第二節 貨幣時間價值

導入案例：

A公司總資產為5000萬元。公司通過一年的運行，獲得凈利潤400萬元。公司的股東們非常關心的問題是，在當前資本市場上一般投資利潤率為10%的情況下，公司取得的這一利潤是否值得嘉獎？

一、時間價值基本命題

時間價值的一般意義是指人們對不同時點上的同一有用性具有不同效用強度感受，從而具有不同的主觀評價。通常表現出典型時間價值經濟內容的是貨幣。因此，人們以貨幣為基礎論述時間價值時，就形成貨幣時間價值的基本命題。對貨幣時間價值基本命題的表述是：

不同時點上的貨幣，其內在價值不同。

在這一命題中，內在價值其實就是與貨幣名義價值相對而言的貨幣真實價值。

基于貨幣時間價值基本命題，我們可以得出如下推論：

不同時點上的貨幣，其名義價值不具有可比性，因而不能對不同時點上的貨幣直接進行初等代數意義的運算。如果人們需要對不同時點的貨幣進行諸如匯總、扣除等的價值計算，就必須首先進行內在價值的折算。這一折算過程就是確定某一時點的貨幣相當于多少另一時點貨幣。這一折算過程，就是把不同時點的貨幣在內在價值的意義上折算到同一時點上。這也是對貨幣進行時間屬性調整。經過這一調整，使得原來具有不同時間屬性因而不能直接計量的貨幣，改變為時間屬性完全一致，從而可以進行代數和意義的內在價值計算。

對貨幣按照內在價值進行的當量內在價值的折算，就是貨幣的時間價值計算。

關于時間價值的認識，理論界并未獲得一致認識。

首先，關于時間價值究竟是指一種價值增加現象還是一種價值減少現象，就未能獲得統一認識。

一些學者認為是指價值的增加現象。通常，這些學者把企業經營活動的利潤解釋為時間價值現象。他們提出如下論斷：如果將一些貨幣埋在地下，使其離開經營活動過程，這些貨幣是絕對不會增值的。所以，貨幣的時間價值其實就是資本在經營活動中的增值，是資本增值的基于時間而言的一種結果。這種觀點將利潤理解為時間價值。

另一種截然相反的觀點是時間價值不過是一種價值減少的現象，它是指某種有價值的東西隨著時間的推移其價值逐漸降低的現象。這種觀點認為一定量貨幣無論其保存在哪里，其所包含的真實價值——內含價值都會隨時間的推移而減少。這種觀點提出如下論斷：利潤并不是一種時間價值。由于利潤只是發生于不同時點的貨幣收付金額，所以利潤必須被時間價值所調整，從而成為時間價值調整的對象。如果將利潤解釋為時間價值的話，就會形成以時間價值調整時間價值的邏輯矛盾。時間價值是調節價值的工具，因而時間價值就決不能是價值。

其次，關于產生時間價值的基礎內容是否僅僅只是貨幣也是一個未定之論。

關于這一問題，現在的主流理論通常將時間價值定義為貨幣的價值量變化現象。由此得出的結論就是僅僅只有貨幣才具有時間價值現象。對此，最早出現的反對聲音是將貨幣這一概念修正為資本，他們認為只有資本才具有時間價值現象。

但如果按照主觀感受理論，則應該是所有具有有用性的物品都具有時間價值問題。因為只要存在有用性這一審美因子，就會給人們帶來基于審美的主觀感受，就會因此而產生審美評價。而基于人們審美的規律性而言，這種審美評價必然將隨著時間的推移而降低。

最后，關于時間價值的性質究竟應該如何理解，仍是一個爭論中的問題。關于時間價值這一現象性質的理解，包括客觀價值論和主觀價值論兩種。

客觀價值論認為，時間價值就是投入經營環境中被作為資本使用的貨幣所產生的增值。這里的增值是獨立于主觀而客觀實在的價值額。而主觀價值論則認為，時間價值不過是對于客觀存在的某種效用的不同主觀評價結果。這里的不同評價結果，以相關主體的主觀感受為其存在基礎。

二、時間價值計算的原理

（一）時間價值計算的技術基礎

時間價值計算的基本原理就是將不同時點的貨幣按照內在價值折算至同一時點上。

在時間價值計算中，涉及以下基本概念。

1．時間數軸

時間價值涉及一個時點至另一個時點的時間過程。以橫坐標來形象地表現這一時間過程，就形成時間數軸概念。在時間數軸上，要將整個時間價值變化過程完整地表達出來。通常，數軸的左端稱為初始點，也稱為現在時點。數軸的右端（理論上可以有右邊的終端，也可以從右邊無限延伸）稱為終結時點，簡稱終點。同時，還要把整個時間價值變化過程等分為若干個時段，并以序號加以標示。時間段落可以有不同的長度。通常，對時段長度的規定是一年。

圖2-4是一個包含五個時段（年）的時間數軸。

確定整個時間價值變化過程的時段數，其關鍵意義在于確定時間價值變化次數。時間價值的變化方式是，按照一定的變化水平（變化率）每一時段變化一次，而變化之后的結果就成為下一時段變化的基礎。所以，時段數的確定，其實是在確定時間價值的變化是一種復利式的變化，進而確定變化時段數其實就是在確定時間價值變化的復利次數。

2．現值計算與終值計算

這是關于時間價值的折算形式的認識。時間價值計算的實質就是將某一時點的貨幣價值折算至另一時點。通常將后一時點的計量貨幣價值折算至前一時點的折算結果稱為現值計算，其結果稱為現值；而將前一時點的貨幣價值折算至后面時點的折算稱為終值計算，其結果稱為終值。在實踐中，將現值計算確定為將現在時點以后的任何時點貨幣價值折算至現在時點的計算；而將終值計算確定為將整個時間過程的最后時點以前的任何時點貨幣價值折算至最終時點的計算。

圖2-5表示將一個現在時點的計量貨幣金額折算至第四時段（年）末時點的終值計算。

圖2-6表示將一個第四時段（年）末時點的計量貨幣金額折算至現在時點的現值計算。

3．時間價值變化率

時間價值變化率是關于時間價值折算的工具。時間價值變化率的實質就是某一時點的貨幣價值同另一時點的貨幣價值，按照單位時間確定的對比比率。通過這一比率的確定，即可將不同時點上的貨幣價值折算為另一時點的貨幣價值，從而實現不同時間貨幣價值的折算。實踐中，通常以利息率來具體表現貨幣時間價值變化率。具體地，將這一指標用于終值計算時稱之為增值率，將其用于現值計算時稱之為折現率。

4．時間價值變化方式

時間價值變化方式是指某一時點的計量貨幣金額再折算到另一時點時，由于時間價值變化率是借用利息率形式來表現的，所以存在一個其變化是按照單利還是按照復利來確定的問題。就實質而言，資本運動的增長變化是以復利形式得以實現的，因而在確定時間價值變化方式時，就據此認定時間價值變化是一個復利的變化過程。這是進行時間價值折算應該遵守的一個原則。

時間價值折算的基本原理可以歸納為某一時點的貨幣計量金額按照時間價值的變化率和復利變化次數，折算至另一時點的當量價值即終值或現值的計算過程。

（二）時間價值計算的對象

時間價值計算的對象就是時間價值變化過程中特定時點上的貨幣。通常，這種收入或支出的貨幣被稱為現金流量。依據貨幣金額的出現頻度，我們將貨幣金額分成兩大類：

（1）在整個時間價值變化過程中只出現一次的貨幣金額；

（2）在整個時間價值變化過程中出現若干次的貨幣金額。

對第二類計量貨幣金額，依據其本身特征，我們又可將其分成規則的計量貨幣金額和不規則的計量貨幣金額兩種。其中，規則的計量貨幣金額通常稱為年金。

計量貨幣金額具有如下特征：

（1）各次計量貨幣金額相等；

（2）各次計量貨幣金額對應地出現于各個時段的固定時點上，從而每次計量貨幣金額的出現時間間隔相同；

（3）每次計量貨幣金額的流動方向一致，或者說各次計量貨幣金額的收或付是相同的。

通常，我們將以下四種形式的年金作為年金的典型具體類別：

（1）普通年金。普通年金是指各次計量貨幣金額對應地出現于各相應時段的最后時點上的年金。所以，普通年金通常也稱為后付年金。

（2）預付年金。預付年金是指各次計量貨幣金額對應地出現于各相應時段的初始時點上的年金。所以，預付年金通常也稱為先付年金。

（3）遞延年金。遞延年金是指時間價值變化過程的前若干時段貨幣計量金額缺損的普通年金，或者說普通年金的貨幣計量金額依次往后遞延若干時段的結果。

（4）永續年金。永續年金是指時間價值變化過程中所包含的時段數無窮大，同時時間價值變化過程的貨幣計量金額出現次數亦無窮大的普通年金。

在系列性的貨幣計量金額中，還有兩種特殊的形式：一種為各次計量貨幣金額構成一個等差級數數列的形式，習慣上將其稱為等差年金；另一種為各次計量貨幣金額表現為等比級數數列的形式，習慣上將其稱為等比年金。

年金的規則特征使得年金形式的時間價值計算具有獨特的規律性。而對于時間價值變化過程出現的不規則系列計量貨幣金額，在進行時間價值計算時，通常將其分別作為一次性計量貨幣金額加以處理。

三、時間價值的計算

（一）一次性貨幣金額的時間價值計算

如前所述，整個時間價值變化過程中只出現一次的貨幣金額，就是所謂一次性貨幣金額。而對一次性貨幣金額所進行的時間價值折算就是一次性貨幣金額的時間價值計算。按照折算的方向不同，一次性計量貨幣金額的時間價值計算包括終值計算和現值計算兩種基本內容。

1．一次性計量貨幣金額的終值計算

這一計算的基本內容就是將時間價值變化過程的某一時點的計量貨幣金額折算至該過程的最終時點，以確定該計量貨幣金額折算之后相當于該過程最終時點的多少金額。而折算過程實質上是確定某一時點的計量貨幣金額按照某一特定時間價值變化率增值，經過若干（時段數）次復利增值后的當量價值結果。

據此，有計算公式如下：

式中：F——終值；

P——現值；

i——時間價值變化率；

n——復利增值次數；

（1+i）n——復利終值系數。其含義為一個單位計量貨幣金額（通常為1元）

按照時間價值變化率i復利增值n次后的當量價值。

【例2-1】在年資本增值率為6%的市場背景下，現在的2000元貨幣，五年后的復利終值應該是多少？

依據前述公式計算如下：

F=2000×（1+6%）5=\1\276.45\1\2（元）

2．一次性計量貨幣金額的現值計算

這一計算的基本內容就是將時間價值變化過程的某一時點的計量貨幣金額折算至該過程的初始時點，以確定該計量貨幣金額折算之后相當于該過程初始時點的多少金額。而折算過程的實質是確定某一時點的計量貨幣金額按照某一特定時間價值變化率折現，經過若干（時段數）次復利折現后的結果。

據此，有計算公式如下：

式中：P——現值；

F——終值；

i——時間價值變化率；

n——復利增值次數；

1/（1+i）n——復利現值系數。其含義為一個單位計量貨幣金額（通常為1元）

按照時間價值變化率i復利折現n次后的當量計量貨幣金額。

【例2-2】第四年年末的50000元，如果在市場資本市場增值率為8%的背景下，折算至現在時點，其折算的現值應該是多少？

依據前述公式計算如下：

P=50000×1/（1+8%）4=3\1\251.49（元）

（二）普通年金的終值與現值計算

依據普通年金的特征，從技術角度而言，普通年金的時間價值計算不過是一次性計量貨幣金額的時間價值計算的若干次重復進行之結果的合計而已。

1．普通年金的終值計算

這一計算的內容就是確定若干數額相等的計量貨幣金額，按照同一增值率和不同的增值次數，折算至過程最終時點的當量價值合計金額。

據此，有普通年金終值的計算公式如下：

式中：FA——年金終值；

A——年金金額；

i——時間價值變化率的增值率；

n——復利增值次數；

{（1+i）n-1}/i——年金終值系數。其含義為分別處于若干個不同時段的單位計量貨幣金額（通常為1元）按照統一的時間價值變化率i和對應不同的復利增值次數復利增值至過程最終時點的當量計量貨幣金額的合計。

【例2-3】設在未來五年中，每年年末有40000元的流量。在市場一般資本增值率為7%的背景下，將這一普通年金折算至第五年年末時點，將相當于一筆數額為多大的貨幣金額？

依據前述公式計算如下：

FA=40000×{[（1+7%）5-1]/7%}=23\1\229.56\1\2（元）

2．普通年金的現值計算

這一計算的內容就是確定若干數額相等的計量貨幣金額，按照同一增值率和不同的增值次數，折算至過程初始時點的當量價值合計金額。

據此，有普通年金現值的計算公式如下：

式中：PA——年金終值；

A——年金金額；

i——時間價值變化率的增值率；

n——復利折現次數；

{1-[（1+i）-n]/i}——年金現值系數。其含義為分別處于若干個不同時段的單位計量貨幣金額（通常為1元）按照統一的時間價值變化率i和對應不同的復利折現次數復利折現至過程初始時點的當量計量貨幣金額的合計。

【例2-4】設在未來六年中，每年年末有25000元的流量。在市場一般資本增值率為8%的背景下，將這一普通年金折算至現在時點，將相當于一筆數額為多大的貨幣金額？

依據前述公式有計算如下：

PA=25000×{1-[（1+8%）-6]/8%}=11\1\271.99\1\2（元）

（三）普通年金終值與現值計算的逆運算

1．償債基金計算

償債基金計算是年金終值計算的逆運算。年金終值計算是已知年金、年金終值系數，求解年金終值的計算。而作為年金終值計算的逆運算，償債基金計算則是已知年金終值、年金終值系數，而求解年金的計算。這里求解的年金，被比擬為償債基金，故稱此種計算為償債基金計算。

由于償債基金計算是年金終值計算的逆運算，故而有計算公式如下：

式中：1/{[（1+i）n-1]/i}——償債基金系數。其含義為在未來的第n期期末時點收入或支出一個單位計量貨幣額。如果在增值率為i的背景下，按照復利的條件將其平分為n份，每一份是多少金額。償債基金系數亦稱為準備率。這就是假設在未來第n期期末時將支付一個單位計量貨幣債務。而在一定的復利增值率條件下，n期每期均等地準備一個金額，這個金額應該是多大，這就是為償債而進行的金額準備。

其余符號含義同前。

【例2-5】設某公司在未來第六年年末擬構建一條生產線。預計屆時該生產線價格為120萬元。為減輕該期間的財務壓力，該公司將于今年起每年年末等額地準備一定數額貨幣，并將這一準備金額置于可以產生9%的增值率的經濟環境中，以使六次準備額及相應的增值部分合計起來正好可以用于支付擬購生產線的價格。求解，這一準備額應該是多少。

依據前述公式計算如下：

A=\1\200000×1/{[（1+9%）6-1]/9%}=15\1\203.73\1\2（元）

2．資本回收計算

資本回收計算是年金現值計算的逆運算。年金現值計算是已知年金、年金現值系數，求解年金現值的計算。而作為年金現值計算的逆運算，資本回收計算則是已知年金現值、年金現值系數，而求解年金的計算。這里求解的年金，被比擬為資本的每期回收額，故稱此種計算為資本回收計算。

由于資本回收計算是年金現值計算的逆運算，故而有計算公式如下：

式中：1/{1-[（1+i）-n]/i}——資本回收系數。其含義為在現在時點存在一個單位計量貨幣額。如果在增值率為i的背景下，以復利增值為背景條件將其本身以及相應的增值等額平分為n份進行回收，則每一份回收是多少金額。資本回收系數亦稱為回收率。這就是假設現在投資一個單位貨幣，而于未來n期每期末對該投資以及增值部分進行等額回收，則求解這一回收金額應該是多大。

其余符號含義同前。

【例2-6】設某公司現有貨幣20萬元，擬投入一個AB投資基金，時間一共是四年。該基金承諾給予這一投資以6%的回報，回報形式是在今后的四年中，每年年末等額地支付20萬元以及相應的增值。求解這一每年的等額回報額是多少？

依據前述公式計算如下：

A =200000×1/{[1-（1+6%）-4]/6%}=5\1\218.298（元）

3．普通年金時間價值計算的折現率和復利期數的推算

普通年金時間價值計算的折現率和復利期數的推算其實也是一種普通年金時間價值計算的逆運算。這種計算是在已知年金、年金終值或年金現值的條件下，求年金的時間價值系數，從而推算出時間價值系數中的折現率（i）或復利期數（n）的推算。顯然，這一計算的關鍵內容是求解年金的時間價值系數。而決定時間價值系數的因素就是增值率（折現率）i和復利期數n。所以，確定了時間價值系數，就可以在已知i的情況下推算出n，或者在已知n的情況下推算出i。

在具體求解i或n時，涉及求解高次方程的問題，為了簡化，實踐中通常采用驗誤法（逐次測試）結合插值法進行這一推算。

【例2-7】設有一投資項目，需于現在時點投入資本總額為30\1\234元。該項目歷時四年，回報方式是在項目的四年中，每年年末將回報貨幣100000元。求解該項目的資本報酬率。

對于該案例資料，依據前述基本原理進行分析可知，該項目是一個已知年金現值，年金和時間價值系數的復利增值期數而求解折現率的問題。因此，這是一個以資本回收計算方式求解時間價值系數進而求解折現率的問題。因此有計算如下：

首先求解該項目的時間價值系數：

該項目的時間價值系數值=30\1\234/100000=3.03\1\24

其次求解該項目的折現率：

[1-（1+i）-4]/i= 3.03\1\24

以驗誤法解之，得：

i=12%

基于同樣的原理，在求解復利增值的期數時，所用技術程序完全一樣。

【例2-8】設有一投資項目，現在需投入資本39\1\271元。在今后的若干期間內，每期期末給予8%的回報，每期具體回報金額為100000元。求解按此條件需要多少期間回報才能收回投資和獲取8%的投資報酬。

對于該案例資料，依據前述基本原理進行分析可知，該項目是一個已知年金現值，年金和時間價值系數的復利增值率，而求解增值次數的問題。因此，這是一個以資本回收計算方式求解時間價值系數進而求解折現期數的問題。因此有計算如下：

首先，求解該項目的時間價值系數：

該項目的時間價值系數值=39\1\271/100000=3.99\1\21

其次，求解該項目的折現期數：

[1-（1+8%）-n]/8%= 3.03\1\24

以驗誤法解之，得n=5

（四）特殊年金的時間價值計算

特殊年金主要包括先付年金、遞延年金和永續年金。這些年金同普通年金具有顯著的共性，同時也存在明顯的特殊性。依據特殊年金同普通年金的規律性關系，就可以依據普通年金的時間價值計算模式總結出特殊年金的計算模式或方法。

1．預付年金的終值和現值計算

預付年金同普通年金的規律性聯系是：預付年金不過是將普通年金的每一時段內的計量貨幣金額提前了一個時段。因此，在預付年金的終值和現值計算上，主要是將普通年金的時間價值系數做提前一個時段的處理，由此得到相應的預付年金時間價值折算系數，從而進行折算。

（1）預付年金的終值計算。

依據將普通年金的時間價值系數做提前一個時段即可得到相應預付年金時間價值系數的原則，將普通年金的時間價值系數做提前一個時段的具體方法如下：

①在普通年金終值系數上乘以（1+i）即可得到相同時段數的預付年金終值系數。

由此有：

預付年金終值系數={[（1+i）n-1]/i} ×（1+i）

【例2-9】設自現在起的五年中，每年年初投資8萬元到AB投資基金中，該基金承諾對該項投資給予8%的報酬。求解，第五年年末應該獲得回報額是多少？

依據上述公式計算如下：

預付FA={[（1+8%）5-1]/8%} ×（1+8%）×80000=50\1\274.32\1\2（元）

②將n+1時段數的普通年金終值系數上扣除1，即得到n時段數預付年金終值系數。這一方法也簡稱為：年數加一，系數減一。

由此有：

n時段數預付年金終值系數={[（1+i）n+1-1]/i}-1

仍以【例2-9】為例來加以說明：

預付FA=（{[（1+8%）6-1]/8%} -1）×80000=50\1\274.32\1\2（元）

（2）預付年金的現值計算。

同預付年金的終值計算的原理一樣，預付年金的現值計算也以下述兩種方法而得以實現：

①在普通年金現值系數上乘以（1+i）即可得到相同時段數的預付年金現值系數。

由此有：

預付年金現值系數={[1-（1+i）-n]/i}×（1+i）

【例2-10】設自現在起的五年中，每年年初投資8萬元到購買WM企業發展基金，該基金承諾對該項投資給予8%的回報。試評價該項投資的現在價值。

依據上述公式計算如下：

預付PA={[1-（1+8%）-5]/8%}×（1+8%）×80000=34\1\270.14\1\2

②將n-1時段數的普通年金終值系數上加上1，即得到n時段數預付年金現值系數。這一方法也簡稱為：年數減一，系數加一。

由此有：

n時段數預付年金現值系數={[1-（1+i）-（n-1）]/i}+1

仍以【例2-10】為例來加以說明：

預付PA={[1-（1+8%）-4]/8%} +1×80000=34\1\270.14\1\2

2．遞延年金的時間價值計算

遞延年金的特征決定了遞延年金終值計算與普通年金終值計算無異，故而遞延年金的時間價值計算只有現值計算的討論。依據遞延年金的特征，其現值計算可以由如下兩種方式得以實現：

（1）由于遞延年金的特征就是整個過程的前m個時段的計量貨幣金額缺損，所以，遞延年金的現值計算就是將缺損的計量貨幣金額補上后使其變化為標準形式的普通年金，計算出這一普通年金的現值后，再從中扣除補上部分的現值即成遞延年金的現值。

由此有計算公式如下：

式中的m是指在包含有n個時段的過程中，前面缺損計量貨幣金額的時段數。

【例2-11】設有一投資機會，在現在時點投資以后，將于第四年年末至第七年年末每年年末給予投資者50000元的等額回報。請在資本市場資本報酬率為8%的背景條件下，評價該項投資的現在價值。

依據上述公式計算如下：

遞延PA={[1-（1+8%）-7]/8%}-{[1-（1+8%）-3]/8%}×50000=13\1\263.65\1\2（元）

（2）由于遞延年金是普通年金的計量貨幣金額依次往后推移m個時段，因此將初始時點往后推移至m個時段，使遞延年金變成標準的普通年金，計算這一普通年金的現值，再將這一年金現值按照一次性計量貨幣金額折算至初始時點即得遞延年金的現值。

遞延PA={[1-（1+i）-（n-m）]/i}×1/（1+i）m

仍以【例2-11】為例來加以說明：

遞延PA={[1-（1+8%）-（7-3）]/8%}×1/（1+8%）3×50000=13\1\263.65\1\2（元）

3．永續年金時間價值計算

永續年金的最大特點是其時間價值變化過程所包含的時段數和相應的計量貨幣金額次數是無窮大的。這一特點表明，作為年金，無論在進行終值還是現值計算時，其復利增值或折現的次數n趨于無窮大。

在終值計算時，年金終值系數的n →∞，則年金終值系數 →∞，年金終值也就是無窮大。

在現值計算時，年金現值系數的n →∞，則年金現值系數 →1/i，年金現值就等于A×1/i。