2.3 河道貼體網格生成技術

河道貼體網格指的是能較好擬合復雜河道邊界的網格，目前最具代表性的貼體網格有正交曲線網格，漸變三角形無結構網格，三、四邊形混合網格等。

2.3.1 正交曲線網格

正交曲線網格的主要優點是即使對于比較復雜的河道，也能實現計算網格的貼體，且網格為正交網格，易于進行通量的計算。缺點有：描述物理現象的控制方程需進行變換，變換后的方程較復雜；對于河道急劇彎曲的情形，如鵝頭型分汊河道，貼體與正交很難同時保證；進行網格局部加密時，需將加密區所在的行和列同時加密等。

1.網格變換方法

正交曲線網格可通過拉普拉斯變換、泊松變換或區域轉換方程來實現。

（1）拉普拉斯變換。拉普拉斯（Laplace）變換的目的是將物理平面（x，y）上的不規則區域變換為計算平面（ξ，η）上的規則區域，并通過求解拉普拉斯方程，在物理平面和計算平面上生成一一對應的網格。

其控制方程為

控制方程可以變換為

在確定計算平面與物理平面對應區域的區域邊界線和方程的邊界條件后，通過求解式（2.22）和式（2.23），即可得到計算平面網格接點與物理平面網格節點的對應關系。

（2）泊松變換。同一幾何形狀或流動現象可以采用不同的坐標系來表達，坐標系之間可以有一一對應的關系相互轉換。通常最基本的坐標系是笛卡爾直角坐標系（x，y），但對于某些復雜幾何形狀或流動現象采用其他坐標系（ξ，η）描述更為方便，因此需要進行坐標變換。對于曲線坐標系（ξ，η），J.F.Thompson發展了一種方法，他通過求解兩個橢圓型偏微分方程（泊松方程）的解來尋找原坐標系統x，y與新坐標系統ξ，η之間的一一對應關系：

其中，P、Q（P、Q為0時為拉普拉斯變換）為一對“合并”或“聚散”函數（收縮因子），它主要用來調節網格線的位置變化，對變換結果有顯著影響，其作用有兩個：一是適當選擇P、Q可使曲線網格的疏密根據需要分布；二是可以使變換后的曲線網格保持正交。

通過以（ξ，η）為自變量、以（x，y）為因變量的泊松方程可變換為

其中J=x_ξy_η-x_ηy_ξ，如果使曲線網格保持正交，β取為0。

（3）區域轉換方程。其主要原理是根據有勢流的等勢線和流線的正交機理生成正交曲線網格，它是在泊松變換基礎上進行簡化改進的一種方法。采用該方法生成的網格既能保持正交，又能控制網格疏密，而且計算簡便。其核心是將式（2.24）、式（2.25）改寫成如下形式：

其中

為了便于計算又不失一般性，取Δξ=Δη=1，則令

式中：g_ξ、g_η分別表示x、y平面上曲線網格的長和寬，因此α與曲線網格的長寬比成比例。

將式（2.31）、式（2.32）改寫成如下形式：

上二式右邊即為式（2.24）、式（2.25）中的收縮因子P、Q，將P、Q代入式（2.26）、式（2.27）中即可得到平面（x，y）上正交曲線網格點坐標轉換方程：

上二式中：C_ξ、C_η為物理正交曲線坐標系中的拉梅系數。

在確定了計算平面與物理平面對應的區域邊界線和方程的邊界條件后，采用有限差分方法求解式（2.35）、式（2.36），就可自動生成物理平面（x，y）上正交曲線網格節點坐標。

（4）三種變換方法的比較。拉普拉斯變換能保證物理域網格線的貼體性、光滑性和邊界正交性，但其致命的弱點是網格疏密無法控制，無法滿足水力學計算所必需的合理的疏密分布。泊松變換通過增加和調節源項可實現網格的疏密控制，并保證網格的正交，但是其源項的確定和控制往往較為復雜，尤其對于復雜的邊界條件情況。區域轉換方程既能使生成的網格保持正交，又能控制網格疏密，而且計算和處理方便，因此對于河道模擬而言是一種難得的網格變換方法。

拉普拉斯變換方程是泊松變換方程的一個特例，而區域轉換方程是基于泊松變換思想得到的一種簡便、有效的變換方法。

2.邊界正交處理方法

在對區域變換方程進行迭代求解過程中，為保證網格在邊界的正交性，需對邊界進行必要的處理。許多學者在此方面進行了研究，如固定一邊，讓另外一邊變動，這樣處理往往使部分邊界正交性很好，而部分不好；又如通過計算域內靠近邊界的內點向邊界做垂線來確定邊界點，這樣能很好保證邊界正交，但難以控制邊界的疏密，有時導致網格線在邊界上交叉或出現很小的網格步長。

根據多年實踐經驗的總結，我們提出了一種既簡便又有效的邊界處理方法。其主要思想為：首先對計算域邊界線進行適當的光滑處理，得到基本能反映計算域外形的邊界線；然后將光滑后的邊界線看做“固定的軌道”，將要生成的網格邊界點看做“帶柄的滑輪”，讓“滑輪”在“軌道”上有序滑動，且使“滑輪的柄”始終垂直于“軌道”。

實現方法如下：對光滑的邊界線進行離散，令邊界線不動，而網格的邊界點可在邊界線上以離散點為基礎滑動。為保證邊界網格的正交性，不需按傳統的方法從靠近邊界的內點向邊界線做垂線來確定邊界點，而是通過尋找內點與邊界上離散點間的最短距離來確定邊界點。這樣處理的優點在于，無論如何迭代總能保證網格邊界點落在不變的邊界線上，且用最簡單的方法來實現邊界網格的正交。如圖2.8所示，假設邊界線j=N，為確定邊界點（i，N）位置，只需從（i-1，N）到（i+1，N）間的邊界離散點中（圖2.8中圓形點）尋找與內點（i-1，N-1）距離最近的點即可，如圖中P₃點即為邊界點（i，N）位置。

對于邊界的光滑，也采用了最為簡單的方法，對于邊界上的某點，將該點的位置向其前后兩點連線的平分點移動即可，當然該方法適用于邊界點較密的情形，否則會帶來較大誤差。該方法的最大優勢在于能有效消除“鋸齒”形不光滑邊界。

3.應用實例

通過上面的分析說明，基于區域轉換方程的貼體網格生成方法是適合于天然河道網格劃分的一種簡便、有效的方法。下面以長江下游鎮揚河段的世業洲汊道段為例，將網格生成步驟說明如下：

（1）在CAD繪圖軟件中，繪制天然河道輪廓線，在不考慮水流漫堤情況下，一般以河道大堤堤線作為網格的初始邊界線。

（2）沿河道從上游向下游布置控制斷面（如圖2.9中CS1～CS25），控制斷面要能基本反映河道外形，斷面可以為兩點，也可以為多點（如CS7～CS19）。

（3）按指定的沿河寬方向節點間距，對各控制斷面進行節點劃分，連接兩相臨控制斷面上相應的節點，得到沿河道方向的線段，按指定的沿河道方向斷面間距進行斷面劃分，便可得到計算域的初始網格。

（4）采用有限差分方法迭代求解式（2.35）、式（2.36），便得到計算域的正交曲線網格。

2.3.2 任意平面域三角形網格

在進行三角形單元劃分時，一般應遵循以下原則：①均勻原則：為了保證數值計算有較好的精度，要求三角形剖分是“正規”的，即要求每個單元中盡量不出現大的鈍角，而且每個單元的外接圓和內切圓直徑之比越接近越好；②不交叉原則：注意要使一個單元的頂點只能是相鄰單元的頂點，而不是相鄰單元邊界上的非頂點，即任意兩個單元的邊與邊不能交叉；③疏密原則：在計算域內，估計未知數變化劇烈的部分，可將網格分得密些；未知數變化緩和的部分，可將網格分得稀些。

非結構化網格生成方法主要有兩種：Delaunay三角形化方法和陣面推進法。這兩種方法均能實現網格生成的自動化，能夠實現局部加密，能夠加以推廣生成三維非結構化網格。

Delaunay三角形化方法在20世紀八九十年代得到了迅速的發展，Delaunay三角化的依據來自G.F.Voronoi和Dirichlet分別提出的一種利用已知點集將平面劃分成凸多邊形的理論。這種理論的思想是：給定區域Ω及點集{P_i}，P_i位于Ω內部或者邊界上，則存在每一個點的區域D_i，區域D_i內任意一點與點P_i的距離都比與{P_i}中其他點的距離近。這種劃分方法將平面劃分成了一系列不重疊的凸多邊形，叫做Voronoi區域，并且使得，且這種分解是唯一的。我們采用符號d（），表示歐幾里得距離，則D_i滿足的關系可表示為

連接所有相鄰凸多邊形中的P_i點形成的三角形網格就是俄國數學家Delaunay提出的Delaunay三角網。而Delaunay三角網和Voronoi圖互為對偶圖（見圖2.10）。

陣面推進法將邊界離散信息視為擾動波，逐層向計算區域內部推進，直至擾動傳遞到計算區域內的每一點。這種方法網格生成過程直觀，與Advancing Layer方法結合能在固壁附近生成數層高伸展比的三角形單元或四邊形單元以更好地分辨邊界層流動，能夠實現方向性加密。但陣面推進法的缺點是需要人工給定背景非結構化網格上的網格空間尺度參數，網格的光滑性與疏密程度不容易控制，網格生成速度慢；可能出現畸形二角形網格；若對流動邊界離散方式不恰當可能使網格生成過程崩潰，或者在流場計算后出現沿流動邊界非物理壓力振蕩問題。

在總結前人的基礎上，基于陣面推進法和網格節點間距函數，我們提出了適合天然河道網格劃分的方法。主要步驟為：首先確定計算域邊界線，包括內邊界及工程邊界，然后對邊界線進行離散，在沿河道進口向下游擴展直到計算河段出口，擴展過程中三角形邊長由網格尺度函數確定，最后對生成的網格進行適當優化。

1.計算域邊界的劃分

首先繪制河道的輪廓線，一般由堤線和洲邊界線構成。河道兩岸堤線和河道進出口斷面構成一逆時針的封閉線，而洲線則構成順時針封閉線，還可選擇工程輪廓線（不必封閉）或局部點作為網格需通過的點或線。

邊界線上節點的疏密可通過下述方法控制：記節點的密度為k，當k小于、等于或大于1時，沿著一條直線的間隔將會逐漸變短、保持不變或逐漸變長，如圖2.11所示。

該直線上某點j的坐標可由下式計算：

為了使網格在生成過程中能對邊界進行自動判斷，有必要建立節點信息表（程序中用數組來表示），以記錄所有節點的邊界屬性。如進口邊界點用“2”表示，出口邊界點用“3”表示，不過水洲灘、河岸及人工建筑物上邊界節點用“1”表示，內部節點則用“0”表示（即非邊界節點）。

2.網格疏密控制參數

當邊界離散后，為控制區域內部網格的疏密過渡，引入區域內節點間距函數ρ（x，y），它可以通過利用邊界離散點節點間距函數的加權平均計算得到，可通過定義邊界點的節點間距函數來控制整個計算域的疏密，從而實現局部加密控制和疏密網格的均勻過渡。

式中：N為邊界節點總數；ρ（x_i，y_i）為邊界節點的間距函數；d_i為區域內任一點（x，y）距邊界點（x_i，y_i）的距離；m為權函數，可取為2～3。

3.判斷一個點的位置是在域內還是域外

無論是在初始化三角形時把位于求解域外的三角形去掉，還是在自動加點時判斷該點是否在某一三角形的外接圓內，都需要判斷一個點的位置是在域內還是域外。參照相關文獻，對復雜多連域發展出了一種判斷方法，下面以圖2.12為例，對其步驟加以說明。

（1）根據輸入的邊界網格點的數據，把每相鄰兩點連接成直線，用直線段來逼近邊界的求解域，圖2.12中內外邊界的編號是連續的。設有一點P，坐標為x_P，y_P，現判斷其是否在此求解域內。

（2）過x=x_P做一垂直線，如果此直線不與該求解域任何直線段相交，則P點必在求解域外；如果此直線與求解域的一些直線段相交，則相交的直線段數目必為偶數。對圖2.12中情形，這些直線段為19-20、29-30、34-35、87-88、79-80及66-67，相交線段數為6。

（3）計算各交點的y坐標。

（4）根據交點y坐標，將相交的直線段重新排序，從y值低的排列到y值高的。圖2.12中應為66-67、79-80、87-88、34-35、29-30、19-20，這些線段以符號l_i（i=1，…，6）表示。

（5）判斷P（x_P，y_P）是否位于任意兩個直線段之間，而且其中位置低的那個直線段l_i值為奇數。如果兩個判斷都得出肯定的回答，則P點必在求解域內，否則P點不在求解域內。

4.節點與網格的同時生成

在引入節點間距函數后，可采用內部節點和三角形同時生成的前沿生成法生成Delaunay三角形。初始前沿為已離散的區域邊界，記為非Delaunay邊，優先考慮最長邊，并盡可能保證新生成的邊長度不斷減小，以實現從大到小的過渡，具體步驟如下：

（1）從前沿隊列中取出要擴展的有向邊AB，記長度為a，如圖2.13所示。

（2）以AB為底邊，做AB的垂直平分線OD，OD的長度為h。

（3）根據上述的邊界加權公式計算D的間距函數為ρ，并根據下列條件沿AB的垂直平分線調整OD的距離h：

（4）以D點為圓心，以h/3為半徑做圓，對前沿隊列中的所有節點進行判斷，看是否有點落入圓中。若有，選擇距D點最近的點C與AB邊構成新三角形ABC，同時得到一條擴展邊AC；若沒有，則以D點為頂點構成新的三角形ABD，同時生成兩條擴展邊BD和AD。

（5）由新的擴展邊開始重復上述步驟，直到前沿隊列為空，整個計算域便布滿三角形。

5.網格的優化

如果適當調整網格節點的位置，網格質量將進一步提高，這就是網格的優化。常用的一種網格優化方法稱為Laplacatian優化方法。這種優化技術是通過將節點向這個節點周圍的三角形所構成的多邊形形心移動來實現的。如果P_i（x_i，y_i）為一個內部節點，N_i為與P_i相連的節點數，則優化技術可表示如下：

6.應用實例

圖2.14為采用上述方法得到的天然河道三角形網格圖，由中可見，所建立的三角形網格能很好地適應河道不規則的邊界條件，可自由對重點關心部位進行局部加密，并保持疏密網格的良好過渡。

2.3.3 三四邊形混合網格

對于主槽較窄、灘地較寬的河道，采用混合網格是最好的選擇，將主河道劃分為四邊形網格，灘地劃分為三角形網格，可以節省計算單元。

1.四邊形網格生成

（1）單一河槽網格生成。圖2.15（a）為一概化的S形彎道河段。邊界線由一系列控制點組成，其中上下游四個頂點組成河道進、出口的兩個斷面，通過給定沿水流方向的斷面間距和垂直水流方向上的節點間距，就可生成貼體四邊形網格，如圖2.15（b）所示。

若要對局部河段網格進行加密，只需把局部河段按照上述方法調整斷面和節點間距即可。

（2）多河槽網格生成。對于河道中不同的河槽，可按照以上方法生成不同的四邊形網格，然后通過網格拼接技術，得到整個計算域的網格。

考慮到整體網格的一致性，各個不同汊道的有結構四邊形網格，均采用無結構編碼進行節點和單元的編號。

2.混合網格生成

對于主槽較窄、灘地較寬的河道，采用混合網格是最好的選擇，一方面能保證主河槽在枯水條件下不會因為網格較粗而斷流，另一方面可將灘地網格加粗，節省計算單元。可采用分區對接的方法生成混合網格，即首先在主河槽生成貼體四邊形網格，然后在河道固定邊界和四邊形網格邊界基礎上，生成非結構三角形網格，然后進行拼接。在拼接過程中，在三角形網格和四邊形網格的交界面上，不能出現非共享的邊界點。

3.應用實例

圖2.16給出了四邊形網格與三角形網格的拼接效果，從中可見，四邊形網格能保持較大的長寬比，即沿水流方向網格尺度遠大于垂直水流方向，使得河道主槽中有較多的網格節點，又不占用過多的網格單元；而三角形網格能自由對任意區域進行網格劃分，并方便地實現疏密網格的漸變。