2　理論與工具

2.1　翼型設(shè)計(jì)理論

研究翼型設(shè)計(jì)的可靠方法是流體機(jī)械領(lǐng)域的重要課題之一。最早的翼型設(shè)計(jì)方法可以追溯到20世紀(jì)40年代，對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，根據(jù)目標(biāo)壓力曲線進(jìn)行翼型的逆向設(shè)計(jì)，出現(xiàn)了保角映射法（conformal mapping methods）［27］。相比于早期的根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式設(shè)計(jì)的NACA系列翼型，保角映射法成功地設(shè)計(jì)出了一系列具有低阻力系數(shù)的翼型。在20世紀(jì)50年代，Stanitz［28］提出了逆向法，開始是解決不可壓縮流動(dòng)問(wèn)題，后來(lái)拓展到可壓縮流動(dòng)問(wèn)題。Stanitz將勢(shì)函數(shù)（Φ）和流函數(shù)（ψ）作為自然坐標(biāo)對(duì)控制方程進(jìn)行變換。Stanitz的方法是在（Φ，ψ）坐標(biāo)系下在對(duì)速度模量求對(duì)數(shù)的過(guò)程中產(chǎn)生二階偏微分方程。Stanitz的逆向法比保角映射法更加靈活，因此被拓展到葉輪機(jī)械其他組件的設(shè)計(jì)中。本文運(yùn)用的翼型設(shè)計(jì)理論由希臘可再生能源與儲(chǔ)能研究中心的Chaviaropoulos［29］提出，簡(jiǎn)述如下。

2.1.1　基本假設(shè)

本文采用逆向法進(jìn)行翼型設(shè)計(jì)有一個(gè)基本假設(shè)：來(lái)流是二維、定常、可壓縮并無(wú)旋的理想氣體。其基本方程如下

連續(xù)性方程

無(wú)旋性條件

密度方程（能量守恒與等熵條件）

式中：速度V被無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流速度V∞歸一化；密度ρ被無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流的密度ρ∞歸一化；M∞代表相應(yīng)位置的馬赫數(shù)。

2.1.2　勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)介紹

引入勢(shì)函數(shù)Φ和流函數(shù)ψ的概念，將控制方程式（2-1）與式（2-2）恒等變換如下

式中：N是垂直于流面的單位矢量。

2.1.3　自然曲線坐標(biāo)系（φ，ψ）

將勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)當(dāng)做相互獨(dú)立的變量和自然坐標(biāo)。在（φ，ψ）坐標(biāo)系下，逆變量的基是

由于▽?duì)铡え對(duì)?0，（φ，ψ）坐標(biāo)系是正交曲線坐標(biāo)系。（φ，ψ）坐標(biāo)系的度量標(biāo)準(zhǔn)和共軛度量標(biāo)準(zhǔn)由式（2-5）和下式標(biāo)準(zhǔn)張量關(guān)系式給出

式中：9nl代表度量張量；gml代表共軛度量張量；是Kronecker符號(hào)。

根據(jù)式（2-5），（Φ，Ψ）坐標(biāo)系的度量張量和共軛度量張量還可以通過(guò)流量表示為

2.1.4　控制方程

自然坐標(biāo)系（φ，ψ）建立在二維歐幾里得空間（x，y）中。一個(gè)空間滿足歐幾里得空間的標(biāo)準(zhǔn)是其空間曲率為零，如平面空間就是歐幾里得空間。

在二維空間中，曲率張量只有一個(gè)獨(dú)立分量R 1212，與高斯曲率K成正比。如果曲率為零，有

上式還可以寫成

式（2-10）和式（2-11）定義了　Christoffel符號(hào)。

由于描述二維歐幾里得空間的坐標(biāo)系是自然坐標(biāo)系（φ，ψ），同時(shí)式（2-7）是通過(guò)流量的函數(shù)表示，式（2-8）以偏微分方程表示。將坐標(biāo)系下標(biāo)1，2分別替換為φ，ψ，將式（2-7）代入式（2-9）、式（2-10）、式（2-11）可得

下標(biāo)φ，ψ代表相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。非線性二階偏微分方程（2-12）與密度方程（2-3）組成了流場(chǎng)區(qū)域的一組閉合方程組。將式（2-3）代入式（2-12），可得

注意到φ方向與流動(dòng)方向吻合，速度方程的形式取決于當(dāng)?shù)伛R赫數(shù)的大小。在實(shí)際應(yīng)用中，式（2-13）以下面形式列出

式（2-14）是在自然坐標(biāo)系（φ，ψ）上運(yùn)用連續(xù)性和無(wú)旋性條件并消除與流動(dòng)方向有關(guān)的變量推導(dǎo)而來(lái)的，式（2-14）還滿足自然坐標(biāo)系下的兼容性條件。