趣味幾何

第一章

1.1　陰影的長度

小時候，發生在我身上的一件事情一直令我記憶猶新：一個禿頂的守林人站在一株大樹旁邊，用一個小小的儀器測量大樹的高度。我以為他要爬到樹頂上，然后用尺子測量大樹的高度，結果老頭并沒有這樣做，他用那個小工具對著大樹瞄了一下，然后旁人告訴我，測量已經結束了，而我以為還沒有開始呢。

那個時候我還年幼，我覺得這種既不需要把大樹砍倒，也不需要爬到樹頂上去測量高度的方法非常神奇，就像魔術一樣。這個疑問一直縈繞在我心中，直到后來，我上學學習到了數學知識，才知道這個魔術的原理竟然如此簡單，而且有各種各樣的計算方法。

最簡單最古老的方法當屬公元前六世紀古希臘人泰勒斯利用陰影來測量金字塔高度的方法。法老、祭祀和人們聚集在一起，迫切地想要看到這個希臘人如何測量他們雄偉的金字塔的高度。

傳說公元前六百年的激動人心的那個時刻，泰勒斯在太陽底下的影子和他人的高度正好相等。泰勒斯通過測量陰影的長度得到了金字塔的高度。

也許我們今天學過幾何的孩子們都覺得這個問題很容易解答，但是不要忘記，在那個年代，泰勒斯的舉動被埃及人認為是驚為天人的。泰勒斯用三角形的特性解決了測量金字塔高度的問題，而在他之后的三百年，也就是公元前300年，希臘數學家歐幾里得發現了三角形的其他特性，并將其結集成書。在他死后直到今天，我們一直在學習他的幾何知識，今天我們所熟知的很多定理和知識都來自這本書。

現在我們的學生都知道，其實泰勒斯利用的是三角形的兩個特性：

1.等腰三角形的兩底角相等；反過來說，等角所對應的邊也必然相等；

2.任意三角形的三個角之和等于180度。

泰勒斯正是因為知道這兩點，所以他才能夠確定，當他的影子長度等于他的身高時，太陽光以45度角射向地面的。因此，金字塔的頂點、塔底的中心點以及塔的陰影的端點三者之間剛好形成了一個等腰直角三角形。

在陽光燦爛的日子，利用泰勒斯的這種測量方法來測量大樹的高度是相當方便的，但大樹只能是一株孤零零的大樹，旁邊沒有別的樹木，因為別的樹木的陰影會和這株大樹重疊在一起，影響測量結果。泰勒斯的這種方法還有一個限制，那就是在高緯度的地區，太陽經常距離地平線很近，因此很難找到合適的測量時機，只有在夏季正午左右才能使用這個方法來測量大樹的高度。

但是這個局限是容易克服的，我們并不一定非要在那個特殊的時間才能測量。我們在測量高度的時候，除了要測量出測量對象的陰影長度之外，我們還需要另外測量出自己的身體或者一根桿子的陰影長度，這樣就可以根據它們之間的比例計算出所要測量對象的高度：

AB：ab=BC：bc

我們能夠這樣操作的原因是利用三角形ABC和三角形abc的相似性。也就說，樹影的長度是桿子或身體長度的幾倍，樹的高度也就是你身高的幾倍。

死記硬背這個規則是沒有什么真正的意義的，我們需要做的是了解其中的幾何學原理，因為在有些情況下，這個規則是不適用的。

請看圖2，在路燈燈光投射出來的陰影下，木柱AB的高度比木樁ab高出大約兩倍，但是木柱AB的陰影BC卻是木樁ab的陰影bc多出七倍。這是為什么呢？因為太陽光線和路燈照射出來的光線是不一樣的，路燈的光是點式的，所以它的光線是發散的，而太陽光的光線是平行的。

也許親愛的你會發出質疑，如何判斷出太陽光線是平行的？確實，從精確測量的角度來講，太陽光線是有角度的，但是這個角度對于粗略測量來說，基本可以忽略不計。

我們來舉一個簡單的例子。假定太陽上某一點發出了兩道光線，它們落到地面上相距1000米的某兩點，假如我們有一把巨大的圓規。我們可以把圓規的一只腳放在太陽發出光線的那一點上，另外一只腳以太陽到地球的距離（即150000000千米）為半徑畫一個圓。我們計算得知，兩道光線（兩條半徑）之間的弧長是1000米，而這個巨大的圓周長應該等于2×π×150000000千米=940000000千米。

這個圓周上每一度的弧長是圓周的，約為2600000千米；每一分的弧長是每一度的，約為43000千米，而每一秒的弧長又是每一分的，約為720千米。而我們假設的弧長只有1千米，因此，我們知道，與它對應的角只有秒。即使是精密的儀器也很難測量出如此微小的角度。所以，在測量的實際經驗中，我們可以將太陽發出的光線視為平行的直線。

在這個陰影測量法中還有一個問題，因為太陽并不是點狀光源，而是一個巨大的、四散的發光體，太陽光投射出來的每一個陰影的盡頭都有一圈輪廓不明的影子，我們很難清晰的畫出它的界線，因此也無法完全精準的測量出陰影的長度。

在圖3中就能看到，樹影BC會多出一段逐漸消失的半影CD, C、D兩點與樹頂A所形成的∠CAD與我們平常看太陽圓面所夾的角是相同的，我們稱之為半度。因此，即使太陽的位置較高，因為陰影的原因所帶來的在精確性上的誤差也可能達到5%或者更多。再加上地面有起伏等無法避免的因素，也增大了誤差。因此在山巒地帶，這樣的陰影測量法也不適用。