1.4 單片機中的數制與碼制

1.4.1 數制及其轉換

常用的表達整數的數制有二進制數、十進制數、十六進制數3種，其中計算機處理的一切信號都是由二進制數表示的；人們日常用的是十進制數；十六進制數則用來縮寫二進制數。3種數制之間可以相互轉換。它們之間的關系見表1-2。為了區別十進制數、二進制數及十六進制數3種數制，在數的后面加一個字母以進行區別。用B表示二進制數；用D或不帶字母表示十進制數；用H表示十六進制數。

1.二進制數和十進制數之間的相互轉換

二進制轉換成十進制，可采用展開求和法。即將二進制數按權展開再相加。

例如：

十進制轉換成二進制可采用除2取余法。即用2不斷地去除待轉換的十進制數，直至商等于0為止，再將所得的各次余數依次倒序排列。

即43D=101011B。

2.二進制數和十六進制數之間的相互轉換

二進制數轉換為十六進制數，只需將二進制數從右向左每4位為一組分組，最后一組若不足4位，則在其左邊添加0，以湊成4位，每組按表1-2用1位十六進制數表示。

例如：10011100100B→0100 1110 0100B=4E4H

十六進制數轉換為二進制數，只需按表1-2用4位二進制數表示1位十六進制數。

例如：8DF3H=1000 1101 1111 0011B

1.4.2 有符號數的表示

數值在計算機中表示形式為機器數，由于計算機只能識別0和1，因此我們用來表示數值正負的“+”和“-”在計算機中也只能用“0”和“1”表示。一般在計算機中，對于正數，最高位規定為“0”；對于負數，最高位規定為“1”。

例如：

有符號數在計算機中有原碼、反碼和補碼3種表示方法。

1.原碼

用最高位表示數的正負，其余各位表示數的絕對值，這種表示方法稱為原碼表示法。

例如：

如果計算機的數據寬度為8，即字長為1字節，則原碼能表示數值的范圍為FFH～7FH（-127～-0,+0～+127），共256個。原碼表示“0”時，可以有兩種數值，即00000000B（+0）和10000000B（-0），這將會造成混亂，導致計算出錯。

在計算機進行數值運算時一般不采用原碼運算。

例如：在計算1-1=0時，為了簡化計算機的硬件結構，把減法運算轉換為加法運算，即采用1+（-1）去計算，會發現[1]原碼+[-1]原碼=00000001B+10000001B=10000010B=-2，即計算出錯。

2.反碼

正數的反碼與原碼相同；負數的反碼為其原碼的符號位不變，數值部分按位取反。

例如：[+5]反碼=[+5]原碼=00000101B=05H

[-5]反碼=11111010B=FAH

如果計算機的數據寬度為8，即字長為1字節，則反碼能表示數值的范圍為80H～7FH（-127～-0,+0～+127），共256個。反碼表示“0”時，可以有兩種數值，即00000000B（+0）和11111111B（-0）兩種數值。在數值運算中也易出錯。

3.補碼

正數的補碼與原碼相同；負數的補碼為其反碼加1，但符號位不變。

例如：[+5]補碼=[+5]反碼=[+5]原碼=00000101B=05H

[-5]補碼=[-5]反碼+1=11111010B+1=11111011B=FBH

[+0]補碼=[+0]原碼=[+0]反碼=00000000B=00H

在求-0的補碼時，我們會發現[-0]原碼=10000000B,[-0]反碼=11111111B，加1后得100000000B，最高位產生了溢出，為了符合補碼的定義和運算規則，將10000000B（80H）的補碼真值定義為-128。也就是說，用補碼表示“0”時，只有一種數值，即00000000B（+0）。補碼的表示范圍為80H～7FH（-128～+127），共256個。80H（10000000B）在計算機中表示最小的負整數，即-128,10000001～11111111依次表示-127～-1。在減法運算時，運用補碼可以把減法運算轉換為加法運算，運算結果是完全正確的。請讀者熟記-128的補碼是80H,0的補碼是00H。

例如：計算1-1=0，用補碼計算：（結果超過8位，最高位的“1”自然丟失），結果正確。

求負數的補碼也可以用“模”來計算：[X]補碼=模+X

“模”是計數系統的過程量回零值。如時鐘以12為模，時鐘從某一位置撥到另一位置總有兩種撥法，即順撥和逆撥。例如從6點撥到5點，可以逆撥，即6?1=5；也可以順撥，即6+11=12（自動丟失）+5=5。這里11就是-1的補碼，也就是說，運用補碼可以把減法運算轉化為加法運算。

計算機中8位二進制數的模為28=256=100H。例如[-5]補碼=模+（-5）=100H-05H=FBH。

綜上所述，可得出以下幾個結論。

① 在計算機中，帶符號數都是以補碼的形式儲存的，學習原碼和反碼的目的是為了更好地理解補碼。

② 補碼表示法能使符號位與有效值部分一起參加運算，從而簡化運算規則。

③ 補碼表示法能使減法運算轉換為加法運算，簡化計算機的硬件結構。

1.4.3 十進制數的編碼——BCD碼

人們在生活中習慣于使用十進制數，而計算機只能識別二進制數，為了讓十進制數能被計算機識別，產生了BCD碼（Binary Coded Decimal Code），即用二進制代碼表示十進制數。例如計算器就采用 BCD 編碼運算。這種編碼的特點是保留十進制的權，數字則用二進制表示。即仍然是逢十進一，但又是一組二進制代碼。

1.編碼方法

BCD碼有多種表示方法，最常用的BCD碼為8421碼，編碼方式見表1-3。每4位二進制數表示一個十進制字符，這4位中各位的權依次是8、4、2、1，因此稱為8421BCD碼。

2.BCD碼的運算

由于4位二進制數最多可以表示16種狀態，余下的6種未用碼（1010、1011、1100、1101、1110、1111），在BCD碼中稱為非法碼或冗余碼。從表1-3中可以看出，1位十進制數是逢十進位（借位）的，而4位二進制數是逢十六進位（借位）的，當計算結果有非法碼或 BCD 碼產生進位（借位）時，加法進行加6修正，減法進行減6修正。

例如：計算26+5=31，若用BCD碼運算

需進行十進制修正

例如：計算27–9=18，若用BCD碼運算

需進行十進制修正

需要指出的是，BCD碼屬于無符號數，其減法若出現被減數小于減數時，需向更高位借位，運算結果與十進制數不同。例如，十進制數：29?30=?1（有符號）;BCD碼：29?30=129?30=99（無符號）。

在單片機中，由專門的BCD碼調整指令DA來完成BCD碼的修正。

1.4.4 ASCII碼

由于計算機只能處理二進制數，因此除了數值本身需要用二進制數形式表示外，另一些要處理的信息（如字母、標點符號、數字符號、文字符號等）也必須用二進制數表示，即在計算機中需將這些信息代碼化，以便于計算機識別、存儲及處理。

目前，在微機系統中，世界各國普遍采用美國信息交換標準碼——ASCII碼（American Standard Code for Information Interchange），見表1-4，用7位二進制數表示一個字符的ASCII碼值。

由表1-4可知，7位二進制數能表達27=128個字符，其中包括數碼（0～9）、英文大寫字母（A～Z）、英文小寫字母（a～z）、特殊符號（!,?,@,#等）和控制字（NUL,BS,CR,SUB等）。7位ASCII碼分成兩組：高3位一組，低4位一組，分別表示這些符號的列序和行序。

在計算機系統中，存儲單元的長度通常為8位二進制數，為了存取方便，規定一個存儲單元存放一個ASCII碼，其中低7位為字母本身的編碼，第8位往往用作奇偶校驗位或規定為零。因此，也可以認為ASCII碼的長度為8位。