2.1　系統微分響應理論的提出

2.1.1　系統微分迫近特性與反演計算思路

微分具有許多特性，可被用于解決許多工程實際問題和科學研究問題。這里介紹微分響應迫近特性用于解決反演估計問題的研究思路。

對于一個任意的系統或模型或函數，其輸出Y向量都可以表達為

式中：X為由參數、中間狀態變量、特征量和輸入所組成的向量。系統的微分為

為了能簡單地說明系統微分的迫近特性而又不失一般性，這里以如下拋物線函數為例：

對上例求微分得

微分的離散近似可表達為

式（2-3）的微分表達式的導數為

假設已知輸出y=5，據微分迫近特性反演計算輸入x，其迫近計算步驟如下：

1）給定初始值x（0）。

2）用式（2-3）計算模型輸出值y（n）。

3）判斷目標函數（y-y（n））2的值否滿足精度要求，滿足精度要求則計算終止，否則，繼續下一次循環反演計算。

4）用式（2-6）計算導數值

5）用算x（n+1），回到步驟2）依次循環。

上述表達中n表示修正之前或者初值，n+1表示修正之后或者尋優之后的值。其相應的迫近計算結果見表2-1。

為了更加直觀地表達微分迫近方法的反演計算特性，上述案例尋優過程中自變量X和目標函數值隨著尋優次數的變化過程見圖2-1。

從圖2-1中可以看出在給定初值之后，通過系統微分能夠迅速地往真值靠攏，每次尋找之后目標函數值都在減小，且收斂速度較快。上例中優值存在兩個，分別為2和-2，由于上例中給定的初值為1，所以通過系統微分迫近，能夠從給定系統輸出值中提取有效信息直接向最靠近初值的真值迫近。

從這個例子可以得出3點結論：

（1）反演計算的每一步循環都是從輸出y獲得與輸入x有響應關系的有效估計信息。

（2）每一步循環估計的新值x（n+1）都是唯一的。

（3）每一步循環都使誤差變得更小，并且迅速收斂于真值，即

即當n→+∞時，|y-y（n）|=0。由于函數式（2-1）中的微分自變量可以是模型的參數、狀態特征量、中間變量甚至輸入特征量等，因此可以利用微分迫近特性，通過類似地循環計算，據輸出信息通過微分響應關系反演估計系統（或模型）的參數、狀態特征量、中間變量甚至輸入特征量等。

2.1.2　系統微分與響應函數

系統函數的導數或微分反映了系統輸入、狀態值、參數等與系統輸出之間的變化特征，在實際中具有廣泛的應用價值。但其在水文學領域的應用還很少，值得水文學研究者深入研究與開發利用。系統響應曲線就是系統函數對系統中的變量的導數系列值，其特征在水文預報中具有廣泛的應用價值。所以本章從分析函數與系統的導數、微分入手，剖析其特征，研究系統微分響應理論的適用性和應用范圍。

函數的導數與微分，是科學研究中應用最廣泛的。這里先剖析其特點及其在水文科學中的可能應用。函數導數是微積分學的基礎，函數極限與導數差分是理解實際科學應用的基礎。

以單一自變量的函數為例，單一自變量的函數為一元函數，一般可表達為

式中：y為因變量；x為自變量。

如果函數在自變量的鄰域[x，x+Δx]連續，且存在如下極限：

則有函數在點x的導數，通常表達為

導數的幾何意義見圖2-2。

圖2-2可知，導數幾何意義反映了函數在自變量x處的切線斜率，其值等于自變量改變的無限小量Δx與相應因變量改變值之比的極限。當Δx為有限小值時，導數應用表達存在2種形式的誤差。

（1）用導數表達x+Δx處函數值的誤差，表達為

該關系式表明：任何一個非線性函數，只要在鄰域[x，x+Δx]連續，且存在導數，其函數都可近似表達為導數的線性函數。

（2）用有限值表達導數時的誤差，表達式為

或者用角度誤差形式可表達為

導數的這些幾何意義與特點為實際科學應用提供了思路與方法。導數或微分是在函數連續與極限無窮小變化情況下的表達，但在實際科學中，一般研究的只能是有限的和離散的。那么用有限小量代替極限無窮小的誤差范圍需要進一步分析。

對于連續且存在導數的函數，函數微分等于自變量增量與其導數的乘積，表達式為

當自變量和因變量增量為有限小時，存在誤差關系：

因為：

所以：

由式（2-17）可知，一元函數有限小增量微分表達誤差e是比自變量增量Δx更高階的小量。

多元函數微分表達式為

式中：X為自變量向量。

式（2-17）用偏導數形式表達為

式中：偏導數表達了除自變量xi以外都固定不變函數在點{x1，x2，…，xi，…，xn}的xi方向切線斜率，幾何意義與一元函數類似。

當自變量和因變量的變化量均為無窮有限小時，自變量的變化量和因變量的自變量之間存在著類似的誤差關系，可以表達為

因為：

其中　

所以：

由式（2-22）可知，多元函數有限小增量微分表達誤差e是比最大自變量增量Δxmax更高階的小量。

由上分析可知，不論是一元函數還是多元函數，其有限小量代替無窮小量的微分表達誤差都是比自變量增量更高階的小量。這是有限微分表達的實際應用可行性的重要理論保障，并為該理論的實際應用提供精度分析理論基礎。

對于一元函數微分表達式，即式（2-14），因變量增量dy是由于自變量增量dx的改變而引起的改變，可稱因變量增量dy是自變量增量dx的微分響應。如果因變量增量還是其他變量（如時間）的函數，那么dy（t）稱為微分響應函數，簡稱為響應函數。特別當自變量增量dx為一個單位時，其相應的響應函數又稱為單位響應函數，而且其表達形式與其導函數相同，即表達為

對于多元函數的微分表達為

因變量增量dy是由于全部自變量增量{dx1，dx2，…，dxi，…，dxn}的改變而引起的改變，通常稱因變量增量dy是自變量增量{dx1，dx2，…，dxi，…，dxn}的全微分響應，如果因變量增量還是其他變量（如時間）的函數，那么dy（t）稱為全微分響應函數。當自變量除xi以外固定不變時，因變量增量dy只是由自變量增量dxi的改變而引起xi方向的改變，通常稱因變量增量dy是自變量增量dxi的系統偏微分響應，如果因變量增量還是其他變量（如時間）的函數，那么dy（t）稱為系統偏微分響應函數。特別當自變量增量dxi為一個單位時，其相應的偏微分響應函數也稱為單位系統響應函數，而且其值等于其偏導函數，即

函數微分中存在的這種自變量增量與因變量增量之間的關系，在研究實際工程問題中，原則上需要考慮自變量增量與因變量增量之間響應關系的問題都可以應用（以下簡稱微分關系應用原則）。在水文模擬與預報中最常遇到的有兩類研究：①水文預報中的誤差修正；②水文模擬中的模型參數率定。

水文模擬誤差修正研究中，經常考慮的是模型自變量或影響因素誤差與模型計算結果誤差之間的量化關系，誤差修正方法就是利用這種變化量之間的對應量化關系，根據模型計算誤差系列估計自變量或影響因素誤差系列，再根據估計的誤差系列來修正模型計算結果。而這里模型自變量或影響因素誤差為自變量變化量，模型計算結果誤差為因變量變化量，恰好符合因變量與自變量之間的系統響應關系。那么理論上還需要研究的有：①微分響應誤差修正方法的實現步驟；②修正方法的有效性證明。

一個完整的系統由輸入數據、輸出結果和系統結構共同構成，見圖2-3。

圖2-3中，IN表示系統輸入項；OUT表示系統輸出項；SYSTEM表示系統；X表示系統狀態變量；θ表示系統參數。由圖可以看出，系統輸入項（IN）通過系統（SYSTEM）處理最終轉化為系統輸出項（OUT），那么輸入的變化最終會影響到輸出結果的變化，影響的大小是由輸入數據、輸入的變化量和系統因素共同決定，在輸入變化量確定的情況下，由輸入數據和系統因素共同決定。系統因素主要包括系統結構、系統參數以及系統狀態等。

為了便于研究，給定如下系統響應的定義。系統響應是指輸入的單位變化量通過系統處理后，最終引起的輸出結果的變化量。在這個定義下，系統響應與輸入數據和研究的系統有關，與其他因素無關。