3.2 模型方程離散求解

方程組求解時采用非耦合解，每個計算時段分三步計算，首先推求水面線，算出各斷面的水力要素；第二步求各河段各組泥沙的沖淤量，包括推移質(zhì)和懸移質(zhì)；第三步河床變形計算，包括修改橫斷面形態(tài)及床沙組成。

3.2.1 水流方程求解

采用三級解法對水流方程進行求解，首先對水流方程采用普列斯曼的四點隱式差分格式進行離散，可得差分方程如下：

式中系數(shù)均按實際條件推導得出。

假設某河段中有mL個斷面，將該河段中通過差分得到的微段方程式（3.10）和式（3.11）依次進行自相消元，再通過遞推關系式將未知數(shù)集中到汊點處，即可得到該河段首尾斷面的水位流量關系：

式中系數(shù)α₁，β₁，δ₁，θ_mL，η_mL，γ_mL由遞推公式求解得出。

將邊界條件和各河段首尾斷面的水位流量關系代入汊點連接方程，就可以建立起不同河道各汊點水位為未知量的代數(shù)方程組，求解此方程組得各汊點水位，逐步回代可得到河段端點流量以及各河段內(nèi)部的水位和流量。

3.2.2 泥沙方程求解

（1）懸移質(zhì)泥沙方程求解。對懸移質(zhì)泥沙連續(xù)方程用顯格式離散得

將該方程代入河床變形方程，然后對河床變形方程進行離散得

式中：Δx為空間步長；Δt為時間步長；ΔA_di為懸移質(zhì)河床變形面積；角標j為時間層。

在求出干支流河道所有斷面的水位與流量后，即可根據(jù)式（3.14）自上而下依次推求各斷面的含沙量，汊點分沙計算采用分沙比等于分流比的模式，最后根據(jù)式（3.15）進行河床變形計算。

（2）推移質(zhì)泥沙方程求解。推移質(zhì)輸沙率采用長江科學院研究的推移質(zhì)輸沙經(jīng)驗曲線求得，輸沙曲線的關系式為：

其中

推移質(zhì)引起的河床變形：

式中：Δx為空間步長；Δt為時間步長；G_b為推移質(zhì)總輸沙率；d為粒徑；U為流速；A_b為推移質(zhì)河床沖淤面積；V_d為近床面流速；h為水深；q_b為推移質(zhì)單寬輸沙率；ΔA_bi為懸移質(zhì)河床變形面積。

3.2.3 相關問題處理

1.斷面修改

修改橫斷面形態(tài)有兩種方法，一種是按沿濕周等厚變形修改，另一種是灘槽分配修改。一般寬闊斷面淤積時沿濕周等厚分布，沖刷時僅沖槽不沖灘；窄深斷面按水平狀態(tài)進行淤積或沖刷。

2.汊點分流分沙

在水面線計算方程中，過水面積、河寬、流速中隱含未知項，故需試算求解。此方程組中試算次數(shù)隨河網(wǎng)中河段的數(shù)目加大而增加，計算次數(shù)越多，引入的舍入誤差越大，同時隨計算量的增加，計算時間也增加，帶來一系列問題。為此，我們引入預分流分沙實時校正法。

3.區(qū)間來水

區(qū)間流量往往會集中匯入，其影響不容忽視，在非恒定流計算中必須考慮區(qū)間流量的匯入。我們將區(qū)間流量通過分配到各入?yún)R支流上加入計算河段。