷三十年，頗有著述。趙 也許遷自中原，不免使人聯(lián)想趙 和趙爽有無淵源以及北涼所獻(xiàn)《周髀》抄本的來歷。〔8〕

關(guān)于《周髀算經(jīng)》的版本流傳，從宋代起的脈絡(luò)如下：

一、北宋元豐七年（1084），秘書省重新刊刻李淳風(fēng)等編輯注釋的《算經(jīng)十書》，附入唐李籍撰《周髀算經(jīng)音義》，該版現(xiàn)已失傳。南宋嘉定六年（1213）鮑澣之根據(jù)元豐七年的版本重新刊刻《算經(jīng)十書》，其中的《周髀算經(jīng)》明末章丘李開先家曾保藏一部，清康熙中歸常熟毛晉之子毛扆，現(xiàn)藏于上海圖書館。南宋本雖有刊漏闕誤等情況，但與其他版本相比，錯(cuò)誤較少而保存的信息更接近南宋以前的版本。1980年文物出版社影印出版的《宋刻算經(jīng)六種》、2002年上海古籍出版社影印出版的《續(xù)修四庫全書》、2004年北京圖書館出版社出版的《中華再造善本》，都選用了上海圖書館所藏的南宋本《周髀算經(jīng)》影印。此外，毛扆曾請善書者據(jù)“南宋本”復(fù)制一影宋抄本，今存臺北故宮博物院。故宮博物院于1931年影印《天祿琳瑯叢書》，其中《周髀算經(jīng)》的底本即毛氏的影宋抄本。

二、明萬歷中胡震亨刻《秘冊匯函》，《周髀算經(jīng)》為其中之一，卷首題“明趙開美校”，除趙爽、甄鸞、李淳風(fēng)三家注之外，增入了唐寅注。唐注量少，質(zhì)亦不高。《秘冊匯函》的《周髀算經(jīng)》又稱胡刻本或趙校本。其衍生的版本有明毛晉汲古閣《津逮秘書》，清《古今圖書集成》、《學(xué)津討原》、《槐廬叢書》，民國商務(wù)印書館《四部叢刊》、中華書局《四部備要》等。趙開美校勘的底本現(xiàn)尚無法查明，但不是鮑澣之的南宋本。胡刻本的錯(cuò)誤比南宋本多，但仍有校勘的價(jià)值。1990年上海古籍出版社出版《諸子百家叢書》，影印收錄了胡刻本。

三、明代《永樂大典》收有《周髀算經(jīng)》，現(xiàn)不知下落。清乾隆年間修《四庫全書》，戴震（1724—1777）從《永樂大典》中輯錄出《周髀算經(jīng)》，用以校勘明胡刻本。戴震校勘本被排印收入《武英殿聚珍版叢書》，史稱殿本。戴震校勘本又被手抄入《四庫全書薈要》和《四庫全書》。殿本之后，戴震又以毛氏影宋抄本為底本重加校勘，并交孔繼涵刊刻于微波榭本《算經(jīng)十書》。殿本和微波榭本流傳都較廣，例如：商務(wù)印書館（1937）和中華書局（1985）出版《叢書集成·周髀算經(jīng)》系用武英殿聚珍版排印，商務(wù)印書館《萬有文庫·周髀算經(jīng)》系用微波榭本排印，1993年河南教育出版社影印出版的《中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷》第一冊收錄了殿本。《四庫全書薈要》和《四庫全書》的《周髀算經(jīng)》也已影印出版，例如：臺灣商務(wù)印書館影印文淵閣本《四庫全書珍本別輯》（1975）及《四庫全書》（1983）收錄了《周髀算經(jīng)》，吉林出版集團(tuán)影印的《欽定四庫全書薈要》中收有《周髀算經(jīng)》（與《周易參同契通真義》合為一書），于2005年出版。

戴震先后利用傳世的幾種善本對《周髀算經(jīng)》作了全面的校勘，貢獻(xiàn)至巨，但仍有疏漏。道光年間顧觀光作《周髀算經(jīng)校勘記》，光緒年間孫詒讓（1848—1908）作《札迻》，作了進(jìn)一步校勘。至上世紀(jì)六十年代，錢寶琮（1892—1974）校點(diǎn)的《算經(jīng)十書》于1963年由中華書局出版，其中的《周髀算經(jīng)》以微波榭本為底本，參考顧觀光《周髀算經(jīng)校勘記》、孫詒讓《札迻》的校勘成果，作了新的校勘，一般稱為錢校本。此后，錢校本曾通行海內(nèi)外，對《周髀算經(jīng)》的研究頗有貢獻(xiàn)。但錢校本雖然簡單明了卻失之簡略。且本身未及反映海內(nèi)外新的研究成果。世紀(jì)之交，遂有兩種新的均以南宋本為底本的《周髀算經(jīng)》校點(diǎn)本問世。1998年遼寧教育出版社出版了郭書春、劉鈍校點(diǎn)的《算經(jīng)十書》，其中的《周髀算經(jīng)》由劉鈍、郭書春校點(diǎn)，反映了錢校本問世以后的研究新進(jìn)展。今簡稱為郭劉本。郭劉本比錢校本進(jìn)步，但對某些文字異同取舍、錯(cuò)簡的調(diào)整，特別是插圖的校勘選用與我們有見仁見智之別。2002年陜西人民出版社出版了曲安京的《〈周髀算經(jīng)〉新議》，其中也有一個(gè)校勘記，并指出“就正誤率而言，殿本與南宋本當(dāng)在伯仲之間”。但因叢書體例之故，曲校本刪去了趙爽、甄鸞和李淳風(fēng)的大部分注釋，且刊誤率偏高。《傳世藏書》（1997）和《四庫家藏》（2004）收有孫小淳整理的《周髀算經(jīng)》校點(diǎn)本，也以南宋本為底本，但無校勘說明。

國內(nèi)外流傳和研究

歷史上的渾蓋之爭，渾天說基本上占優(yōu)勢。東漢以后至二十世紀(jì)以前，蓋天說曾兩次暫占上風(fēng)。一次是公元六世紀(jì)初，梁武帝蕭衍召諸儒于長春殿，宣揚(yáng)他經(jīng)過改造的蓋天說。第二次是明末清初的西學(xué)東漸高潮中，人們發(fā)現(xiàn)《周髀算經(jīng)》中的不少內(nèi)容，與丹麥天文學(xué)家第谷（Tycho Brahe，1546—1601）以前的西方科學(xué)相似，從而激發(fā)了一股西學(xué)東源思潮，宣揚(yáng)西法出自《周髀算經(jīng)》。其代表作為梅文鼎（1633—1721）的《歷學(xué)疑問》（1693）和《歷學(xué)疑問補(bǔ)》（1705）。梅文鼎等還繼承和發(fā)展了歷史上的渾蓋合一說，比明末李之藻等更有所發(fā)揮。梅文鼎的有些說法現(xiàn)在看來純屬牽強(qiáng)附會(huì)，但卻激起了清代不少人鉆研蓋天說和《周髀算經(jīng)》的興趣。其中較有成就者，有馮經(jīng)《周髀算經(jīng)述》、鄒伯奇（1819—1869）《周髀算經(jīng)考證》、顧觀光（1799—1862）《周髀算經(jīng)校勘記》等。詳細(xì)文獻(xiàn)資料可查閱丁福保（1874—1952）和周云青所編的《四部總錄算法編》（商務(wù)印書館，1957年）。

時(shí)至二十世紀(jì)，包括天文學(xué)在內(nèi)的西方近代科學(xué)日漸深入人心，人們逐漸走出西學(xué)東源說的認(rèn)識誤區(qū)。1929年錢寶琮發(fā)表《周髀算經(jīng)考》。1931年李儼（1892—1963）發(fā)表《勾股方圓圖注》。1958年錢寶琮又發(fā)表《蓋天說源流考》，1963年中華書局出版錢寶琮校點(diǎn)的《算經(jīng)十書》，為《周髀算經(jīng)》研究作出重要貢獻(xiàn)。1980年陳遵媯發(fā)表《中國天文學(xué)史》第一冊，除了對《周髀算經(jīng)》全書疏解外，專題研討了晷影測量、北極璇璣等六個(gè)問題。《周髀算經(jīng)》中的商高周公對話，因?yàn)槭玛P(guān)勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，歷來是中外學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)。李儼于1926年發(fā)表《中算家之Pythagoras定理研究》，最早詳細(xì)討論勾股定理在中國的源流。國內(nèi)外的有關(guān)論文甚多。1951年，程綸在《中國數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表《畢達(dá)哥拉斯定理應(yīng)改稱商高定理》；章鴻釗在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表《周髀算經(jīng)上之勾股普遍定理：“陳子定理”》，建議改稱陳子定理。幾十年來，不少學(xué)者先后投入研究和爭論。

1987年程貞一根據(jù)《周髀算經(jīng)》中的商高原文復(fù)原了商高推導(dǎo)勾股定理的弦圖，指出商高的積矩法是一個(gè)建立在邏輯上的通用幾何推導(dǎo)證明法，并認(rèn)定1873年出現(xiàn)于歐洲的解剖證明法就是商高的積矩推導(dǎo)法。接著，臺灣的陳良佐（1989）和李國偉（1989），大陸的李繼閔（1993）與曲安京（1996）等都曾撰文討論商高勾股定理的推導(dǎo)。

與此同時(shí)，傅大為（1988）和陳方正（1996）作了《周髀算經(jīng)》研究傳統(tǒng)和源流的宏觀考察和研究。傅大為的長文收入其論文集《異時(shí)空里的知識追逐》，陳方正的論文收入其論文集《站在美妙新世紀(jì)的門檻上》，書名正好反映了他們的研究特色。關(guān)于蓋天說的天地結(jié)構(gòu)，除了傳統(tǒng)的平行球冠狀、平行平面、平行圓錐狀等模型外，先后出現(xiàn)了李志超、江曉原的尖頂平行平面模型以及其他模型，加入百家爭鳴。對于《周髀算經(jīng)》中有無域外天學(xué)影響的新一輪討論，自上世紀(jì)末江曉原等發(fā)其端，爭議和探討正方興未艾。《周髀算經(jīng)》中的晷影和天文數(shù)據(jù)究竟是實(shí)測、借用還是編造，見仁見智，不一而足。《周髀算經(jīng)》作為中國最早的數(shù)理體系是自洽（自相一致）還是存在自相矛盾，也有不同意見。關(guān)于《周髀算經(jīng)》的成書年代，1986年馮禮貴的《周髀算經(jīng)成書年代考》曾匯集十多種不同觀點(diǎn)。二十多年來，又有一些不同觀點(diǎn)出現(xiàn)，如官書、李迪認(rèn)為張蒼是“周髀”的定稿人。關(guān)于幾種傳本的衍文、錯(cuò)簡，學(xué)界看法也不一致，具有代表性的論文已收入本書所附的“參考文獻(xiàn)和書目”。已出版的專著有江曉原、謝筠譯注《周髀算經(jīng)》（1996）、曲安京《〈周髀算經(jīng)〉新議》（2002）等。

在遠(yuǎn)東，《周髀算經(jīng)》早已傳入日本，東京內(nèi)閣文庫藏有《周髀算經(jīng)》的明刻本。日本天明六年（1786）川邊信一（Kawabe Shin'ichi）曾校勘《周髀算經(jīng)》并作《周髀算經(jīng)圖解》，文政二年（1819）筿原善富（Shinohara Yoshitomi）加以補(bǔ)正，作《周髀算經(jīng)國字解》。1913年日本學(xué)者三上義夫（Mikami Yoshio，1875—1950）以英文著The Development of Mathematics in China and Japan （《中國日本數(shù)學(xué)發(fā)展史》），書中譯解了《周髀算經(jīng)·商高篇》。二十世紀(jì)二十年代后期，日本新城新藏根據(jù)《春秋》、《史記》、《漢書》等有關(guān)歷法的史料，考察了從周初到太初改歷（前104）的歷史，論證“太古以來到太初約兩千年的天文學(xué)的歷史發(fā)展，是一種完全自發(fā)的演變歷史，絲毫看不到任何外來影響的形跡”。他的學(xué)生能田忠亮于1933年發(fā)表《周髀算經(jīng)の研究》，從歷史文獻(xiàn)和近現(xiàn)代天文學(xué)知識的角度，細(xì)致研究和綜合了前人的重要成果，稱《周髀算經(jīng)》為千古的至寶。1969年中山茂的《日本天文學(xué)史——中國背景和西方影響》扼要介紹了《周髀算經(jīng)》的內(nèi)容和研究，惜有多處誤解和錯(cuò)誤的假設(shè)。1980年橋本敬造（Hashimoto Keizo）的《周髀算經(jīng)》日文譯注發(fā)表于藪內(nèi)清（Yabuuchi Kiyoshi）主編的《中國天文學(xué)數(shù)學(xué)集》（289—350）。1991年程貞一和席澤宗發(fā)表了論文《陳子模型和早期對于太陽的測量》，載于《中國古代科學(xué)史論——續(xù)篇》（京都，1991，367—383）。

在歐美，法國學(xué)者é.畢奧（édouard Biot，1803—1850）曾把《周髀算經(jīng)》譯成法文，1841年刊于《亞洲研究》（Journal Asiatique）第3卷第11期。1853年英國傳教士學(xué)者偉烈亞力（Alexander Wylie，1815—1887）的“Jottings on The Science of the Chinese Arithmetic ”刊于Shanghai Almanac and Miscellany （1853），其中率先把《周髀算經(jīng)·商高篇》作了英文譯解。1938年恰特萊（Chatley Herbert，活動(dòng)于1895—1947）在《觀象臺》（The Observatory ）發(fā)表《蓋天——中國古代天文學(xué)研究》，其研究基于é.Biot的譯本。英國李約瑟（Joseph Needham，1900—1995）的《中國科技史》第3卷（1959）也對《周髀算經(jīng)》作了探討。程貞一于1987年在《中華科技史文集》（Science and Technology in Chinese Civilization ）中，以英文譯解了《周髀算經(jīng)·商高篇》的主要內(nèi)容。隨后，在1996年出版的《中華早期自然科學(xué)之再研討》（Early Chinese Work in Natural Science ）中，對《周髀算經(jīng)·陳子篇》的重要內(nèi)容作了英文譯解。1996年英國古克禮（Christopher Cullen）發(fā)表了《周髀算經(jīng)》的英譯和研究：Astronomy and Mathematics in Ancient China: the Zhou Bi Suan Jing。

本書的內(nèi)容和特色

筆者因科技史的共同志趣相識多年前，本書是我倆新近合作的成果，其中既吸收了前人和學(xué)術(shù)界的研究成果，也推出了一些新見。敝帚自珍，舉其要者如下，或可供導(dǎo)讀之用。同時(shí)，欲借此機(jī)會(huì)就正于學(xué)術(shù)界。

1. 本書深入地分析了古代數(shù)學(xué)家商高與數(shù)學(xué)天文學(xué)家陳子的思路和理論，揭示了他們創(chuàng)造性的成就，證實(shí)他們二位是古代中國數(shù)學(xué)和天文學(xué)的先行者。

2. 本書指出中國數(shù)學(xué)早在商高時(shí)代就以推導(dǎo)得成的思維給理論數(shù)學(xué)建立了基礎(chǔ)。商高創(chuàng)立的積矩法是一個(gè)以推導(dǎo)證明定理的邏輯步驟。本書從商高原文和趙爽的注圖中復(fù)原出商高弦圖，由此復(fù)原了世界數(shù)學(xué)現(xiàn)存最早勾股定理的推導(dǎo)證明。商高的方圓法是一個(gè)以方求圓的推算步驟，本書依據(jù)商高原文和底本繪圖空頁恢復(fù)了方圓、圓方圖的原貌。

3. 通類思維是中國古代應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。商高應(yīng)用矩之?dāng)?shù)理開拓了中國測量數(shù)學(xué)。本書追蹤陳子的思路，分析了他在數(shù)學(xué)和天文學(xué)的成就。陳子認(rèn)為對天地的認(rèn)識“皆算術(shù)之所及”，為此他利用數(shù)學(xué)把商高測量法擴(kuò)展到二望雙測法，以積矩法推導(dǎo)得成重差求高公式。在現(xiàn)今所謂的“平行面天地模型”下，以重差求高公式和太陽直徑和距離比率的測值，推算了太陽的直徑和距離。本書推重陳子由此開拓了中國數(shù)學(xué)、天文學(xué)的研究。由趙爽的注文，本書補(bǔ)正了傳誤已久的陳子日高圖的脫缺，并復(fù)原了陳子“寸差千里”影距公式的推導(dǎo)。本書也整理出有別于前人的七衡圖、青圖畫和黃圖畫。

4. 趙爽注釋所附“句股圓方圖注”是古代不可多得的理論數(shù)學(xué)著作，本書不僅校正了注文中的刊誤，并且分析了趙爽為積矩推導(dǎo)法所提出的面積組合轉(zhuǎn)變原理的重要性。本書進(jìn)而介紹了趙爽分析解一元二次方程的研究，并指出這是代數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個(gè)開拓性的成就。

5. 本書考察了商高論天地和蓋天說天地模型的關(guān)系，提出了“天象蓋笠、地法覆盤”的一種新解。

6. 對于二十八宿的起源及其完成年代，本書以考古出土文物和《尚書·堯典》等文獻(xiàn)相結(jié)合，駁斥了中國二十八宿赤道坐標(biāo)系統(tǒng)外來說。本書把二十四節(jié)氣的起源也追溯到帝堯時(shí)代以觀測昴、火、鳥、虛四組星于黃昏時(shí)通過南方中天定四季的實(shí)施。此外，本書還分析了“十九年七閏法”是否來自巴比倫的爭辯。根據(jù)《春秋》編年證明，中國早在公元前722年先于巴比倫使用了“十九年七閏法”。

7. 對《周髀算經(jīng)》三個(gè)部分的形成和編輯時(shí)代分別作了分析。

8. 通過譯注和校勘，為讀者提供了一個(gè)較為完善的《周髀算經(jīng)》新版本。

本書體例和寫作說明

南宋本是我們校勘用的底本。除了文字異同取舍需要此一善本為基礎(chǔ)外，南宋本保存的插圖信息是其他各本所無法比肩的。例如：這次我們從南宋本出發(fā)，補(bǔ)正了傳本日高圖的脫缺；此外，還補(bǔ)正了商高句股圖，乙正了商高方圓、圓方圖的圖名。我們在校勘工作中，參考吸收了戴震、顧觀光、孫詒讓、錢寶琮、劉鈍、郭書春等前賢和今人的校勘成果，也闡述了自己的研究心得。

校勘中所使用的主要版本有：

南宋本 　采自1980年文物出版社之《宋刻算經(jīng)六種》影印本，為本書的底本。

胡刻本 　采自1990年上海古籍出版社之《諸子百家叢書》影印本。

四庫本 　采自1983年臺灣商務(wù)印書館影印之文淵閣本。

殿本 　采自1993年河南教育出版社的《中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷》第一冊中的影印本。本書校記中的戴校本合指四庫本和殿本，必要時(shí)則分別注明。

錢校本 　采自1963年中華書局的《算經(jīng)十書》本。

郭劉本 　采自1998年遼寧教育出版社的《算經(jīng)十書》本。

原則上南宋本能讀通的盡量不改，也不再出校。按照叢書體例，必要的校勘文字視為注釋的一部分而納入注釋。

本書注釋和校記中的“傳本”泛指自南宋本至殿本諸本。除非另有說明，“原文”指底本的原文。底本中的異體字一律改為正體字，如“脩”改為“修”，“璿”改為“璇”，“筭”改為“算”，“句股”之“句”改為“勾股”之“勾”。

原文有少量錯(cuò)簡、脫誤或衍文。關(guān)于錯(cuò)簡：商高周公問答的用矩之道在傳本中置于“句股圓方圖”和趙爽句股圓方圖注之后，今移于“句股圓方圖”之前。商高的圓方圖和方圓術(shù)的敘文在傳本中誤刊于陳子篇的“七衡圖”之前，今移前緊接“句股圓方圖”之后。此種調(diào)整以及脫誤、衍文的說明詳見有關(guān)注釋。

需特別說明的是，南宋本、明刻本均分為卷上、卷下，無小標(biāo)題；戴震將卷上和卷下各細(xì)分為卷上之一、卷上之二、卷上之三及卷下之一、卷下之二、卷下之三；今仍分為卷上、卷下兩卷，但將卷上分為“甲、商高篇”和“乙、陳子篇”，卷下稱為“丙、周髀天文篇”，各篇按內(nèi)容又細(xì)分若干節(jié)并分別加了小標(biāo)題，以便閱讀。注釋中提到的引書或論文的出處從簡，其詳情可查書末所附“參考文獻(xiàn)和書目”。此外，趙爽的四段重要注文和李淳風(fēng)的兩段重要注文均提出另列，分別加注和今譯。書中注釋為發(fā)掘和闡明《周髀算經(jīng)》各篇的精義作了相當(dāng)?shù)呐Γ褡g力求符合原著文義并適合海內(nèi)外現(xiàn)代讀者的閱讀習(xí)慣。然因水平所限，不妥之處在所難免，誠望方家不吝指正。

為便于讀者多方了解《周髀算經(jīng)》的背景、源流和精義，書末附有史料三則，即南宋本《周髀算經(jīng)》鮑澣之跋、《四庫全書總目·周髀算經(jīng)提要》及李淳風(fēng)關(guān)于古代天文學(xué)源流和蓋天說的論述（節(jié)自《晉書·天文志》）。

《周髀算經(jīng)》文字不多，但內(nèi)涵豐富，值得繼續(xù)深入研究。筆者愿與海內(nèi)外讀者共勉。

程貞一、聞人軍
2010年12月于美國加州

【注釋】

〔1〕李淳風(fēng)（602—670）：岐州雍（今陜西省鳳翔縣）人，唐初天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。曾任太史令，改進(jìn)渾儀。撰有《法象志》，《晉書》、《隋書》的《天文志》、《律歷志》和《五行志》，以及《乙巳占》、《麟德歷》等。受詔主持并與國學(xué)算學(xué)博士梁述、太學(xué)助教王真儒等注釋包括《周髀算經(jīng)》在內(nèi)的十部算經(jīng)，作為國子監(jiān)教材。

〔2〕畢達(dá)哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）：即勾股定理。畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，活動(dòng)于公元前六世紀(jì)）：古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。據(jù)說創(chuàng)立了集政治、學(xué)術(shù)、宗教三位于一體的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。雖巴比倫人已懂得并使用勾股定理，后代史家卻將勾股定理的發(fā)現(xiàn)歸之于畢達(dá)哥拉斯，后來又改為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，并稱之為畢達(dá)哥拉斯定理。迄今尚無確切史料顯示畢達(dá)哥拉斯本人或其同時(shí)代之畢達(dá)哥拉斯學(xué)派做出勾股定理的證明。

〔3〕歐幾里得（Euclid，活動(dòng)于公元前300年左右）：古希臘數(shù)學(xué)家。著有世界上最早的公理化的數(shù)學(xué)著作——《幾何原本》（Elements）。其中有西方現(xiàn)存最早的勾股定理的證明法。《幾何原本》前六卷的中譯本在明末由徐光啟（1562—1633）和意大利耶穌會(huì)傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，1552—1610）合譯，后九卷在清末由李善蘭（1811—1882）和英國傳教士學(xué)者偉烈亞力（Alexander Wylie，1815—1887）合譯。

〔4〕歐多克索斯（Eudoxus，約公元前408—前355）：古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、地理學(xué)家。發(fā)展了關(guān)于比例的理論。根據(jù)科學(xué)史家的研究，《幾何原本》卷Ⅴ和卷Ⅻ主要來自歐多克索斯的工作，阿基米德推導(dǎo)圓周率的思路也來自歐多克索斯，但歐多克索斯原著已失傳。

〔5〕劉徽（活動(dòng)于公元263左右）：淄鄉(xiāng)（今山東省鄒平縣）人（參見郭書春《九章筭術(shù)譯注》第32頁，上海古籍出版社），魏晉數(shù)學(xué)家。魏元帝景元四年（263），劉徽注《九章算術(shù)》（其自撰自注的第十卷《重差》，后單行，改稱《海島算經(jīng)》，為《算經(jīng)十書》之一。）繼承和發(fā)展了前人的研究成果，如出入相補(bǔ)法等；特別是繼承了商高的破圓術(shù)，創(chuàng)造割圓術(shù)，將極限思想和無窮小分割方法引入數(shù)學(xué)證明和近似計(jì)算，證明了截面積原理。劉徽還著有《九章重差圖》一卷，已佚。

〔6〕鮑澣之：字仲祺，括蒼（今浙江省臨海市西）人，南宋數(shù)學(xué)家。十三世紀(jì)初陸續(xù)重刻北宋元豐七年（1084）秘書省刊本《算經(jīng)十書》。嘉定六年（1213）權(quán)知汀州軍州時(shí)重刻《周髀算經(jīng)》，參見書末附錄“鮑澣之跋”。

〔7〕甄鸞（535—566）：字叔遵，無極（今河北省無極縣）人，北周數(shù)學(xué)家。官司隸校尉、漢中太守。編制天和歷法，著有《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《數(shù)術(shù)記遺》，注釋《周髀算經(jīng)》等古算書。

〔8〕參見古克禮（Christopher Cullen）《〈周髀算經(jīng)〉導(dǎo)讀》，載［英］魯惟一主編《中國古代典籍導(dǎo)讀》，1993年，第38頁。