4.1 波矢空間半導體載流子

4.1.1 波矢空間半導體載流子的統計分布

當T=0K時，電子動能為0，占據能量最低的量子態。隨著溫度的升高，電子動能增加，有一部分電子躍遷到較高的能級，在原來的能級處留下空穴。

以下討論半導體處于熱平衡狀態下的載流子行為。所謂熱平衡狀態，是指在給定溫度下，沒有光照、電場或壓力等外界干擾的穩定狀態。在熱平衡狀態下，半導體內各點的溫度T_s相同，并且與環境溫度T_a相等，載流子具有相同的平均動能，其分布函數f（k，x）是穩定的，與空間位置r無關，沒有宏觀的載流子流動。

在熱平衡狀態下，描述半導體中微觀粒子的統計分布主要有費米-狄拉克分布和麥克斯韋-玻耳茲曼分布兩種。

1.費米-狄拉克分布

在溫度為T的熱平衡狀態下，電子占據能量為E導帶能級的概率，即導帶電子的分布函數f_c（k，r），可由費米-狄拉克分布函數f₀[E（k），E_F，T]表述，f_c（k，r）與kT、E（k）和E_F相關。

在一維情況下，導帶電子的分布函數為

式中：k為玻耳茲曼常數；T為熱力學溫度；E_F為費米能級。費米能級的物理意義是，在該能級上的一個狀態被電子占據的概率為1/2。

在溫度為T的熱平衡狀態下，空穴占據能量為E的導帶能級的概率，即價帶空穴的分布函數f_v（k，x），也可由費米-狄拉克分布函數f₀[E（k），E_F，T]表述：

2.麥克斯韋-玻耳茲曼分布

在費米能級E_F和導帶底E_C、價帶頂E_V相距很遠時，費米-狄拉克分布函數可簡化為麥克斯韋-玻耳茲曼分布函數。

當能量E大于費米能級數倍kT，即滿足E-E_F?kT時，費米分布函數f（E）中的指數項。例如，當E-E_F=3kT時，，即。此時，導帶的電子分布函數為

當能量E小于費米能級數倍kT，即滿足E_F-E?kT時，費米-狄拉克分布函數f（E）中的指數項。例如，當E-E_F=-3kT時，將小于0.05。這時，價帶的空穴分布函數為

式（4-3）和式（4-4）通常稱為玻耳茲曼近似。

利用麥克斯韋-玻耳茲曼分布函數，可簡化式（4-1）和式（4-2），將其用于熱平衡狀態的電子濃度n和空穴濃度p的計算。

4.1.2 波矢空間半導體的載流子濃度和電流密度

1.載流子濃度表達式

為求得半導體中的電子濃度（即單位體積中的電子數），首先需要計算波矢空間d³k的電子濃度dn（r），該濃度由單位體積內允許的態密度g（k）與電子占據此波矢空間d³k的概率f（k，r）的乘積得出。導帶中的電子濃度n（r）可在導帶波矢空間通過積分得到。

在一維情況下，分布函數f（k，x）描述在空間位置x處載流子占據波矢為k量子態的概率。在波矢空間，體積元d³k內的導帶電子濃度為

式中，g（k）為k空間中單位體積的狀態密度。

導帶電子濃度為

式中，積分限CB表示對整個導帶波矢空間積分。

由于空穴是電子空缺的量子態，所以一個量子態不是被電子占據，就是被空穴占據。如果電子的分布函數為f（k，x），則空穴的分布函數為[1-f（k，x）]。價帶的空穴濃度為

式中，積分限VB表示對整個價帶波矢空間積分。

分布函數f（k，x）和狀態密度g（k）可以表述為以波矢k為變量的函數，也可表述為以能量E為變量的函數，通常多采用能量E為變量的函數，但這里先采用以波矢k為變量的函數形式，主要是考慮在準平衡條件下推導用費米能級梯度表述的載流子電流公式的需要。下面將會見到，如果采用波矢k的函數形式，利用函數的奇偶性，可明顯簡化公式推導。

2.載流子電流密度表達式

半導體中載流子所產生的宏觀電流密度為載流子速度υ與載流子濃度n（x）的乘積的積分。因此，由式（3-43）和式（4-5）可推導出導帶的電子電流密度J_n（x）為

式中，積分限CB表示對整個導帶波矢空間積分。

由于電流J_n（x）的方向和空穴運動方向相同，與電子運動方向相反，所以式（4-8）中最右側部分的前面為負號。

類似地，可得價帶的空穴電流J_p（x）為

式中，積分限VB表示對整個價帶波矢空間積分。

按照式（4-8）和式（4-9），利用分布函數對波矢進行積分，可求得熱平衡狀態的載流子電流。由于能量E（k）是關于波矢k的偶函數，因此g（k）和f（k，x）也是關于波矢的偶函數。但其積分函數kg_c（k）f（k，x）和kg_v（k）[1-f（k，x）]卻成為關于波矢的奇函數，導致式（4-8）和式（4-9）的積分為0，J_n（x）=J_p（x）=0，這表明在熱平衡狀態的半導體中，凈電流為0。