2.7　廣義矩估計(jì)

在實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究中，除了多因子模型外，還有很多其他的模型。其中一個(gè)重要的模型是由Lucas（1978）和Breeden（1979）提出的基于消費(fèi)的資產(chǎn)定價(jià)模型（Consumptionbased CAPM，CCAPM）。CCAPM的理論雖然優(yōu)雅，但是模型中消費(fèi)和資產(chǎn)收益率之間的關(guān)系是非線性的，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法在檢驗(yàn)該模型時(shí)無能為力。在學(xué)術(shù)界為如何檢驗(yàn)CCAPM絞盡腦汁的時(shí)候，Hansen（1982）提出了廣義矩估計(jì)（Generalized Method of Moments，GMM）[1]。

GMM是一個(gè)非常強(qiáng)大的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法，在實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究的歷史上起到了舉足輕重的作用。而如今無論是在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域還是金融學(xué)領(lǐng)域，GMM因其數(shù)學(xué)上的優(yōu)雅和特性上的強(qiáng)大而被廣泛運(yùn)用，Hansen（1982）也早已成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域被引用量最高的文章之一。雖然GMM最初是被用來檢驗(yàn)CCAPM的，但其強(qiáng)大的性能和“標(biāo)準(zhǔn)化”的使用流程使得它可以被方便地應(yīng)用于檢驗(yàn)線性多因子模型（Cochrane 2005的第13章對(duì)此有精彩的論述）。為此，作為因子投資方法論章節(jié)中的進(jìn)階內(nèi)容，本節(jié)對(duì)GMM進(jìn)行介紹。筆者相信，掌握GMM將會(huì)幫助讀者在未來進(jìn)行更深入的因子投資研究。

本節(jié)的目標(biāo)是從直觀出發(fā)揭示GMM蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)之美。以下行文中試圖把公式掰開揉碎講清楚，從而幫助感興趣的讀者理解復(fù)雜公式背后的本質(zhì)。Cochrane（2005）指出，學(xué)習(xí)GMM時(shí)最大的障礙就是涉及的數(shù)學(xué)符號(hào)繁多。只要搞清楚這些符號(hào)，GMM背后的數(shù)學(xué)精髓其實(shí)是非常簡(jiǎn)單的，因?yàn)镚MM的核心最終能夠歸結(jié)為計(jì)算樣本均值的方差（the variance of the sample mean）。希望本節(jié)的論述能帶給你這種恍然大悟之感。接下來就從樣本均值的方差說起。

2.7.1　樣本均值的方差

考慮某隨機(jī)變量ut。假設(shè)它在某個(gè)樣本內(nèi)的取值為0、-1、3、3、-3。式（2.99）計(jì)算出了ut的樣本均值ū：

ū=ET[ut]=0.4　（2.99）

由于ut是一個(gè)隨機(jī)變量，因此其樣本均值ū也是一個(gè)隨機(jī)變量。雖然它在上述樣本中的取值為0.4，但假如能夠乘坐時(shí)光機(jī)回到過去“重寫歷史”，得到不同的樣本，那么在不同的樣本中，樣本均值的取值也會(huì)有所變化。假設(shè)除樣本一（就是上面這個(gè)樣本）之外，還有三個(gè)樣本。每個(gè)樣本中的ut和它們的樣本均值ū如表2.5所示。

既然樣本均值本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，那么一個(gè)很自然的問題就是樣本均值在不同的樣本中是如何變化的，即求解樣本均值的方差。從方差的定義出發(fā)有：

式中T為樣本量。在最簡(jiǎn)單的情況中，假設(shè)ut序列滿足獨(dú)立同分布，則式（2.100）可以簡(jiǎn)化成：

將式（2.101）兩邊開方就得到樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤：

式（2.102）的結(jié)果大概是各位讀者在統(tǒng)計(jì)課中學(xué)到的印象最深的一個(gè)式子——當(dāng)ut滿足獨(dú)立同分布時(shí)，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤。對(duì)于金融數(shù)據(jù)（比如收益率）來說，ut序列有非零的自相關(guān)性（即cov（ut, ut?j）≠0），難以滿足獨(dú)立同分布，因此需要得到更一般情況下樣本均值ū的方差：

當(dāng)T趨于無窮大時(shí)，（T-j）/T趨于1，可以求出var（ū）的漸進(jìn)形式：

下面再假設(shè)一個(gè)特殊的情況，即隨機(jī)變量ut的總體均值E[ut]=0，并利用方差運(yùn)算的性質(zhì)var（X, Y）=E[XY]-E[X]E[Y]可得：

上式最后一項(xiàng)中使用S代表了中間項(xiàng)中的求和項(xiàng)。在GMM的術(shù)語中，S被稱作ut的譜密度矩陣。以上從人們熟悉的樣本均值出發(fā)指出樣本均值本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，并推導(dǎo)出當(dāng)樣本量T趨于無窮，且假設(shè)E[ut]=0時(shí)，樣本均值的方差漸進(jìn)趨于S/T，其中S是無窮級(jí)數(shù)求和∑E[utut?j]。千萬不要小看var（ū）→S/T這個(gè)式子，它在下文中介紹GMM的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中起著至關(guān)重要的作用。

2.7.2　分析框架

回顧了樣本均值的方差之后，本節(jié)就來解釋GMM到底是怎么回事兒。GMM的作用是為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停热缒Ｐ偷降讓?duì)不對(duì)？模型的參數(shù)如何估計(jì)？誤差是來自運(yùn)氣還是因?yàn)槟Ｐ陀姓`？GMM提供了一個(gè)優(yōu)雅而強(qiáng)大的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)框架來回答這些問題。一般來說，GMM框架分為以下三個(gè)部分。

? 第一部分：把關(guān)注的問題表達(dá)成一系列總體矩條件，即提出模型。

? 第二部分：使用樣本數(shù)據(jù)得到對(duì)應(yīng)的樣本矩條件，從而對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，即把模型和數(shù)據(jù)聯(lián)系起來。

? 第三部分：計(jì)算參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤（方差），并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

1. GMM第一部分

在接下來的討論中，令xt代表數(shù)據(jù)，b代表參數(shù)（它們都是向量）。在使用GMM時(shí)，將猜想的模型描述成一組關(guān)于xt和b的函數(shù)f（xt, b），且當(dāng)b=b0時(shí)如下的矩條件成立：

E[f（xt, b0）]=0　（2.106）

式（2.106）左側(cè)的E[f（xt, b0）]是總體矩（population moments），而約束（2.106）就是總體矩條件（population moment conditions）。它們表示當(dāng)猜測(cè)的模型正確時(shí)，參數(shù)和數(shù)據(jù)應(yīng)該滿足的關(guān)系，因此它們就是待檢驗(yàn)的原假設(shè)。需要說明的是，期望符號(hào)E表示對(duì)總體求均值；而前面使用的（接下來也將會(huì)繼續(xù)使用的）期望符號(hào)ET表示對(duì)樣本求均值。GMM的第一部分是把研究的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)據(jù)和參數(shù)的一組矩條件E[f（xt, b0）]=0。

為了加深理解，來看資產(chǎn)定價(jià)中的例子。Cochrane（2005）指出資產(chǎn)定價(jià)理論都可以歸結(jié)到一個(gè)最基礎(chǔ)的式子[2]：

pt=E[mt+1xt+1]　（2.107）

其中m是隨機(jī)折現(xiàn)因子（stochastic discount factor，由參數(shù)b0決定），xt+1是某個(gè)投資未來的回報(bào)，pt是該投資現(xiàn)在的價(jià)格。因此這個(gè)式子說明某個(gè)投資未來的回報(bào)的現(xiàn)值等于今天的價(jià)格。舉例來說，令代表無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的總回報(bào)，即t期投入pt=1，t+1期得到。將它們代入式（2.107）就得到一個(gè)矩條件：

又比如，對(duì)于某個(gè)通過多空對(duì)沖構(gòu)成的資金中性投資組合（如某個(gè)因子或者異象的投資組合），其理論上是靠賣空的資產(chǎn)獲得的資金來買入做多的資產(chǎn)，因此該組合的成本是零，即pt=0。令Re代表該組合的超額收益，即xt+1=Re。將它們代入式（2.107）就得到另一個(gè)矩條件：

E[m（b0）Re]=0　（2.109）

式（2.108）和式（2.109）都是資產(chǎn)定價(jià)中常見的總體矩條件。將它們放在一起就得到向量的形式：

2. GMM第二部分

GMM的第一部分通過總體矩條件描述了關(guān)注的問題，但這些矩條件僅僅是人們對(duì)于真實(shí)模型的猜想，而人們手里有的只是樣本數(shù)據(jù)。因此，GMM的第二部分就是用樣本矩（sample moments）代替總體矩，從而建立起模型和數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，以此進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)。根據(jù)定義，樣本矩可以寫成：

上式最后一項(xiàng)中引入符號(hào)gT僅僅是為了在下文中簡(jiǎn)化公式。怎么樣？看著式（2.111）有沒有什么感想？無論研究的具體問題是什么（比如本書中的實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)，而別人也可以研究經(jīng)濟(jì)學(xué)或金融學(xué)中其他的問題），不管一系列函數(shù)f的具體形式長(zhǎng)什么樣，式（2.111）中的樣本矩在數(shù)學(xué)上的定義都是f在樣本內(nèi)取均值而已，因此它也是一種樣本均值。

從樣本矩出發(fā)就可以進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。GMM的第一步提出模型時(shí)假設(shè)總體矩滿足矩條件E[f（xt, b0）]=0（原假設(shè)）。如果原假設(shè)成立，那么樣本矩在統(tǒng)計(jì)上不應(yīng)顯著偏離零。使用樣本數(shù)據(jù)，GMM的核心是找到參數(shù)b0的估計(jì)，以使所有樣本矩都盡可能地等于零：

式（2.112）中之所以用了約等于而非等于，是因?yàn)樵趯?shí)際問題中，樣本矩的個(gè)數(shù)往往超過參數(shù)的個(gè)數(shù)（這也被稱為過度識(shí)別，overidentification）。假設(shè)問題中一共有n個(gè)矩（即gT是n維向量），p個(gè)參數(shù)（即b0是p維向量）。當(dāng)n>p時(shí)，顯然無法讓所有的樣本矩都等于零，因而選擇讓這其中的p個(gè)樣本矩或者所有樣本矩的p個(gè)線性組合等于0。這就是GMM估計(jì)量：

上式中a是一個(gè)p×n階矩陣，每一行都代表一個(gè)樣本矩的線性組合。為了便于理解，仍然用資產(chǎn)定價(jià)來舉例子。假設(shè)CCAPM是正確的資產(chǎn)定價(jià)模型。在CCAPM下，隨機(jī)折現(xiàn)因子m由兩個(gè)參數(shù)b1和b2決定，即b0=[b1, b2]′。接下來，假設(shè)使用以下四個(gè)資產(chǎn)構(gòu)造四個(gè)矩條件來檢驗(yàn)CCAPM。這些資產(chǎn)是市場(chǎng)組合、無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，以及Fama and French（1993）中的價(jià)值（HML）和規(guī)模（SMB）兩個(gè)因子的投資組合。用表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的總回報(bào)，用代表其他三個(gè)資產(chǎn)的超額收益。在這個(gè)例子中，n=4而p=2，因此a是一個(gè)2×4矩陣，而GMM估計(jì)可以寫成：

根據(jù)式（2.114）就可以使用樣本矩求出參數(shù)估計(jì)。不過有的讀者會(huì)有疑惑，因?yàn)槭剑?.114）中并沒有說明矩條件的線性組合矩陣a是什么。不同的a顯然會(huì)得到不同的參數(shù)估計(jì)。GMM的框架下允許人們?nèi)我膺x擇a，然而從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度，有一個(gè)特殊的矩陣a會(huì)讓GMM估計(jì)量成為有效估計(jì)量（efficient estimator）。

3. GMM第三部分

使用GMM估計(jì)得到的僅僅是真實(shí)但未知參數(shù)b的一個(gè)估計(jì)。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度看，人們同樣關(guān)心估計(jì)的誤差，即。對(duì)于給定的樣本矩gT，從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度看有一個(gè)特殊的矩陣a使得最小，這就是有效（efficient）的含義。Hansen（1982）給出了這個(gè)a的形式，2.7.4節(jié)將對(duì)它的含義以及GMM估計(jì)的有效性做進(jìn)一步探討。

的大小僅僅說明參數(shù)估計(jì)是否準(zhǔn)確，而對(duì)于研究的問題來說，人們更加關(guān)注的是當(dāng)給定的大小。在一般的過度識(shí)別問題下（即矩個(gè)數(shù)多于參數(shù)個(gè)數(shù)），樣本矩?zé)o法全都滿足等于零的矩條件[3]，因此需要回答的問題是樣本矩聯(lián)合起來相對(duì)于零的偏離的大小，并搞清楚樣本矩聯(lián)合起來相對(duì)于零的偏離是因?yàn)檫\(yùn)氣成分還是因?yàn)檫x擇的總體矩條件（即原假設(shè)）是錯(cuò)的。如果僅僅因?yàn)檫\(yùn)氣（即偏離很小），那么可以接受原假設(shè)——比如接受一個(gè)資產(chǎn)定價(jià)模型；如果不是因?yàn)檫\(yùn)氣（即偏離很大），就只能拒絕原假設(shè)。唯有有了，才能夠進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)并決定接受或拒絕原假設(shè)。計(jì)算并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)就是GMM的第三部分。

Hansen（1982）中的定理3.1指出，當(dāng)樣本量T趨于無窮大時(shí)，滿足以下漸進(jìn)正態(tài)性：

式中-1表示求逆，′表示轉(zhuǎn)置，所以（ad）?1′表示先求ad的逆矩陣，再轉(zhuǎn)置。Hansen（1982）給出了漸進(jìn)分布成立需要滿足的一系列假設(shè)。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)牢記的是數(shù)據(jù)xt需要滿足弱平穩(wěn)性，這是因?yàn)镚MM的基礎(chǔ)是隨著T的增大，樣本均值向總體均值收斂。

此外，Hansen（1982）中的引理4.1指出滿足如下漸進(jìn)正態(tài)性：

式中I是n階單位陣。式（2.115）和式（2.116）中的a就是樣本矩的線性組合權(quán)重矩陣，但以上還未說明d和S是什么。接下來2.7.3節(jié)會(huì)把它們的含義說清楚。式（2.115）和式（2.116）中正態(tài)分布的方差的表達(dá)式看似無比復(fù)雜，但它們本質(zhì)上也都離不開2.7.1節(jié)介紹的樣本均值的方差。

一旦有了的分布，便可以對(duì)GMM第一部分中提出的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，從而決定是接受還是拒絕它。以資產(chǎn)定價(jià)為例，矩條件代表了給定定價(jià)模型下不同資產(chǎn)或投資組合的定價(jià)誤差α，人們關(guān)心這些定價(jià)誤差聯(lián)合起來是否為零。有了樣本矩的分布，可以構(gòu)建相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量超過給定顯著性水平的閾值，就可以拒絕該資產(chǎn)定價(jià)模型。

總結(jié)一下，本節(jié)介紹了GMM的三個(gè)部分，其中：

? 第一部分把關(guān)心的問題表述成一組總體矩條件；

? 第二部分用樣本矩代替總體矩從而把樣本數(shù)據(jù)和模型聯(lián)系起來，并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；

? 第三部分計(jì)算，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，決定是否接受第一部分提出的模型。

2.7.3　數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

本節(jié)的目標(biāo)是解釋如何計(jì)算。了解本節(jié)的內(nèi)容可以更好地理解GMM背后的數(shù)學(xué)之美。先說式（2.115）和式（2.116）中的S，這是核心。首先回顧一下gT的定義（式（2.111））：

對(duì)gT求方差就得到var（gT）。由gT的定義可知，無論函數(shù)f長(zhǎng)什么樣子，樣本矩gT的數(shù)學(xué)形式都僅僅取平均，即gT其實(shí)就是f（xt, b0）的樣本均值，因此var（gT（b0））就是對(duì)一個(gè)樣本均值求方差，即樣本均值的方差。利用2.7.1節(jié)的式（2.105）可以很容易推導(dǎo)出，當(dāng)T趨于無窮時(shí)的var（gT）：

利用式（2.117），定義S如下：

它是一個(gè)n階矩陣（在實(shí)際情況中，它可以用樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)）。式（2.117）的計(jì)算中之所以能把方差和協(xié)方差寫成E[XY]的形式，是因?yàn)樵僭O(shè)下的總體矩條件約束E[f（xt, b0）]=0這里預(yù)期符號(hào)E沒有下標(biāo)T，表示總體期望。

需要強(qiáng)調(diào)的是，式（2.117）給出的是var（gT（b0）），即樣本矩gT在真實(shí)參數(shù)b0下的方差。而為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停藗冴P(guān)心的是gT在估計(jì)。然而，一旦有了var（gT（b0））=S/T，計(jì)算就變得容易了。首先看看如何計(jì)算。將在b=b0中進(jìn)行一階泰勒展開：

式中一階偏導(dǎo)數(shù)?gT（b0）/?b′的分母中?b右上角有一個(gè)轉(zhuǎn)置符號(hào)。在計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，gT是一個(gè)n維向量（n個(gè)矩），而b是一個(gè)p維向量（p個(gè)參數(shù)），因此偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算將會(huì)得到一個(gè)矩陣，這類運(yùn)算屬于矩陣微積分（matrix calculus）。當(dāng)轉(zhuǎn)置符號(hào)出現(xiàn)在分母時(shí)，得到的偏導(dǎo)數(shù)矩陣是n×p矩陣，即每一行代表一個(gè)矩，這種排列方式被稱作分子布局（numerator layout）或雅可比布局（Jacobian formulation）。

接下來，定義矩陣d如下：

式中第一個(gè)等價(jià)符號(hào)是d的定義，而第二個(gè)等式意味著在實(shí)際應(yīng)用中用樣本矩和來計(jì)算d（Cochrane 2005）。Hansen（1982）指出，當(dāng)T趨于無窮大時(shí)，依概率收斂于E[?f（xt, b0）/?b′]。這個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣正是式（2.115）和式（2.116）中的d。用d代替?gT（b0）/?b′代入式（2.119）并進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算：

對(duì)上式的兩邊直接求方差就可以得到。值得一提的是，式（2.121）右側(cè)的（ad）?1a是系數(shù)矩陣，而gT（b0）的方差已由式（2.117）給出了——正是S/T。因此有：

下面如法炮制，通過一階泰勒展開，利用var（gT（b0））求解：

由于已經(jīng)在式（2.121）中求出，因此只需把它代入式（2.123）就可得到：

兩邊同時(shí)求方差得到：

上式中的第二個(gè)等式仍然利用了var（gT（b0））=S/T這一結(jié)果。式（2.125）表明，其實(shí)是var（gT（b0））乘以某個(gè)系數(shù)矩陣得到的，這個(gè)系數(shù)矩陣是單位陣I減去d（ad）?1a。從直覺上說，gT在比gT在b=b0時(shí)的方差var（gT（b0））要小。這是因?yàn)樵贕MM估計(jì)時(shí)用到了樣本矩gT的p個(gè)線性組合，并令它們等于零——=0——從而求出的的過程中，這些約束條件“消耗”掉了樣本矩的一些變化，導(dǎo)致。

無?論是求解，式（2.119）和式（2.123）中的一階泰勒展開操作雖然非常“熱鬧”，但它們其實(shí)都僅用了統(tǒng)計(jì)學(xué)中的delta方法（delta method）。因此，雖然公式看似復(fù)雜，但是它們實(shí)質(zhì)上只是利用了樣本均值的方差（S/T）和delta方法而已！就是這么簡(jiǎn)單。有了，就可以得到樣本矩的漸近分布式（2.116）。

下面回到GMM關(guān)注的問題：檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｈ绻僭O(shè)成立，那么樣本矩聯(lián)合起來不應(yīng)該顯著地偏離零。這可以通過構(gòu)建如下的χ2-統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)：

將式（2.125）中的表達(dá)式代入式（2.126）最終得到：

其中χ2-統(tǒng)計(jì)量的自由度是用矩的個(gè)數(shù)減去參數(shù)的個(gè)數(shù)，即n-p，這是因?yàn)樵谟?jì)算的時(shí)候用掉了p個(gè)自由度。同時(shí)，這也意味著不是滿秩的，因此式（2.127）中對(duì)其求逆實(shí)際上是在計(jì)算它的偽逆矩陣（pseudo-inverse）。

總結(jié)一下本節(jié)。以上用了大量的文字和推導(dǎo)把背后的數(shù)學(xué)含義呈現(xiàn)給讀者，是希望這個(gè)過程能幫助各位加深對(duì)GMM的理解。站在數(shù)學(xué)符號(hào)的角度來說，雖然這些公式看上去很復(fù)雜（又是轉(zhuǎn)置、又是求逆），但當(dāng)使用GMM時(shí)，只需提供它需要的矩陣a、樣本矩條件gT及矩陣d和S，剩下的“無腦”交給GMM就可以計(jì)算出各種想要的統(tǒng)計(jì)量并進(jìn)行檢驗(yàn)，非常方便。如今，各種編程語言的統(tǒng)計(jì)包更是能夠方面地實(shí)施GMM。

2.7.4　有效性

2.7.2節(jié)曾給出了GMM估計(jì)量如下：

其中a是p×n矩陣，每一行都代表樣本矩的某個(gè)線性組合。本節(jié)關(guān)心的問題是，如何選取矩陣a？回答這個(gè)問題應(yīng)從業(yè)務(wù)和統(tǒng)計(jì)兩方面思考。從金融學(xué)原理出發(fā)，尤其是針對(duì)資產(chǎn)定價(jià)問題，可以選擇一些業(yè)務(wù)含義最重要的矩，讓它們或它們的線性組合等于零。另外，單從統(tǒng)計(jì)上說，Hansen（1982）給出了一個(gè)特殊的a，它能確保得到的GMM估計(jì)量是有效的（efficient GMM estimator），即在給定的樣本矩gT下，該特殊的a使得最小。這個(gè)特殊的a為：

a=d′S?1　（2.128）

這個(gè)a到底有沒有什么更直觀的含義？別急，先來驗(yàn)證一下a的階數(shù)。由d的定義式（2.120）可知，它是一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，且在計(jì)算時(shí)遵循分子布局。由此可知，d的階數(shù)是n×p，而d的轉(zhuǎn)置d′就是p×n矩陣。事實(shí)上，d′同樣也是一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，只不過這次轉(zhuǎn)置運(yùn)算出現(xiàn)在分子上，即。它的運(yùn)算則遵循的是分母布局（denominator layout）或黑塞布局（Hessian formulation），通常表示求梯度（gradient）。此外，由S的定義式（2.118）可知它是n階矩陣。因此由a=d′S?1可知a的階數(shù)確實(shí)是p×n。

下面就來看看a=d′S?1的含義。為了解釋它，就不得不提GMM估計(jì)量的另一個(gè)表達(dá)式：

式中W是半正定權(quán)重矩陣（weighting matrix）。式（2.129）的含義是，在過度識(shí)別問題中，既然無法讓所有的樣本矩gT都等于零，那么就讓這n個(gè)gT的范數(shù)的加權(quán)之和盡可能地接近零，以此來確定。正如可以在式（2.113）中隨意選擇矩陣a一樣，在式（2.129）中可以隨意選擇權(quán)重矩陣W。然而，從估計(jì)量的有效性來說，最優(yōu)的權(quán)重矩陣滿足W=S?1。這從統(tǒng)計(jì)上非常好理解：對(duì)于一組矩gT，人們希望它們（非負(fù)）加權(quán)之和最接近零。使用W=S?1即S的逆矩陣（別忘了S/T是var（gT（b0）））相當(dāng)于給誤差大的矩更低的權(quán)重、給誤差小的矩更高的權(quán)重。換句話說，人們更愿意相信那些誤差小的矩并使用它們來得到盡可能準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)最低，這也就是“有效”的含義。將W=S?1代入式（2.129）并求其一階條件有：

怎么樣，看著眼熟不？式（2.130）中括號(hào)里的第一項(xiàng)正是d的轉(zhuǎn)置d′，第二項(xiàng)是S?1。這兩項(xiàng)放一起d′S?1正是特殊的a的表達(dá)式（2.128）。由此也可以推導(dǎo)出式（2.113）和式（2.129）這兩種GMM估計(jì)量表達(dá)式的關(guān)系：

GMM估計(jì)量式（2.129），令

上述推導(dǎo)說明這兩種GMM估計(jì)量表達(dá)式是等價(jià)的。無論如何選取權(quán)重矩陣W，都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的a=d′W矩陣。當(dāng)矩陣a或權(quán)重矩陣W取統(tǒng)計(jì)上最優(yōu)時(shí)，、以及χ2-統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式均可以大大化簡(jiǎn)。Hansen（1982）給出了它們的形式：

需要強(qiáng)調(diào)的是，上述簡(jiǎn)化后的表達(dá)式只有當(dāng)a=d′S?1或W=S?1時(shí)才成立。如果a或W取別的值，則需使用2.7.3節(jié)中相應(yīng)的公式。很多關(guān)于GMM的資料中默認(rèn)W=S?1，并給出了這些統(tǒng)計(jì)量的簡(jiǎn)化形式，在使用時(shí)應(yīng)搞清楚前提條件。

在實(shí)際估計(jì)中，一方面必須先有才能估計(jì)S，并計(jì)算W=S?1（或最優(yōu)的a）；但另一方面只有使用S?1才能得到有效估計(jì)。這似乎又是一個(gè)“雞生蛋、蛋生雞”的問題，在實(shí)際中往往采用兩階段法：（1）第一階段取W=I單位陣，估計(jì)出；（2）第二階段使用上述估計(jì)S，令W=S?1進(jìn)行再一次估計(jì)得到新的。當(dāng)然，如果愿意，使用者也可以把上面的第二階段迭代多次，得到最終的。以上就完成了關(guān)于GMM的全部介紹。

2.7.5　不應(yīng)成為黑箱

GMM如此強(qiáng)大，再加上現(xiàn)在各種編程語言（R、Stata等）都能方便地計(jì)算，這種便捷性似乎把人們都慣壞了。人們習(xí)慣于把問題描述成矩條件后一股腦塞進(jìn)GMM并僅從統(tǒng)計(jì)的角度選擇W=S?1得到有效估計(jì)。這么做十分危險(xiǎn)。GMM的強(qiáng)大之處在于它不僅僅是一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)工具能用來做檢驗(yàn)，更重要的是它足夠靈活從而可以讓人們研究真正關(guān)心的經(jīng)濟(jì)學(xué)或金融學(xué)問題。這種靈活性體現(xiàn)為可以從先驗(yàn)出發(fā)去定義最適合待研究問題的矩陣a（或W），而不是無條件地選擇W=S?1。

以2.7.2節(jié)中資產(chǎn)定價(jià)的例子來說，它有4個(gè)矩和2個(gè)參數(shù)，待檢驗(yàn)的模型是CCAPM。從經(jīng)濟(jì)學(xué)業(yè)務(wù)出發(fā)可以選擇如下的：

在選擇矩陣a時(shí)，令市場(chǎng)超額收益和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)完美滿足兩個(gè)樣本矩條件，并由此進(jìn)行CCAPM的參數(shù)估計(jì)，求出兩個(gè)參數(shù)。同時(shí)，使用另外兩個(gè)資產(chǎn)的超額收益來檢驗(yàn)CCAPM。由GMM框架可知，最終的χ2-統(tǒng)計(jì)量的自由度為2（因?yàn)橐还?個(gè)資產(chǎn)，2個(gè)被用來估計(jì)參數(shù)），因此實(shí)際上的檢驗(yàn)正是HML和SMB兩個(gè)因子在CCAPM下的定價(jià)誤差聯(lián)合起來是否顯著偏離零，從而判斷接受或拒絕CCAPM。這個(gè)例子說明，從金融學(xué)原理出發(fā)選擇合適的a或W能夠回答最重要的問題。GMM的強(qiáng)大之處正在于此。

純從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來說，選擇W=S?1確實(shí)能夠得到有效估計(jì)量。但不要忘記，這個(gè)有效性是以給定的樣本矩為前提的——如果換了或者添加了更多的矩，則參數(shù)的有效估計(jì)量也會(huì)發(fā)生變化。在金融市場(chǎng)中，有無數(shù)的資產(chǎn)，包括股票、債券、外匯、商品等，還有無數(shù)的投資組合，這些資產(chǎn)可以構(gòu)成無數(shù)的矩。如果一味地追求有效性，則應(yīng)把這成千上萬資產(chǎn)的矩都塞進(jìn)GMM。但顯然，從業(yè)務(wù)的角度來說這么做毫無意義。在研究資產(chǎn)定價(jià)的時(shí)候，應(yīng)該使用業(yè)務(wù)含義最重要的資產(chǎn)，并用它們?nèi)z驗(yàn)定價(jià)模型。毫無疑問，GMM非常強(qiáng)大，但在資產(chǎn)定價(jià)的研究中不應(yīng)追求使用GMM進(jìn)行一個(gè)僅在統(tǒng)計(jì)上正式但模型卻缺乏含義的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。GMM的強(qiáng)大在于它讓人們從經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)原理出發(fā)，去找尋最合理的模型。不要讓GMM成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的黑箱。

[1]Lars Peter Hansen在提出GMM之后又對(duì)其進(jìn)行了一系列必要的擴(kuò)展，包括工具變量選擇（Hansen 1985）、連續(xù)時(shí)間模型（Hansen and Scheinkman 1995）、其他GMM估計(jì)量（Hansen et al.1996）以及非最優(yōu)權(quán)重矩陣下的GMM（Hansen and Jagannathan 1997）等。Hansen也因?yàn)檫@一系列突出貢獻(xiàn)，于2013年和Eugene Fama和Robert Shiller一起分享諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

[2]關(guān)于這個(gè)式子的論述，詳見公眾號(hào)“川總寫量化”的文章《理解資產(chǎn)價(jià)格》以及本書附錄A。

[3]如果樣本矩的個(gè)數(shù)n等于參數(shù)個(gè)數(shù)p，則不存在過度識(shí)別問題，可以令所有矩都等于零從而求出全部p個(gè)參數(shù)。