第四章
芝諾悖論和無窮之謎

第一節
芝諾悖論和歸于不可能的證明

芝諾（Zeno of Elea，公元前490—前430年），愛利亞（如今叫“維利亞”[Velia]，在意大利南部）學派的領袖，是該學派創始人巴門尼德（Parmenides）的學生和朋友，后者年長他25歲。據說芝諾著有一本關于悖論的著作，其中討論了40個悖論，僅有10個留下來，其中四個還有名稱。他用這些悖論力圖證明巴門尼德的學說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”和“靜止的存在”才是惟一真實的；運動只是假象；假若我們承認運動、變易和雜多，就會導致矛盾和荒謬（“悖論”）；現象和實在是截然不同的兩個世界。下面討論他論證運動不可能的四個論證，史稱“芝諾悖論”。^[1]

1．二分法（Dichotomy）

假設你要達到某個距離的目標。在你穿過這個距離的全部、達到該目標之前，你必須先穿過這個距離的一半；此前，你又必須穿過這一半的一半；此前，你又必須穿過這一半的一半的一半；如此遞推，以至無窮。更具體地說，假如你要達到的目標是一米遠的終點。為了達到那個位置，你必須先穿過1/2米，1/4米，1/8米，1/16米，如此等等，以至無窮。由于你不可能在有限時間內越過無窮多個點，你甚至無法開始運動，更不可能達到運動的目標。

2．阿基里斯（Achilles）

奧林匹克亞長跑冠軍阿基里斯與烏龜賽跑。烏龜先爬行一段距離，比如說1米。在阿基里斯追上烏龜之前，他必須先達到烏龜的出發點。而在這段時間內，烏龜又爬行了一段距離，比如說10厘米。阿基里斯又要趕上這段距離，而此時間內烏龜又爬行了一段距離，比如說1厘米。于是，阿基里斯距烏龜越來越近，但永遠不可能真正追上它。

3．飛矢不動（Arrow）

時間劃分為不同的瞬間。在每一個瞬間，任何事物都占據一個與它自身等同的空間，即是說，它都處在它所處的地方。空間或處所并不移動。因此，如果飛矢在任何一個特定瞬間都占據一個與它自身等同的空間，則飛矢是靜止不動的。

4．運動場（Stadium）

假設有三列物體A、B、C,A列靜止不動，B列和C列以相同的速度朝相反方向運動，如下圖所示：

當B₁達到A₄位置時，C₁則達到了A₁的位置。B₁越過四個C的時間等于越過兩個A的時間。因此，一倍的時間等于一半。

吳國盛認為，亞里士多德的上面轉述過于沒有深度，難道芝諾連相對于靜止物體的運動與相對于運動物體的運動不相同這一點都不懂嗎？比較合乎情理的解釋是，芝諾想通過三列物體在離散的時空結構中的運動揭示運動是不可能的，要害在時空的離散結構上。^[2]他給出了如下解釋：

假定在時刻1時，三列物體排列如下圖所示，其中每個物體占據一個空間單元。

過一個時間單元后是時刻2，再后是時刻3，如此遞推。在時刻2的排列情況是：

在時刻3的排列情況是：

A₁, A₂, A₃, A₄

B₄, B₃, B₂, B₁

C₁, C₂, C₃, C₄

芝諾的意思是說，在時刻3時，僅僅過了兩個時間單元，B與C兩列物體之間卻有四個空間單元的位移；在時刻2時，僅僅過了一個時間單元，B與C卻有2個空間單元的位移。那么，對應于1個空間單元的位移的時刻是什么呢，也就是在什么時刻出現下面的排列呢？

對這個問題無法回答，所以在時空的離散結構中談論運動必然要出現一個時間單元等于兩個時間單元的問題，也就是芝諾所說的“一倍的時間等于一半的時間”。這當然是荒謬的。

希臘數學史家赫斯（Thomas L. Heath）認為，這四個悖論剛好形成一個非常有趣且有系統的對稱性。第一個和第四個是關于有限空間的運動，而第二和第三個的運動長度是不定的。第一個和第三個的運動個體只有一個，第二和第四則比較兩個物體的運動，說明了相對運動與絕對運動是同樣不可能的。第一個和第二個悖論假設了空間的連續性，但未假設時間是否連續；第三個和第四個假設了時間的連續性，但未假設空間是否連續。也有這樣的說法：以上四個悖論可以分為兩組，前兩個假定時空是連續的，后兩個假定時空是離散的，每組中的第一個論證絕對運動不可能，第二個論證相對運動不可能。

這里有必要強調兩點：（1）不要用常識和直觀去反駁芝諾悖論。作為哲學家，芝諾肯定是聰明人，他不會否認感覺層面的運動。他所詫異的是：像運動這樣神奇的事情是如何發生的？誠如恩格斯所言，芝諾悖論并不是在描述或否認運動的現象和結果，而是要說明和刻畫運動如何可能的原因，即如何在理智中、在思維中、在理論中去理解、刻畫、把握運動！（2）芝諾悖論涉及一個更困難的問題：我們如何在思維中去理解和把握無窮？芝諾本人否認無窮數列和無窮量的真實性。他認為，如果你能表明某個東西涉及無窮，你就可以證明該東西不存在。請注意上面“二分法”論證中關鍵的一步：“你不可能在有限的時間內越過無窮多個點”。

5．一組否認多的悖論

如上所述的一組運動悖論所攻擊的是常識信念，即運動是真實的。既然運動是某種類型的多，如涉及位置的變動，與位置變動伴隨的是時間方面的多，所以，“運動是不可能的并且是虛幻的”這一結論也是對運動所導致的時空方面的多的否定。此外，芝諾還著有一篇論文，其中提供了一組直接否認多的論證。芝諾自己談到，

我這個作品實際上是為巴門尼德的論證辯護，反對那些試圖取笑他的論證的人，這些人試圖從他那個“一存在”的前提推導出許多謬誤和矛盾。因此，這篇作品是對那些肯定多的人的一個駁斥。它有意把他們的攻擊還置他們自己，旨在通過徹底的考察，揭示從它們那個“多存在”的前提推導出來的結論比假定“一存在”更加可笑。^[3]

6．相似和不相似

柏拉圖在《巴門尼德篇》中談到，芝諾論證了多的假定——即存在許多事物——將導致一個矛盾。他引用芝諾的原話：“假定事物是多，那么它們必定既相似又不相似。但這是不可能的，因為不相似的事物不會相似，相似的事物也不會不相似。”^[4]芝諾的意思是：考慮許多的事物，例如許多人和許多山。這些事物有共同的屬性：是重的。但是，如果它們全都具有這一屬性，則它們是同一類的事物，因此就不是多，而是一。通過這樣的推理，芝諾相信他已經證明多不是多而是一，這是一個矛盾。所以，不存在“多”，只有“一”，恰如巴門尼德所說的那樣。

柏拉圖立刻反駁說，芝諾在這里犯有歧義謬誤。一個事物可以在某個方面與某個另外的事物相似，但在另一個不同方面卻與后者不相似。你與其他事物共有一個屬性，并不會使你等同于另一個事物。再次考慮人和山的例子。人在“是重的”這一點上類似于山，但在“是有智能的”這一點上卻區別于山。于是，它們在“是山”這一點上不同：山是山，但人不是山。如柏拉圖所言，當芝諾試圖引出結論“同一個事物既是多又是一”時，我們卻應該說：他正在證明的是某物既是多又是一（在不同的方面），而不是一是多或者多是一。所以，這里沒有矛盾，該悖論就這樣被柏拉圖消解了。

7．有限制的與無限制的

這個悖論也叫做“稠密性悖論”。假設存在多個事物，而不是如巴門尼德所言，只存在一個事物。于是，那些事物加在一起將是一個確定的或固定的量，也就是說，將是“有限制的”（limited）。但是，如果存在多個事物，比如兩個，那么它們必定是不同的。為了確保它們是不同的，必須有第三個事物把它們區隔開來。于是，存在三個事物。……如此遞推下去，將得到這樣的結論：事物是稠密的，沒有一個確定的或固定的量，故它們是“無限制的”（unlimited）。而這是一個矛盾，因為多個事物不可能既是有限的又是無限的。因此，不存在“多”：只存在惟一一個事物，沒有多個事物。

通常認為，芝諾的上述論證中有一個成問題的假定：為了確保兩個事物是不同的，必須有第三個事物把它們區隔開來。實際上，芝諾最多能夠說：兩個在空間上區隔開來的物理對象之間，必定存在一個處于它們中間的位置，因為空間是稠密的。但芝諾卻錯誤地斷言：在這兩個事物之間有第三個物理對象。在某個時間內，兩個對象之不同可以僅僅在于：其中一個具有某個屬性，而另一個不具有。

8．大和小

巴門尼德反對事物有大小。芝諾對此提供了論證，但論證的細節不詳，下面是后世學者根據有關文獻所做的推測性重構。假設存在多個事物，而不是如巴門尼德所言，只存在一個事物。那么，組成“多”的每一個部分必定既如此之小以至沒有大小，又如此之大以至趨于無窮。具體推理如下：如果存在多的話，它必定由本身不再是多的部分構成。而本身不再是多的事物不能有大小，否則它們就是可以再劃分的，因而本身就是多。把一個沒有大小的物體加給另一個物體，就不會有大小的增加。如果把成千個沒有大小的物體放在一起，也不會增加什么東西，因為沒有大小的東西與“無”（nothing）并無不同，它們就是“無”。因此，如果一個事物是沒有大小的話，則可以推出無物存在。既然有事物存在，構成原來的“多”的各部分本身就是有大小的，而這些部分又有各自的子部分，后者也有大小。如此遞推，以至無窮。于是，由這些子部分所構成的那些部分就有無窮多個有大小的部分，它們是如此之大，以至大到無窮。

一般認為，在芝諾的上述推理中有很多錯誤。（1）他一開始就說錯了：如果存在多的話，它必定由本身不再是多的部分構成。一所大學就是這種說法的一個反例。大學是由學生組成的多，但這不排除學生本身是多的可能性。什么是整體、什么是多，取決于我們的視角。當我們把一所大學視為由學生組成的“多”時，我們把學生看作沒有部分的整體。但是，對于另外的目的而言，學生是由細胞構成的“多”。芝諾弄不清楚這種相對性概念，因而在整體—部分推理上犯錯。當代評論者弄清楚這一點之后，在關于多元論和一元論的形而上學爭論中，不再嚴肅考慮芝諾的有關論斷。

（2）芝諾錯誤地認為，“多”的每一個部分必定有非零的大小。1901年，法國數學家勒貝格（Henri Lebesgue,1875—1941）表明了定義測量的適當辦法：即使任何點的單元集的測量值為零，一條線段卻有非零的測量值。線段[a, b]的測量值是b-a，帶A邊的立方體的測量值是a₃。勒貝格的理論開啟了現行的測度理論，并且也開啟了有關長度、容積、時間、質量、電壓、亮度和其他連續的量值的測度理論。

下面有一個與芝諾關于“大和小”論證類似的論證，請讀者評價該論證是否可靠：該論證的前提是否都是真的，其推理步驟是否都是有效的。“如果在有限長的線段L上有無窮多個點的話，那么，如果這些點都有長度，則L將無限長；如果這些點都沒有長度，則L將沒有長度。而一個有限長的線段不可能無限長，也不可能沒有長度。因此，在有限長的線段上不可能有無窮多個點。”^[5]

9．無限可分性

這是芝諾所提出的關于“多”的悖論中最具挑戰性的一個，亦稱“關于部分和整體的悖論”。設想把一個對象劃分為兩個不相交的部分，然后類似地把這些部分再劃分為部分，直至該劃分過程完成為止。假定由此導致的理論上的劃分是“窮竭的”，或者會走到一個終點，并且在那個終點我們得到芝諾所謂的“元素”。關于這些元素如何組裝成那個對象，存在三種可能性：（1）那些元素是無，所以那整個對象只是一種表象，而這是荒謬的；（2）那些元素是某物，但其大小為零。于是，原來那個對象是由其大小為零的元素構成的。把無窮多個零相加，所得到的和仍然是零。所以，原來那個對象的大小為零，而這是荒謬的；（3）那些元素是某物，但其大小不為零。這樣一來，它們就可以再被劃分，劃分的過程將無法結束，而這與我們先前假定的該過程已經完結相矛盾。這就是說，上面三種可能性都導致矛盾，所以，對象不能被劃分為多個部分。

一般認為，在回答芝諾的這個挑戰前，我們應該弄清楚他所分割的東西究竟是具體物還是抽象物。如果他把一根物質性的棍子分割成它的組成部分，我們將會達到終極性的成份，如夸克和電子，后者本身不能再分割。這些東西有大小，其大小為零。但是，由此得出整根棍子的大小也為零卻不正確。所以，芝諾在這里弄錯了。如果芝諾是在分割抽象的路徑或軌跡，這將會導致更具挑戰性的悖論。如果是這樣，上面的選擇（2）就是我們所要思考的，我們在談論多個零的相加。我們假定被分割的對象是一維的，如一條路徑。在這種情況下，該對象被視為與其元素是連續的，后者被排列成一個有序的線性連續統，此時我們應該使用勒貝格的測度理論去發現該對象的大小。點元素的大小（長度）是零，但大小為零的所有元素之總體的大小卻非零。一個對象的大小是由指派給它的兩個端點的坐標數的差所決定的。一個沿直線延伸的對象，其一個端點在該直線的1米處開始，另一端點在該直線的3米處結束，則該對象的大小是2米，而不是0米。所以，這里沒有組合問題，芝諾論證中的一個關鍵步驟不成立。

10．反對場所的論證

巴門尼德提出過一個反對場地的論證。常識區別了物體和它占據的空間。畢竟，一個物體可以從自己的場地挪開，另一個物體可以占據這個場地。實際上，物體只是離開了自己的地方而留下一個空的場地。由于物體是所是，而場地是所非，故巴門尼德對非存在的反駁也駁倒了場地存在的斷言。對巴門尼德的一個回擊是：場地并非只是無。畜欄里的各個小隔間是場地，但它們的存在有賴于畜欄之建造，因而它們只是正在成為場地。芝諾對此反駁說：給定一個對象，我們可以假定，關于“什么是它的場地？”這個問題，有單獨一個正確的回答。因為每一個存在的事物都有場地，而場地本身也是存在的，因此它必定也有一個場地，由此遞推，以至無窮。由此導致太多的場地，而這是一個矛盾。^[6]

對芝諾的這個論證的通常回答是否認場地有場地，并且指出場地概念是相對于參考框架的。不過，在芝諾所處的古希臘，場地也有其自身的場地卻被當作常識。所以，他的論證是基于錯誤的假定之上。

11．歸于不可能的證明：歸謬法

由上可知，在否認“運動”和“多”的哲學論證中，芝諾使用了一種歸于不可能的論證方法，即歸謬法。本來要證明某個論斷為假，但以退為進，先假設那個論斷為真，逐步推出荒謬的命題或自相矛盾的命題，由此得出結論：所假設的那個論斷不能為真，必定為假。例如，芝諾論證說，如果“存在”是多，它必定既是無限大又是無限小，其數量必定既是有限的又是無限的，它一定存在于空間之中，而此空間又必定存在于彼空間中，依此類推，以至無窮。他認為這些都是不可能的，所以“存在”必定是單一的。

順便提及，與芝諾所使用的歸謬法類似的是反證法。本來要證明某個論斷為真，但以退為進，先假設那個論斷為假，逐步推出明顯為假的命題或自相矛盾的命題，由此得出結論：所假設的那個論斷不能為假，必定為真。

運用歸謬法和反證法，可以解許多邏輯智力思考題。例如：

題1：在一個遙遠的海島上，有一些居民總是說真話，有一些居民總是說假話，他們分別屬于說真話者部落和說假話者部落。沒有任何其他外在的標記把這兩個部落的人區別開來。某一天，你來到這個島上，遇到三個人，分別是艾麗絲、保羅和查理。你先問艾麗絲，她究竟是說真話的還是說假話的。她用部落語言回答，你沒聽懂。然后你問保羅，艾麗絲說的是什么。保羅說“艾麗絲說她說假話”。你又問保羅關于查理的情況，保羅說“查理說假話”。最后，你問查理，他說“艾麗絲說假話”。你能推出這三個人各自屬于哪個部落嗎？

解析：如果艾麗絲是說真話的人，她會說自己說真話；如果她是說假話的人，她也會說自己說真話。因此，無論艾麗絲是說真話的還是說假話的，當被問及自己是說真話還是說假話時，她都不可能說自己說假話。所以，保羅的話“艾麗絲說她說假話”肯定是一句假話，故保羅是說假話者，所以，他的話“查理說假話”是一句假話，查理是說真話的，因此，艾麗絲說假話。于是，這三個人中，只有查理說真話，艾麗絲和保羅都是說假話的。

題2:A、B和C由于D被謀殺而受到傳訊，他們中肯定有一人是謀殺者。現場證據表明，僅有一人謀殺了D。警察錄得供詞如下：

A:（1）我不是律師；（2）我沒有殺D。

B:（3）我是個律師；（4）我沒有殺D。

C:（5）我不是律師；（6）有一個律師殺了D。

警察最后發現：（7）上述六條供詞只有兩條是實話；（8）三人中只有一個不是律師。請邏輯地推出A、B、C的身份，以及誰是謀殺者。

解答：如果（2）和（4）都是真的，由題干，則C殺了D；由（7），則（5）和（6）都假，即C是律師，且沒有律師謀殺D，故C沒有殺D。矛盾。所以，（2）和（4）不能都是真的，A和B中至少有一人是殺人犯。

假設（5）真，則C不是律師，由（8），則A和B都是律師，已知A和B中至少有一個是殺人犯，則（6）為真。由（7），則（1）—（4）為假，則B不是律師，則B和C都不是律師，與（8）矛盾。所以，（5）必假，C是律師。

假設（1）為真，則A不是律師；由（8）,B和C是律師，故（3）為真；由（7），則（2）、（4）、（5）、（6）為假，A和B殺D，則（6）真。于是有三句真話，與（7）矛盾。所以，（1）必為假，A是律師。所以，B不是律師，（3）為假。已知（2）和（4）中至少有一個假，則（6）必真，則B未謀殺D，則（4）是真的，（2）是假的，A謀殺了D。

結論：A和C是律師，B不是律師，A謀殺了D。

題3:A、B、C、D、E、F、G按比賽結果的名次排列情況如下（其中沒有相同名次）：

（1）E得第二名或第三名。

（2）C沒有比E高四個名次。

（3）A比B低。

（4）B不比G低兩個名次。

（5）B不是第一名。

（6）D沒有比E低三個名次。

（7）A不比F高六個名次。

上面7個句子中只有兩句是真實的，確定是哪兩句，并確定7位參賽者的名次。

解答：（5）和（6）兩句是真話，排名依次為：1, A,2, C,3, G,4, D,5, B,6, E,7, F。推理如下：

假設（1）和（2）是真實的，則（3）（4）（5）（6）（7）是假的，即：E是第二名或第三名，C不比E高四個名次，A比B高，B比G低兩個名次，B是第一名，D比E低三個名次，A比F高六個名次。由此可知，（3）和（5）沖突，（4）和（5）沖突，（5）和（7）沖突。結論：（5）是真實的，（1）和（2）至多一個是真實的，（6）可能是真實的。

假設（1）和（5）是真實的，則（2）（3）（4）（6）（7）是假的，即：E是第二名或第三名，C比E高四個名次，A比B高，B比G低兩個名次，B不是第一名，D比E低三個名次，A比F高六個名次，（1）和（2）沖突。結論：（1）不是真實的。

假設（2）和（5）是真實的，則（1）（3）（4）（6）（7）是假的，即：E沒有得第二名或第三名，C沒有比E高四個名次，A比B高，B比G低兩個名次，B不是第一名，D比E低三個名次，A比F高六個名次，（2）與（1）和（6）沖突。結論：（2）不是真實的， （6）很可能是真實的。

假設（3）和（5）是真實的，則（1）（2）（4）（6）（7）是假的，即：E沒有得第二名或第三名，C比E高四個名次，A比B低，B比G低兩個名次，B不是第一名，D比E低三個名次，A比F高六個名次，（2）和（6）沖突。結論：（3）不是真實的，（6）才是真實的。

最后，假設（5）和（6）是真實的，則（1）（2）（3）（4）（7）是假的，即：E沒有得第二名或第三名，C比E高四個名次，A比B高B比G低兩個名次，B不是第一名，D沒有比E低三個名次，A比F高六個名次。

題4：甲（男）、乙（男）、丙（女）、丁（女）、戊（女）五個人有親戚關系，其中凡有一個以上兄弟姐妹并且有一個以上兒女的人總說真話；凡只有一個以上兄弟姐妹或只有一個以上兒女的人，所說的話真假交替；凡沒有兄弟姐妹，也沒有兒女的人總說假話。他們各說了以下的話：

甲：丙是我的妻子，乙是我的兒子，戊是我的姑姑。

乙：丁是我的姐妹，戊是我的母親，戊是甲的姐妹。

丙：我沒有兄弟姐妹，甲是我的兒子，甲有一個兒子。

丁：我沒有兒女，丙是我的姐妹，甲是我的兄弟。

戊：甲是我的侄子，丁是我的侄女，丙是我的女兒。

根據題干給定的條件，能推出下面哪一個選項是真的？

A．甲說的都是真話，丙是他的妻子。

B．乙說的真假交替，他的母親是戊。

C．丁說的都是假話，她是甲的姐妹。

D．戊說的都是假話，丙是她的女兒。

E．丙說的假真交替，她是甲的母親。

解答^[7]：首先說明：以下推導中這樣理解“一個以上”和“兄弟姐妹”。

一個以上：一個或多個。

兄弟姐妹：必須是親兄弟姐妹，不含堂兄弟姐妹或表兄弟姐妹。

使用正向推理，需要事先有所假設，然后再根據假設和題目的已知條件進行推導。如果出現矛盾，則假設不成立；如果沒有出現任何矛盾，則說明這是一組可能的答案。最后再看選項，從中挑選。

從甲說的話入手。甲說的話只有三種可能：全是真話，全是假話，真假交替。

（1）如果甲說的全是真話。

由題意，甲有一個以上兄弟姐妹并且有一個以上兒女。同時獲得如下信息：丙是甲的妻子，乙是甲的兒子，戊是甲的姑姑。下面分析其他人，不妨從與甲有明顯親戚關系的丙和乙開始。

先看丙所說的話。根據甲提供的信息，可知丙的第二句話是假話。又知丙有兒子（乙），那么丙所說的話只能是真假交替。也就是說：丙的第一句話和第三句話都是真話，即她沒有兄弟姐妹且甲有一個兒子。這里和已有的信息沒有任何矛盾。

再看乙所說的話。顯然他說的第二句話和第三句話都是假話。那么根據題目的規定，乙一定沒有兄弟姐妹，也沒有兒女。并且可推出他說的第一句話也是假的，即：丁不是乙的姐妹。這里也沒有任何矛盾出現。

下邊看丁所說的話。根據丙提供的信息可知丁的第二句話是假話。而且可以肯定：她所說的第一句話和第三句話要么都是真話，要么都是假話。如果都是假話，那么說明丁有兒女，按照題目規定，丁不可能說的全是假話，這里出現矛盾。如果都是真話，也即：丁沒有子女，而且甲是丁的兄弟。這樣與題目要求和已經得到的信息均不矛盾。所以，丁說的話是真假交替的。

最后看戊所說的話。根據甲和丁提供的信息，可知戊的第一句話和第二句話都是真話，那么第三句話也必然是真話。這樣又得到：戊既有子女又有兄弟姐妹，同時丙是戊的女兒。雖然按現代觀點，甲和丙屬于近親結婚，不是太可能的事情；但是這里如果僅就分析五個人的親戚關系而言，并沒有矛盾。

所以，得到結論如下：甲說的都是真話，乙說的都是假話，丙說的真假交替，丁說的真假交替，戊說的都是真話。而且五人關系是：戊有獨生女兒丙，侄子甲和侄女丁；甲和丁是親的兄弟姐妹，甲和丙是夫妻，有獨生兒子乙，乙沒有兒女。

（2）如果甲說的全是假話。

由題意，甲既沒有兄弟姐妹也沒有兒女。同時獲得如下信息：丙不是甲的妻子，乙不是甲的兒子，戊也不是甲的姑姑。

看丙所說的話。易見她說的第三句話是假話。那么她說的第一句話也一定是假話。這也就是說：丙有兄弟姐妹。根據題目規定，丙不可能說的都是假話，那么第二句話一定是真話，即：甲是丙的兒子。這樣就得到：丙既有兄弟姐妹又有子女。由題目的規定，她必須總說真話。這就出現了矛盾。

所以，開始的假設“甲說的全是假話”是不成立的。

（3）如果甲說的真假交替。

由題意，甲或者只有兄弟姐妹，或者只有兒女，二者必居其一，不可兼得。

如果甲只有兄弟姐妹而沒有兒女。那么，他的第二句話是假話，同時可知第一句話和第三句話是真話。得到如下信息：丙是甲的妻子，乙不是甲的兒子，戊是甲的姑姑。再看丙所說的話，顯然她說的第二句話和第三句話都是假話，那么第一句話也必然是假話。因為丙說的都是假話，由題目規定，丙必然既沒有兄弟姐妹也沒有子女；但同時，因為丙的第一句話是假話，可知丙有兄弟姐妹。這里出現矛盾。

所以，甲不可能只有兄弟姐妹而沒有兒女。

由此推知：甲只有兒女而沒有兄弟姐妹。則甲說的三句話依次為：假話、真話、假話。得到信息：丙不是甲的妻子，乙是甲的兒子，戊不是甲的姑姑。看丁所說的話，第三句話顯然是假話，故第一句話也是假話，即丁有兒女。那么她說的第二句話必為真話，即丙是丁的姐妹。再看丙所說的話，易見第一句話是假話。但是丙有姐妹，故不可能總說假話，這樣她說的第二句話是真話，即甲是丙的兒子。這樣，丙就既有姐妹也有兒女，按題目規定，必須總說真話，這與其第一句話是假話發生矛盾。

所以，甲也不可能只有兒女而沒有兄弟姐妹。

所以，開始的假設“甲說的真假交替”是不成立的。

綜合上述三種情況，知五人關系及說話的真假情形有且只有（1）中分析的那種。據此，得到本題的答案選項是：A。

12．亞里士多德對四個芝諾悖論的解決

亞里士多德在《物理學》中分析了四個芝諾悖論^[8]。關于“二分法”，亞里士多德批評說，芝諾的錯誤在于：“他認為一個事物不可能在有限的時間里通過無限的東西或者分別與無限的東西相接觸。”亞氏區分了兩種“無窮”:“劃分上的無窮”（相當于“潛無窮”）和“極端的無窮”（相當于“實無窮”）。“……時間自身在劃分上也是無限的，所以，穿越無限的時間不是有限的而是無限的時間，與無限的接觸是在數量上無限的而不是有限的瞬間中實現的。”^[9]關于“阿基里斯”，亞氏認為，它與“二分法”依據相同的成問題假定，由此得出錯誤的結論。假如允許阿基里斯通過一個有限的距離，它就可以追上甚至超越烏龜。關于“飛矢不動”，亞氏認為，這個論證的前提是時間的不連續性，若不承認這個前提，其結論也就不再成立。他認為，時間并不是由不可分的“瞬間”（moment）組成的，正如別的任何量都不是由不可分的部分組合成的那樣。關于“運動場”，亞氏認為，芝諾的錯誤在于，他把一個運動物體經過另一運動物體所花的時間看作等同于以相同速度經過相同大小的靜止物體所花的時間，事實上這兩者是不相等的。由于芝諾沒有意識到絕對運動和相對運動之間的區別，才得出錯誤的結論。

如何評價芝諾所提出的各種悖論？這里提請讀者注意著名哲學家懷特海（A. N. Whitehead,1861—1947）的下述說法：“你的書被之后所有的時代批駁，乃是最大的成功……接觸過芝諾哲學的人，沒有一個人不反駁他，然而每個時代的人又認為他是值得反駁的。”^[10]對于芝諾哲學和芝諾悖論之價值，難道還有比這一說法更好的評價嗎？

[1] 作為記載和討論這四個悖論的最早文獻之一，參見亞里士多德：《物理學》，徐開來譯，北京：中國人民大學出版社，2003年，180—181頁。

[2] 參見吳國盛：《芝諾悖論今昔談》,《哲學動態》1992年第12期。

[3] 柏拉圖：《柏拉圖全集》第二卷，王曉朝譯，北京：人民出版社，2002年，758頁。

[4] 同上書，757頁。

[5] 參見陳波：《邏輯學導論》第二版，北京：中國人民大學出版社，2006年，93頁。

[6] 參見亞里士多德：《物理學》,87頁。

[7] 此題是我的《邏輯學導論》（北京：中國人民大學出版社，2003年）中的一道習題（110頁）。若干年前，北京大學數學學院一位女生選修了我開設的通選課《邏輯導論》，用電子郵件發給我對它的解答，我檢查了，認為它是正確的，遂留檔，但未記下她的名字。這里采用了她的解答，但無法注明她的姓名。抱歉并致謝忱！

[8] 參見亞里士多德：《物理學》，第四卷第二章，第六卷第二章和第九章。

[9] 亞里士多德：《物理學》,158頁。譯文有改動。

[10] A. N. Whitehead, Essays in Science and Philosophy, New York: Philosophical Library,1947, p. 114.