3.5 正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)的提高

3.5.1 有功功率、無功功率、視在功率和功率因數(shù)

設(shè)有一個二端網(wǎng)絡(luò)，取電壓、電流參考方向如圖3-28所示，網(wǎng)絡(luò)在任一瞬間時吸收的功率即瞬時功率為p（t）=u（t）i（t）設(shè)：和，其中φ為電壓與電流的相位差。

其波形圖如圖3-29所示。

圖3-28 二端網(wǎng)絡(luò)

圖3-29 瞬時功率波形圖

瞬時功率有時為正值，有時為負(fù)值，表示網(wǎng)絡(luò)有時從外部接受能量，有時向外部發(fā)出能量。如果所考慮的二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)不含有獨(dú)立源，這種能量交換的現(xiàn)象就是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)儲能元件所引起的。二端網(wǎng)絡(luò)所吸收的平均功率P為瞬時功率p（t）在一個周期內(nèi)的平均值，

將式（3-36）代入上式得：

可見，正弦交流電路的有功功率等于電壓、電流的有效值和電壓、電流相位差角余弦的乘積。

cosφ稱為二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)，用λ表示，即λ=cosφ，φ稱為功率因數(shù)角。在二端網(wǎng)絡(luò)為純電阻情況下，φ=0°，功率因數(shù)cosφ=1，網(wǎng)絡(luò)吸收的有功功率P_R=UI；當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)為純電抗情況下，φ=±90°，功率因數(shù)cosφ=0，則網(wǎng)絡(luò)吸收的有功功率P_X=0，這與前面3.3節(jié)的結(jié)果完全一致。

在一般情況下，二端網(wǎng)絡(luò)的Z=R+jX，，cosφ≠0，即P=UIcosφ。

二端網(wǎng)絡(luò)兩端的電壓U和電流I的乘積UI也是功率的量綱，因此把乘積UI稱為該網(wǎng)絡(luò)的視在功率，用符號S來表示。

即 S=UI （3-38）

為與有功功率區(qū)別，視在功率的單位用伏安（VA）。視在功率也稱容量，例如一臺變壓器的容量為4000kVA，而此變壓器能輸出多少有功功率，要視負(fù)載的功率因數(shù)而定。在正弦交流電路中，除了有功功率和視在功率外，無功功率也是一個重要的量。

即 Q=U_XI

而 U_X=Usinφ

所以無功功率為 Q=UIsinφ （3-39）

當(dāng)φ=0°時，二端網(wǎng)絡(luò)為一等效電阻，電阻總是從電源獲得能量，沒有能量的交換；

當(dāng)φ≠0°時，說明二端網(wǎng)絡(luò)中必有儲能元件，因此二端網(wǎng)絡(luò)與電源間有能量的交換。對于感性負(fù)載，電壓超前電流，φ>0°，Q>0；對于容性負(fù)載，電壓滯后電流，φ<0°，Q<0。

3.5.2 功率因數(shù)的提高

電源的額定輸出功率為P_N=S_Ncosφ，它除了決定于本身容量（即額定視在功率）外，還與負(fù)載功率因數(shù)有關(guān)。若負(fù)載功率因數(shù)低，電源輸出功率將減小，這顯然是不利的。因此為了充分利用電源設(shè)備的容量，應(yīng)該設(shè)法提高負(fù)載網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)。

另外，若負(fù)載功率因數(shù)低，電源在供給有功功率的同時，還要提供足夠的無功功率，致使供電線路電流增大，從而造成線路上能耗增大。可見，提高功率因數(shù)有很大的經(jīng)濟(jì)意義。

功率因數(shù)不高的原因，主要是由于大量電感性負(fù)載的存在。工廠生產(chǎn)中廣泛使用的三相異步電動機(jī)就相當(dāng)于電感性負(fù)載。為了提高功率因數(shù)，可以從兩個基本方面來著手：一方面是改進(jìn)用電設(shè)備的功率因數(shù)，但這主要涉及更換或改進(jìn)設(shè)備；另一方面是在感性負(fù)載的兩端并聯(lián)適當(dāng)大小的電容器。

下面分析利用并聯(lián)電容器來提高功率因數(shù)的方法。

圖3-30 電路圖

a）電路圖 b）相量圖

原負(fù)載為感性負(fù)載，其功率因數(shù)為cosφ，電流為，在其兩端并聯(lián)電容器為C，電路如圖3-30所示。并聯(lián)電容以后，并不影響原負(fù)載的工作狀態(tài)。從相量圖可知，由于電容電流補(bǔ)償了負(fù)載中的無功電流。使總電流減小，電路的總功率因數(shù)提高了。

設(shè)有一感性負(fù)載的端電壓為U，功率為P，功率因數(shù)cosφ₁，為了使功率因數(shù)提高到cosφ，可推導(dǎo)所需并聯(lián)電容C的計(jì)算公式為

流過電容的電流為

又因

所以

【例3.10】兩個負(fù)載并聯(lián)，接到220V、50Hz的電源上。一個負(fù)載的功率P₁=2.8kW，功率因數(shù)cosφ₁=0.8（感性），另一個負(fù)載的功率P₂=2.42kW，功率因數(shù)cosφ₂=0.5（感性）。試求：

（1）電路的總電流和總功率因數(shù)；（2）電路消耗的總功率；（3）要使電路的功率因數(shù)提高到0.92，需并聯(lián)多大的電容？此時，電路的總電流為多少？（4）再把電路的功率因數(shù)從0.92提高到1，需并聯(lián)多大的電容？

解：（1）cosφ₁=0.8 φ₁=36.9°

(2)

cosφ₂=0.5 φ₂=60°

設(shè)電源電壓為

則

(3)

(4)

由上例計(jì)算可以看出，將功率因數(shù)從0.92提高到1，僅提高了0.08，補(bǔ)償電容需要144.8μF，將增大設(shè)備的投資。

在實(shí)際生產(chǎn)中并不要把功率因數(shù)提高到1，因?yàn)檫@樣做需要并聯(lián)的電容較大，功率因數(shù)提高到什么程度為宜，只能在作具體的技術(shù)經(jīng)濟(jì)比較之后才能決定。通常只將功率因數(shù)提高到0.9～0.95即可。

3.5.3 正弦交流電路負(fù)載獲得最大功率的條件

圖3-31 正弦交流電路

在圖3-31所示電路中，U_S為信號源的電壓相量，Z_i=R_i+jX_i為信號源的內(nèi)阻抗，Z=R+jX為負(fù)載阻抗。

負(fù)載中的電流為

于是，電流的有效值

負(fù)載吸取的平均功率為

如果負(fù)載的電抗X和電阻R均可調(diào)，則首先選擇負(fù)載電抗X=-X_i

使功率

其次是確定R值，將P對R求導(dǎo)數(shù)為

令

解得：R=R_i

因而負(fù)載能獲得最大功率的條件為

X=-X_iR=R_i

即Z=Z_i （3-42）

當(dāng)上式成立時，我們也稱負(fù)載阻抗與電源阻抗匹配。

負(fù)載所得最大功率為

在阻抗匹配電路中，負(fù)載得到的最大功率僅是電源輸出功率的一半。即阻抗匹配電路的傳輸效率為50%，所以阻抗匹配電路只能用于一些小功率電路，而對于電力系統(tǒng)來說，首要的問題是效率，則不能考慮匹配。