2.2　系統微分響應修正方法

2.2.1　系統微分響應誤差修正方法的實現步驟

在微分關系中，如果把模型看作一個復雜的函數，自變量的變化量就是模型自變量或影響因素誤差量，而因變量的變化量即為模型計算結果與實測值之間的誤差量。在一般的水文預報誤差修正問題中，沒有誤差修正的原始模型計算系列與實測系列之間的誤差系列是可以獲得的。假設知道引起模型計算誤差的因素或變量，那么模型或系統對于引起誤差的因素或變量的相應導數或導函數是可以計算的，由微分響應關系式可知，三要素已知了兩要素，則自變量的變化量就可以通過系統函數的微分響應關系反求獲得。以圖2-3所示的系統概化圖為例，假設其系統響應函數為y=f（x），則通過系統響應理論反求自變量誤差估計量的步驟如下：

（1）計算模型模擬誤差y-f（x），y表示模型實測值，f（x）表示模型計算值。

（2）分析誤差特點，確定引起誤差的因素或自變量x。

（3）確定微分響應函數

（4）估計自變量誤差Δx。

（5）修正模型預報結果f（x+Δx）。

以上步驟中，鑒于所選用模型結構的確定性，第（1）、第（5）步比較簡單、直接，對于確定的模型而言沒有太多需要研究的內容，而對于修正量的確定和修正過程而言，第（2）、第（3）和第（4）步是有許多需要研究的，因此函數或系統微分響應誤差修正研究的重點在于確定引起誤差的因素或自變量及其確定相應的微分響應函數。

2.2.2　單變量系統微分響應誤差修正方法有效性證明

本書中為了分析簡單且又不失一般性，這里先對單自變量時間函數不考慮導數差分誤差的情況進行證明。

對于單自變量隨時間變化函數一般可以表達為

假設現有樣本觀測系列（y1，t1，x0），（y2，t2，x0），…，（ym，tm，x0），如果自變量存在未知誤差量ex，則有誤差的自變量可以表示為

那么模型的計算值與實測值之間存在的誤差系列為

其沒有自變量誤差修正的誤差平方和為

以yi為已知的目標值，x0為已知的自變量值，根據yi估計自變量誤差e'x，則修正后的計算結果誤差平方和為

誤差修正有效性證明就是要證明修正后誤差系列的目標函數值小于修正前的目標函數值。即

根據微分響應誤差修正方法步驟為

（1）計算模型模擬誤差ei=yi-f（x0，ti）（i=1，2，…，m）。

（2）確定引起誤差的自變量x。

（3）確定微分響應f'（x0，ti）（i=1，2，…，m），得關系：

（4）估計自變量誤差。式（2-32）是矛盾方程組，通常采用最小二乘法獲得自變量誤差的估計值為

（5）修正模型計算結果為

要證明式（2-31），則將式（2-34）代入式（2-31）左邊可得

再將式（2-33）代入上式右邊得

問題得證。

2.2.3　一般系統微分響應誤差修正方法有效性證明

研究系統響應規律最常用的工具是模型。對于一般多函數組合都可以表達為

式中：Q（t）為系統輸出；X（t）為參變量，如時間、空間位置、輸入變量等；Ω為所有影響系統輸出結果的特征因素向量，包括模型狀態變量St、中間變量Md、特征量Cr、參數Par等。

對于模型式（2-37），如果模型相對于要素向量Ω在Rn空間處處連續可導，則有微分表達式：

式中：·為向量點積運算；dQ（t）為系統因素向量改變引起的響應。

當研究系統中一個特征量Cr（其他系統因素量都為已知）變化的微分關系時，式（2-38）變為

特別當特征量增量dCr為1或一個單位時，上式簡化為

式中：dQ（t）為系統特征量增量為1引起的單位響應函數。

由式（2-40）可知模型對特征量的偏導數等于特征量單位改變引起的系統單位響應函數，式（2-39）就表達了特征量增量、系統輸出增量與系統單位響應函數之間的關系。類似地可以推廣到一般的微分關系式（2-38），其中的偏導數函數向量表達的是因素向量單位改變引起的系統單位響應函數向量，所以說微分式（2-38）表達了因素向量增量、系統輸出增量向量與系統單位響應函數向量之間的關系。對于離散系統，可表達為向量矩陣形式：

式中：ΔΩ為系統特征因素增量；ΔQ為系統響應增量；U為系統單位響應矩陣。其具體向量矩陣為

式中：Ω（j）為Ω的初值；tm為資料的系列長度。

則反演計算基本方程為

系統規律研究分正演與反演兩個方向。已知模型輸入、模型結構、模型參數計算模型輸出為正演計算。已知模型輸出、模型結構確定模型參數、模型特征量或模型中間變量等為反演計算。

研究系統反演確定特征因素量Ω的方法，如果描述系統的模型是線性的，則其反演已有成熟的理論與方法。對于非線性系統是否可以先把非線性模型線性化，然后通過逐步迫近獲得其結果？這就是系統微分響應反演方法的構建思路。其實施步驟如下：

（1）給定特征因素量初值Ω（0）。

（2）據已知的特征因素量向量計算導數矩陣U和函數向量f（j）。

（3）確定新的特征因素量向量。

（4）判斷Ω（j+1）是否最優值，如果是則尋優結束，否則轉步驟（2）繼續循環。計算流程見圖2-4。

以非線性系統線性化為基礎構建的系統微分響應逐步迫近反演方法成敗的關鍵是逐步迫近過程是否收斂。

上述系統響應計算方法，關鍵是要證明第（3）步獲得的新因素量估計Ω（j+1）代入模型計算結果f（Ω（j+1），X（t））比原結果f（Ω（j），X（t））更接近于目標值Q（t）。如果依次循環，每步迫近，最終趨于系統因素量的目標值，就說明方法是收斂的。系統響應線性迫近定理可證明其方法的正確性。

系統響應線性迫近定理：對任一X（t）為參變量的函數Q（t）=f（Ω，X（t）），如果在自變量區域[Ω（j），Ω（obj）]內X（t）取任意值時相對于自變量連續、可導，則對于兩組函數值：

若偏導數為

組成的導數矩陣U滿秩，則變量增量矩陣為

則f（Ω，X（t））的微分表達式為

使得其函數偏差平方和：

滿足關系：

以函數在Ω（obj）的值代入式（2-46）得方程組

以上表達中，Ω（j）為Ω修正前的值，Ω（obj）表示Ω的目標值。上式寫成矩陣形式：

其中：

因為U滿秩，據式（2-51）偏差平方和最小可得自變量增量解：

式（2-46）代入式（2-48）得

式（2-53）寫成矩陣形式有

再將式（2-52）代入式（2-54）得

式（2-55）中（UTU）-1是滿秩實對稱矩陣，如果m=n，則

對于m＞n，據滿秩實對稱矩陣的喬列斯基（Cholesky）分解定理，可分解為

其中，L為非奇異下三角矩陣，則有

即

證畢。

以上證明說明這種修正方法通過對于自變量誤差的估計之后，重新使用模型得到的計算系列比修正前更加接近實測系列，從而也說明了此方法在理論上是有效的。