2　理論與工具

2.1　翼型設計理論

研究翼型設計的可靠方法是流體機械領域的重要課題之一。最早的翼型設計方法可以追溯到20世紀40年代，對于不可壓縮流動，根據目標壓力曲線進行翼型的逆向設計，出現了保角映射法（conformal mapping methods）［27］。相比于早期的根據經驗公式設計的NACA系列翼型，保角映射法成功地設計出了一系列具有低阻力系數的翼型。在20世紀50年代，Stanitz［28］提出了逆向法，開始是解決不可壓縮流動問題，后來拓展到可壓縮流動問題。Stanitz將勢函數（Φ）和流函數（ψ）作為自然坐標對控制方程進行變換。Stanitz的方法是在（Φ，ψ）坐標系下在對速度模量求對數的過程中產生二階偏微分方程。Stanitz的逆向法比保角映射法更加靈活，因此被拓展到葉輪機械其他組件的設計中。本文運用的翼型設計理論由希臘可再生能源與儲能研究中心的Chaviaropoulos［29］提出，簡述如下。

2.1.1　基本假設

本文采用逆向法進行翼型設計有一個基本假設：來流是二維、定常、可壓縮并無旋的理想氣體。其基本方程如下

連續性方程

無旋性條件

密度方程（能量守恒與等熵條件）

式中：速度V被無窮遠處來流速度V∞歸一化；密度ρ被無窮遠處來流的密度ρ∞歸一化；M∞代表相應位置的馬赫數。

2.1.2　勢函數與流函數介紹

引入勢函數Φ和流函數ψ的概念，將控制方程式（2-1）與式（2-2）恒等變換如下

式中：N是垂直于流面的單位矢量。

2.1.3　自然曲線坐標系（φ，ψ）

將勢函數和流函數當做相互獨立的變量和自然坐標。在（φ，ψ）坐標系下，逆變量的基是

由于▽φ·▽Ψ=0，（φ，ψ）坐標系是正交曲線坐標系。（φ，ψ）坐標系的度量標準和共軛度量標準由式（2-5）和下式標準張量關系式給出

式中：9nl代表度量張量；gml代表共軛度量張量；是Kronecker符號。

根據式（2-5），（Φ，Ψ）坐標系的度量張量和共軛度量張量還可以通過流量表示為

2.1.4　控制方程

自然坐標系（φ，ψ）建立在二維歐幾里得空間（x，y）中。一個空間滿足歐幾里得空間的標準是其空間曲率為零，如平面空間就是歐幾里得空間。

在二維空間中，曲率張量只有一個獨立分量R 1212，與高斯曲率K成正比。如果曲率為零，有

上式還可以寫成

式（2-10）和式（2-11）定義了　Christoffel符號。

由于描述二維歐幾里得空間的坐標系是自然坐標系（φ，ψ），同時式（2-7）是通過流量的函數表示，式（2-8）以偏微分方程表示。將坐標系下標1，2分別替換為φ，ψ，將式（2-7）代入式（2-9）、式（2-10）、式（2-11）可得

下標φ，ψ代表相應的偏導數。非線性二階偏微分方程（2-12）與密度方程（2-3）組成了流場區域的一組閉合方程組。將式（2-3）代入式（2-12），可得

注意到φ方向與流動方向吻合，速度方程的形式取決于當地馬赫數的大小。在實際應用中，式（2-13）以下面形式列出

式（2-14）是在自然坐標系（φ，ψ）上運用連續性和無旋性條件并消除與流動方向有關的變量推導而來的，式（2-14）還滿足自然坐標系下的兼容性條件。