1.2 非定常湍流數值模擬方法

1.2.1 控制方程

流體運動遵循物理學三大守恒定律：質量守恒定律、動量守恒定律和能量守恒定律。這三大定律的數學描述構成了流體力學的基本方程組，即Navier-Stokes（N-S）方程組。在不計質量力、不計外部熱源，并在笛卡兒坐標系下，守恒形式的N-S方程可以表示為：

式中，

其中應力項：

熱傳導項：

單位質量氣體的總能量為：

為了使N-S方程封閉，還需要補充下述關系式：

完全氣體狀態方程：p=ρRT, h=cpT（cp為等壓比熱）。

當求解域的形狀比較復雜時，為了計算方便，同時便于處理邊界條件，計算流體力學方法通常在曲線坐標系中實施。因此，有必要得到曲線坐標系中流體力學基本方程的形式，引入如下的坐標變換：

J代表坐標變換Jacobian行列式：

由于在計算域中（即曲線坐標系下）的單元均為邊長為1的正方體，故J值等于直角坐標系下單元體積的倒數。即：

根據鏈式求導法則有：

同時引進特征長度L及自由來流參數（即聲速c∞、溫度T∞、黏性系數μ∞、密度ρ∞）作為特征變量，則得到曲線坐標系下無量綱形式的流動控制方程組：

式中，

應力黏性項中應力在曲線坐標系中變為：

熱傳導項變為：

定義無黏通量Jacobian系數矩陣：

系數矩陣A、B、C也有統一的形式，即：

其中：Ut=, Vc=ukx+vky+wkz，為逆變速度；k取ξ、η、ζ，

分別對應于Jacobian系數矩陣A、B、C; c為當地聲速。

Jacobian系數矩陣A、B、C的特征值為：

定義Jacobian系數矩陣A、B、C的譜半徑為：

式中，U、V、W分別為三個方向的逆變速度。

1.2.2 大渦模擬方法

大渦模擬基本思想是：對于受邊界條件影響較大的大尺度運動（大渦結構），進行直接數值模擬；而對于具有較多普適性的小尺度湍流結構，則通過構造亞格子模型進行模化。由于對于小尺度結構直接采用模型來模擬其對大尺度運動的影響，因此大渦模擬的計算量比直接數值模擬方法要小很多。大渦模擬一般要求其濾波尺度處于所謂的慣性子區[37]，對于空間的高雷諾數自由湍流，其慣性子區通常只比其積分尺度小一個量級，這就意味著大渦模擬的過濾尺度只要比積分尺度小一個量級就可以對自由湍流的模擬做到網格量與雷諾數無關。而DNS對于模擬同樣的問題所需要的網格量隨雷諾數的增加而呈指數增長。

大渦模擬方法能夠準確、高效地處理空間自由湍流，如自由剪切層混合、自由射流，以及大分離的尾跡區，這些RANS方法難以處理的空間自由剪切湍流流動是大渦模擬的優勢所在。因此對于大渦模擬的研究極大地改善了CFD對燃燒、飛行器大攻角非定常分離以及鈍體繞流等工程問題的模擬精度。同時，由于大渦模擬提供了流場的大尺度脈動信息，因而成為研究流動噪聲、流固耦合等問題的新手段。

早在1963年，美國國家大氣研究中心的氣象學家J. Smagorinsky將大渦模擬應用到氣象預測中[38]，并在這個開創性工作中提出了后來以他名字命名的亞格子應力（Sub-Grid Stress, SGS）模型。1973年起，由美國Stanford大學和NASA Ames研究中心聯合成立的研究小組對大渦模擬進行了系統的研究，他們的工作極大地促進了大渦模擬的發展[39]。然而由于對計算機的發展過于樂觀，20世紀80年代，大多數研究者將目光從LES轉向DNS，直到90年代，人們的研究重點又重新回到LES，并發展出更多的亞格子模型，這些模型基于不同的出發點，大致可以分為兩類：唯象論模型和結構型模型。

唯象論的亞格子渦黏性模型假定小尺度脈動是局部平衡的，由可解尺度向不可解尺度的能量傳輸率等于湍動能的耗散率，即在湍流統計理論和量綱分析的基礎上導出公式，并由試驗結果或者經驗確定相關常數。前文提到的Smagorinsky模型即是最早的亞格子渦黏性模型，也是唯象論模型的典型代表：

式中，μLES=ρ（CsΔ）2（為亞格子渦黏系數，CsΔ相當于混合長度，Cs稱為Smagorinsky常數，Δ為濾波尺度，一般為x、y、z三方向網格間距的幾何平均，即Δ=。

該模型構造簡單，計算量小，魯棒性好，因此受到研究者的推崇并得到進一步發展。Poimelli[40]、Moin[41]等人針對Smagorinsky亞格子模型在壁面附近耗散過大的缺點，引入對濾波尺度的Van Driest阻尼函數；為使該模型適用于高馬赫數流動，Yoshizawa[42]、Moin[43]和Vreman[44]等人提出了可壓縮修正項。雖然直至今日，Smagorinsky模型依然是最重要和使用最廣泛的SGS模型，但應當指出的是，對于不同類型的湍流流動，Smagorinsky常數取值通常不同，與具體流動有關也是該模型的缺陷之一。為此，1991年，Germano[45]提出了動力Smagorinsky模型，通過局部自相似假設，將兩個不同尺度的亞格子應力模型聯系起來，得到在計算過程中動態決定模型系數的方法。為了克服動力模型進行系綜平均計算量過大的缺點，Meneveau[46]等人提出沿質點軌跡的Lagragian平均法，適合復雜湍流中應用動態模型。Salvetti[47]等人進一步提出了動力雙系數模型。國內方面，李家春[48]等人在湍動能模型和結構函數模型的基礎上，發展了TSF亞格子模型，旨在處理既有對流，又有強剪切的湍流流動，并研究了環境流動問題。劉寧宇、陸夕云[49]等人在Yall模型的基礎上，發展了一種適用于熱分層湍流的半動力學亞格子尺度模型。

唯象論模型建立在局部各向同性湍流的唯象論湍動能傳輸理論上，它以可解尺度向亞格子尺度傳輸湍動能與亞格子耗散的局部平衡機制為基礎，是耗散性模型，總體上符合湍流輸運的性質，所以在數值計算上容易穩定。它并不總能反映局部能量輸運的各種性質，比如在接近過濾尺度附近存在局部能量反向傳遞，好在逆級串是總的湍動能輸運的小量，所以耗散性模型可以用于工程計算，但對于湍流的機理研究中，唯象論模型是不理想的[50]。

結構型模型采用了另外一種思路，使用亞格子脈動的信息建立模型，這使得結構型模型盡可能擺脫唯象論模型的人為因素，較有代表性的有Bardina尺度相似模型[51], Liu-Meneveau-Katz模型[52]等。而研究者在實際計算中發現尺度相似模型的亞格子湍動能耗散嚴重不足，因此把尺度相似模型和亞格子渦黏模型進行線性組合，混合模型[53]自然應運而生。此外，ADM逆卷積模型[54]、多尺度模型、線性隨機估計模型，以及國內崔桂香、張兆順推導的理性亞格子模型[55]等也具有較大的影響力。

與RANS類似，LES也有一方程模型、二方程模型等多方程模型[56]，遺憾的是這些模型并未顯示出比簡單渦黏性模型有顯著的改進，更重要的是，在LES網格增加巨大的代價下，復雜模型不符合我們對于SGS模型簡單普適的期望，因此這類模型引起的關注度不高，而且大多數較為復雜的模型只有發明者在使用和研究[57]。

目前LES方法已被廣泛地應用到流動機理研究以及簡單外形的工程計算當中[58][59]。但對于工程中經常遇到的壁湍流問題，理想的大渦模擬遭遇困境。由于壁面附近的湍流是各向異性的，不存在局部各向同性的狀態，特別是垂直于壁面方向，脈動尺度很小，很難區分“大渦”和“小渦”。如果按照前面所述的LES理念，在近壁區需要直接數值模擬的網格。曾有人估計，在中等雷諾數條件下，需要大約70%的網格位于只占10%計算域的近壁區中，這顯然已經脫離了大渦模擬的宗旨。因此針對存在壁湍流的流動問題，人們提出各種LES方法的近壁模型以及后來的RANS/LES混合方法。

1.2.2.1 濾波概念簡介

實現大渦模擬的第一步是把小尺度脈動過濾掉。LES使用濾波函數，通過低通過濾去除小尺度不規則脈動量的影響，留下可解的大尺度物理量。LES的濾波函數常被形象地稱為濾波器，目前常見的均勻濾波器有譜空間的低通濾波器、物理空間的盒式濾波器（也稱為Tophat）和高斯濾波器[60]。表1.1給出了三個經典濾波算子的核函數以及傳遞函數（設濾波寬度為）[57]。

其中，譜截斷濾波［Spectral（Sharp Cutoff）］算子在譜空間中是局部的，能夠清楚地區分大尺度和小尺度（所有波長小于2π/kc=的模式都被濾掉，這里kc=是截斷波數），但在物理空間中不是局部的，濾波的結果涉及較遠處的量。盒式濾波［Box（Tophat）］算子在物理空間是局部的，但在譜空間中不是局部的，濾波的結果仍然包含高頻部分。高斯濾波（Gaussian）算子則在物理空間和譜空間中都是局部的。實際應用中，譜截斷濾波通常在譜空間中實現，只要將波數大于截斷波數kc=的模式清零就可以了。盒式濾波和高斯濾波在物理空間實現時，實際的離散濾波算子的形狀和濾波寬度與對應的解析濾波算子有所不同。

均勻濾波器的條件過于苛刻，除了均勻湍流的LES計算之外，實際問題中難以采用，因此絕大多數LES方法都采用非均勻濾波器。然而，當采用非均勻濾波器時，與非均勻計算網格相關聯的非均勻濾波算子與微分運算之間不可交換，會導致LES的方程十分復雜，而假設兩者可以交換就會引入交換誤差，其中一種解決方案是設計滿足一定要求的低通濾波算子，使得交換誤差不大于所采用空間離散格式的截斷誤差[58]。

相對于采用明顯濾波函數的顯式濾波，采用網格尺度作為過濾尺度的方法也稱為隱式濾波，隱式濾波在LES中較為常用，本節主要介紹采用隱式濾波的LES方法，并假設過濾過程和求導過程可以交換。

1.2.2.2 大渦模擬的控制方程

低通過濾后，湍流速度可以分解為低通脈動和剩余脈動之和

由LES方法直接求解得出，因此稱為可解尺度脈動；剩余脈動稱為不可解尺度脈動或亞格子尺度脈動。

由于假定過濾過程和求導過程可以交換，將N-S方程作過濾，得到如下方程：

令，并稱-（）為亞格子應力，則式（1.12）可寫作：

右端含有不封閉項

稱為亞格子應力。和雷諾應力相仿，亞格子應力是過濾掉的小尺度脈動和可解尺度湍流間的動量輸運。要實現大渦數值模擬，必須構造亞格子應力的封閉模式。

1.2.2.3 常用的亞格子模型

1．Smagorinsky模型

Smagorinsky模型是20世紀60年代由氣象學家J. Smagorinsky[38]與湍流大渦模擬方法一起提出的，至今仍然是最廣泛采用的亞格子應力模型。該模型類比于分子運動的黏性效應，用所謂渦黏性模型來表示亞濾波尺度運動對濾波可分辨尺度運動的影響：

這里是濾波可分辨尺度應變率張量，亞格子渦黏性系數記為：

1967年，氣象學家D. K. Lilly[61]針對充分發展的各向同性湍流，應用Kolmogorov-5/3律求出了Smagorinsky模型參數Cs的理論值：

由于CK=1.4是Kolmogorov常數，于是Cs≈0.18。

Deardoff[62]建議采用當量體積Δ=（ΔxΔyΔz）1/3作為過濾尺度，適用于偏離各向同性不大的情況，為進一步適應非均勻網格，Scottia和Meneveau[63]引入了各向異性修正，使用計算網格特征長度Δ作為濾波尺度，規定了網格長細比函數：。

式中，兩個最小的長細比a1=Δi /Δmax, a2=Δj/Δmax, Δmax=max（Δx, Δy, Δz）, Δi和Δj表示除了Δmax之外另外的兩邊。Ragab和Sheen[64]建議使用

實際使用中發現，Smagorinsky模型的主要缺點是耗散過大，尤其在近壁區和層流到湍流的過渡階段。在近壁區，湍流脈動等于零，亞格子應力也應當等于零。但是式（1.16）給出了壁面亞格子應力等于有限值，這顯然和物理實際不符。為了克服這一缺點，可以借用RANS渦黏性模式中的壁函數或低雷諾數修正。一種簡單的修正方法是在亞格子渦黏性系數表示式（1.17）中加入近壁阻尼公式，即：

式中，f（y+）=CsΔ[1-exp（-y+/A+）], A+=26。

2．動力Smagorinsky模型

針對Smagorinsky模型在層流及過渡流動中耗散過大的缺點，人們又提出了動力Smagorinsky模型，即采用動態方式確定Smagorinsky模型系數。

動力模式方法需要對湍流場進行多次過濾，以二次過濾為例[60]，在計算網格尺度Δ上的過濾結果用上標“～”表示，相應的亞格子應力用表示，。在試驗網格αΔ（α＞1）上再做一次過濾的結果用上標“—”表示，相應的亞格子應力用表示為：

Germano[45]假定：

式（1.22）稱為Germano等式。該式的物理意義是二次過濾后的亞格子應力等于粗、細網格上的亞格子應力差。Germano假定的思想類似于尺度相似模式，試驗網格上過濾的亞格子應力是由粗網格［α（α＞1）］上的最小脈動產生，假定粗、細網格中湍流脈動具有相似性，由粗網格上的最小脈動產生的應力等于粗細網格分別過濾產生的亞格子應力之差。注意到Germano等式的左邊Li j（x, t）=是已知量，只要在計算出的一次過濾結果上再做一次過濾運算就可以獲得。如果在式（1.22）右邊用Smagorinsky模式代入，最后得到以下公式：

式中，

假設大渦數值模擬的網格Δ和αΔ都足夠細，模式系數和網格無關，即，另有，得

式（1.23）中Lij、Mij都是已知量，只有一個未知量。該式中有5個獨立代數方程［在不可壓縮流體中Mii=0，因此式（1.23）做張量收縮后是恒等式］，所以式（1.23）是超定的。

為克服超定性，Germano使用乘式（1.23），然后在統計均勻方向做平均，得

3．Vreman模型[65]

同樣作為亞格子渦黏性模型，Vreman模型的構成與式（1.16）一致，不同的是對于渦黏性系數的模化：

式中，c=,Cs表示Smagorinsky常數，Cs=0.17，其他各項意義為：

該模型的構造元素主要是速度的一階導數，不含任何顯式的濾波，并且在各向同性濾波尺度下是坐標旋轉不變的。從形式上看，它并不比Smagorinsky渦黏性模型更復雜，計算精度卻總是高于Smagorinsky渦黏性模型，與標準動力Smagorinsky亞格子模型接近，并且能用于轉捩流動的計算。由于初始模型是對于不可壓流動推導的，在一維流動中模型成為0，產生了無法耗散激波的問題。因此Vreman在Bβ中引入了最后一項表示可壓縮修正[66]，即將Bβ修正為：

式中，Δ=。

這樣對于一維超聲速流動，進行了將可壓縮修正的模型退化成Smagorinsky渦黏性模型。對于超聲速流動，建議取c=0.07和cc=0.1。該模型簡單、魯棒性好而且不需要壁面修正，Vreman計算的槽道結果與動力Smagorinsky模型接近，但避免了動力模型中二次濾波的煩瑣，適合在實際問題中應用。

1.2.3 RANS/LES混合方法

介于RANS和LES各自存在的優勢和局限性，控制方程的形式也高度相似，研究者自然想到，如果能有方法使兩者有機結合，取長補短，就可以有效實現計算精度和效率的統一。近年來興起的RANS/LES混合方法[67]就是這種統一的體現：采用RANS高效且可靠的模擬小尺度運動占主導地位的近壁區域，用LES直接計算大尺度運動占優的分離區域[68]。RANS/LES混合方法對傳統RANS感到棘手的大尺度分離問題特別有效，其網格需求量遠小于理想的LES，僅略大于三維的RANS，并且對于耗散大的數值格式也能夠給出令人滿意的結果，為實際問題提供了解決之道，因此自問世起就受到國內外湍流研究界的廣泛關注，引發了RANS/LES混合方法的研究熱潮，也受到一些國家的高度重視，如歐盟發起了連續三期資助RANS/LES混合方法發展的項目：FLOMANIA（2001—2003）[69]、DESider（2004—2007）[3]、ATTAC（2009—2011）[70]。

這種混合方法大致可分為兩類[71]，一類是以Speziale[72]、Fan[73]、Georgiadis[74]等人為代表，針對現有的LES亞格子模型的缺陷提出的RANS/LES混合方法。這類方法種類較多，主要區別在于RANS和LES求解區域過渡所使用的交界面函數，以Speziale提出的混合方法為例：

式中，Lk為Kolmogorov長度尺度，一般由所使用的RANS的長度尺度來決定；Δ為網格間距，為RANS模型模化的雷諾應力；β和n為模型參數；[1-exp（-βΔ/L ）]nk為阻尼函數，使得粗網格處的RANS模化應力可以恢復。

而Fan[73]及Kawai[75]等人則使用了更直觀的RANS/LES處理方法：在流場近壁處利用RANS湍流模型計算，而邊界層外的復雜湍流利用LES計算，通過以壁面距離為變量的RANS/LES交界面混合函數實現光滑過渡，RANS的相關項和LES的亞格子尺度項通過混合函數做加權平均，實現了從RANS到LES區域的光滑過渡，以Kawai提出的交界面函數為例：

式中，η=dwall/dblend, dwall是網格點到壁面的最小距離，dblend是指定的混合邊界位置；C1和C2是指定的常數。更多的混合函數參見文獻［71］。大多數這類方法都是區域性的，即計算之前先用定常的RANS求解出大約的邊界層位置，即確定dblend，然后再進行非定常計算，難以應用到復雜外形[76]。

另一類混合方法中RANS和LES求解區域具有明確的邊界，其中應用最為廣泛的是Spalart等人[77]對于大分離流動倡導的脫體渦模擬（Detached Eddy Simulation, SA-DES）方法，該方法將原始的SA湍流模型的長度尺度表述為原長度尺度和網格間距的函數：

如Travin所述[78]，此時在流動附體區域，SA-DES表現為RANS模型；而在遠離壁面處，產生項與毀滅項平衡，易推導出DES97表現為類似Smagorinsky亞格子模型的性質[37]：

大量研究表明（綜述見文獻［79］［80］，最新的文獻見［81］～［83］）-DES97方法較為可靠，對大尺度分離的計算特別有效，同時也能在一定程度上彌補了RANS在曲率、旋轉以及可壓縮效應方面的缺陷，極大地增強了RANS對于湍流預測的準確性。但是，SA-DES對網格的布置依賴較大[84], RANS和LES的交界面位置完全由網格的最大間距和網格點到壁面的距離關系決定，計算效果直接受到網格影響，這是SA-DES方法的主要缺陷。例如，過度加密流向和法向網格會使得交界面內移，RANS區域被強行激活成LES區域，此時當地模化的雷諾應力減小而近壁處又無法產生充分脈動，結果導致雷諾應力提供不足（MSD），甚至造成非物理的分離[85]。為克服SA-DES的缺陷，Spalart等人于2005年提出DDES（Delayed-Detached Eddy Simulation）方法（SA-DDES）[86]以及后來的IDDES（Improved DDES）方法[76]。該方法引入參數rd（IDDES中rdt）來分辨邊界層區域，從而保證邊界層內完全由RANS求解。

DES97以及后來的DDES、IDDES都是基于SA一方程湍流模型。2001年，Strelets[87]通過修改二方程SST模型中動能輸運方程的長度尺度，提出基于SST模型的DES方法即SST-DES，隨后，Menter等人[88]為減小SST-DES對網格的依賴性，使用SST模型固有的交界面函數來指示邊界層范圍，提出基于SST模型的DDES方法（SST-DDES）; Yan等人[89]基于WilcoxK-ω二方程模型，通過在輸運方程不同位置修改模型的長度尺度獲得三種DES類方法，并得出以下結論：若不苛求理論的完備性，只需將RANS方程的湍流長度尺度修改成當地網格間距的函數，就可以得到能夠實際應用的DES方法。Bunge等人[90]構造了基于不同復雜程度的RANS模型的DES類方法，分別是：線性應力自適應一方程SA模型（Strain-Adaptive Linear Spalart-Allmaras model, SALSA）、線性當地可實現性的二方程Wilcox K-ω模型（Linear Local Realisable, LLR）以及K-ε方程的緊致顯式代數應力模型（Compact Explicit Algebraic Stress Model, CEASM），很遺憾的是，它們并未在復雜算例中考核不同的基準模型對DES類方法結果的影響。另外，Deck等人[91]為防止MSD問題的產生，在網格劃分時就人為指定RANS或DES求解區域，構造了Zonal DES（ZDES）方法，但該方法及后來的改進型都需要大量的經驗。從2004年以后國內開始見到RANS/LES混合方法的相關文獻，肖志祥、符松等人[93]分別采用DES、DDES以及Zonal-RANS/LES混合方法對底部流動、圓頭方柱等模型進行了計算；孫明波等人[94]對DES類、類Menter SST混合方法以及湍流能量譜一致混合方法進行了簡要評述，指出了RANS/LES混合方法應該兼顧的問題。

本節主要介紹在工程應用較多的DES類混合方法。

1.2.3.1 基于SA模型的DES類方法

1．SA模型

Spalart-Allmaras（SA）[95]模型是從經驗和量綱分析出發，先針對簡單流動，例如混合層、尾跡流等標定模型系數，然后利用平板邊界層的試驗結果補充發展該模型，使之能夠適用于帶有層流流動的壁面剪切湍流流動。該模型魯棒性很好，而且適用面較廣，因為其渦黏性系數的弱非線性構造能夠在一定程度上反映分離區中湍流的各向異性，能夠一定程度上更好地預測分離流動。另外，對于網格的要求（第一層網格高度y+）也要低于二方程湍流模型，上述優勢使得SA模型在航空航天領域的CFD計算中得到廣泛應用。模型中選用的應變量是與渦黏性νt相關的量，除邊界層外，與νt是相等的。

SA模型中渦黏性系數μt由下式給定：

其中為保證在整個邊界層速度剖面滿足關系=kyuτ，定義以下衰減函數fν1：

的輸運方程如下：

式中，d為網格點到壁面的最近距離。方程右側第一項可以認為是黏性的產生項，第二項是黏性的耗散項，最后兩項為黏性的擴散項，并且

上式中渦量表示為，保證在對數率區；其他各個常數為：

2．SA-DES方法

將輸運方程式（1.36）的長度尺度改寫為：

其中，

由式（1.37）、式（1.38）容易推出，當dw＜CDESΔ時，SA-DES為RANS的性能；當dw≥CDESΔ時，DES97表現為LES的性能。可以看出，SA-DES方法的性能完全由流場的網格因素來控制，如果壁面附近過度加密，導致“過早”地呈現LES性能，而此時的網格又沒有加密到使得LES能夠捕捉所有的湍流脈動，從而造成前文所提及的模化雷諾應力不足（MSD）的問題。為彌補該缺陷，Spalart等人又提出了DDES方法。

3．SA-DDES方法

SA-DDES引入參數rd以確保邊界層內為RANS性能：

式中，vt為運動渦黏性；v為運動分子黏性；Ui, j為速度梯度；κ=0.41為Karman常數。

rd的定義類似SA模型中的r:rd在邊界層的對數率區等于1，然后至邊界層黏性頂層逐步減小為0。通過以下函數實現RANS和LES的“開關”作用：

式中，fd在邊界層內為0，在其他區域等于1。該函數防止SA-DES“過早”過渡到LES模態，保證整個邊界層區域由RANS控制。

這樣SA-DES中的長度尺度可修改為：

1.2.3.2 基于SST模型的DES類方法

Menter[96]發現K-ω模型計算自由剪切層顯著依賴于ω的自由來流值，通過比較ω方程和轉化的ε方程，指出其原因就在于K-ω模型缺乏交叉擴散項。為了有效結合K-ω和K-ε模型各自的優點，Menter提出了baseline（BSL）K-ω模型[97]，在近壁處采用K-ω模型，在邊界層邊緣和自由剪切層采用K-ε模型，其間通過一個開關函數來控制。之后Menter又修改了BSLK-ω模型中渦黏性系數的計算，提出剪切應力輸運（Shear-Stress-Transport, SST）模型。SST模型結合了近壁面附近K-ω模型的穩定性和邊界層外緣K-ε模型的獨立性。模型中對渦黏性的定義形式避免了在邊界層內出現過高的剪切應力，使之滿足Bradshaw假設，這是線性Boussinesq近似不能實現的。因此，SST模型在某種程度上反映了非線性效應，可以較好地處理湍流剪切應力在逆壓梯度邊界層內的輸運，故SST模型能更好地預測逆壓梯度和邊界層分離。但由于開關函數中需計算到壁面的最小距離，這在一定程度上增加了求解SST模型的難度。

SST模型引入“開關函數”F1，將把K-ω和K-ε模型結合起來，構成以下表達式：

式中，PK、Pω與K-ω模型的表達式一樣。

湍動能K及比耗散率ω的產生項：

湍動能K及比耗散率ω的耗散項：

湍動能K及比耗散率ω的擴散項：

上述式中，F1在近壁區趨近于1，模型近似于K-ω模型；遠離壁面時F1趨近于0，模型轉化為K-ε模型，這樣將兩種模型取長補短。用φ1表示原始K-ω模型中的常數，用φ2表示轉化的K-ε模型中的常數，則SST模型中的常數φ可表示為：

兩個模型中的常數分別如下：

K-ω模型中：

σK1=0.85, σω1=0.5, β1=0.075, β*=0.09, γ1=0.5532

K-ε模型中：

σK 2=1.0, σω2=0.856, β1=0.0828, β*=0.09, γ2=0.4404

開關函數F1定義為到壁面最小距離的函數：

式中，y表示到物面的最小距離。

另外，Menter認為渦黏性模型與全雷諾應力模型的一個主要差別在于后者考慮了雷諾應力傳輸的重要作用，因而模型中包含了傳輸項。為了彌補這一缺陷，Menter SST模型基于Bradshaw假設，在定義渦黏性系數時考慮了雷諾應力的傳輸。

一方面，Bradshaw假設邊界層內的雷諾應力和湍動能成比例：

另一方面，在二方程渦黏性模型中，通常我們可以用渦張量Ω代替應變率，因此雷諾應力可由下式計算：

Driver的試驗[98]指出，在逆壓流動中K的生成項PK遠大于K的耗散項DK，因此式（1.52）過估了雷諾應力。為了在渦黏性模型的結構下滿足式（1.51），在Menter SST模型中，渦黏性系數被重新定義為：

式中，Ω=Ω為渦量值。開關函數F2在邊界層流動中趨于1，在自由剪切層流動中趨于0。在逆壓邊界層流動中，由于PK＞DK（即Ω ＞aω1），上述渦黏性系數公式保證了該區域滿足Bradshaw假設，而在其他流動區域中，仍采用原始公式μt=ρK/ω。因此對渦黏性系數的修正只限制在壁面邊界層流動中，這通過引入開關函數F2實現。與F1類似，F2也定義為到壁面最小距離的函數：

基于SST模型的DES方法是將湍動能輸運方程（K方程）耗散項［式（1.46）］進行修改，如下式所示：

“開關”函數FDES為

式中，LRANS為RANS的長度尺度，LRANS=/（β*ω）; CDES被重新標定為CDES=F1×0.78+（1-F1）×0.61。

Strelets于2001年提出了SST-DES方法，即令式（1.55）中FSST=0；隨后Menter為減小SST-DES對網格的依賴性，建議令FSST=F1或F2，提出基于SST模型的DDES方法（SST-DDES）。