2.2 細觀統計損傷力學與平行桿模型

細觀統計損傷力學，是從材料的細觀結構出發，對不同的細觀損傷機制加以區分，通過對細觀結構變化的物理與力學過程的研究來了解材料的破壞，并通過體積平均化的方法從細觀分析結果導出材料的宏觀性質。從幾何和熱力學過程上考慮了各種類型損傷的性狀和分布，并可預測它們在不同介質中的產生、發展和最后的破壞過程，建立細觀統計損傷模型一般采用多重尺度的連續介質理論。

細觀統計損傷力學的優點：它能將微損傷的細觀動力學規律和宏觀力學緊密結合起來；根據材料的微細觀成分單獨的力學行為以及它們的相互作用來建立宏觀的考慮損傷的本構關系，進而給出完整的損傷力學理論構架。細觀統計損傷力學一方面忽略了損傷過于復雜的微物理過程細節，避免了統計力學過于浩繁的計算；另一方面又包含了不同材料細觀損傷的幾何和物理特征，為損傷變量和損傷演化賦予了接近真實的幾何形象和物理過程，提供了清晰的物理背景，深化了對損傷過程本質的認識。

細觀統計損傷力學的不足之處：未能直接處理微損傷之間的相互作用；需要經過許多簡化才能從非均勻的微細觀材料過渡到宏觀的均質材料；必須采用一種平均化方法，以把細觀結構損傷機制研究的結果反映到材料的宏觀力學行為的描述中去；加之人們對于微細觀成分及其相互作用的了解還不夠充分，難以反映細觀損傷對宏觀力學性能的影響。細觀統計損傷力學目前仍處于發展探索階段，其實用性方面還有待于進一步發展。

細觀統計損傷力學的研究大體上有基于微觀力學與基于唯象學兩條途徑。第一條途徑特點是以微裂紋、微孔洞為研究對象，可以考慮微缺陷的成核及擴展的物理機制，但本質上十分復雜，使其實際應用受到限制。唯象學模型引入內變量來描述材料的損傷狀態，其中損傷變量的定義、演化方程的描述、關鍵參數的選取等則基于細觀力學的研究成果；所提供的是宏觀的本構方程，便于工程應用，受到許多研究者的重視。

Krajcinovic（1982）利用Iwan（1967）討論復合材料屈服特性的并聯分布元素模型，建立了一種簡單而形象的統計損傷物理元件模型——平行桿模型PBS，來模擬混凝土、巖石等準脆性材料單軸拉伸時的損傷演化規律，它反映了材料細觀非均質性以及內力重分布與損傷演變之間的相互作用。其基本思想是認為細觀非均勻性是造成準脆性材料宏觀非線性的根本因素，采用統計損傷演化規律來反映混凝土材料的非均勻性和缺陷分布的隨機性。

圖2.2 平行桿模型PBS（Krajcinovic，2005）

如圖2.2所示，將材料代表體積單元（RVE）離散成由N（N→∞）個細觀桿元素組成的平行桿系統。每個桿件被賦予相同的剛度k和截面積dA；為引入材料的細觀非均質性，假定這些桿元素具有各種可能的非均質的強度特性（純脆性和脆性-韌性性質）。

損傷變量D表示為

式中：N為桿元素的總數；n為已斷桿件的數目（該定義與經典損傷力學損傷變量定義相同）。

當N→∞時，可以把損傷變量D用破壞強度概率密度函數表示為

式中：P（kx）為關于給定破壞強度概率密度函數p（f_R）的累積分布函數。

當系統的破壞強度服從Weibull分布時，損傷演化規律可用桿內力kx表示為

式中：m和θ為Weibull分布的形狀和標度參數。

損傷本構表示為