第1章 定姿態非定常氣動特性

1.1 概述

1.1.1 研究背景及意義

即使飛行器在飛行過程中保持姿態與相對運動不變，同樣會由于外壁面的流動分離、膨脹、壓縮、激波振蕩以及湍流邊界層等非定常的流動結構，引起隨時間變化的流場環境。大分離流動現象廣泛存在于航空、航天、航海、風工程等領域。飛機的大攻角飛行會使得機翼上表面產生非定常的大范圍分離，導致失速，升力急劇下降，阻力增加，氣動力可能呈現劇烈的非定常波動，對飛行器的操控性能提出了巨大挑戰；火箭在地面安裝及發射的初始階段，橫向側風流經火箭表面時，發生類似圓柱繞流的現象，產生非定常的橫向作用力，對飛行軌跡產生一定的影響，也會影響發射安全；導彈的水下發射，也會因為橫向流動，導致發生類似圓柱繞流的非定常大分離流動現象，甚至改變導彈的軌跡；民用客機起飛降落階段，流體流經起落架會產生大分離湍流脈動，進而產生嚴重的氣動噪聲，直接影響適航認證。飛行器再入飛行過程中，非定常的流動環境會誘導壓力脈動，形成脈動壓力環境（或稱氣動噪聲環境），是飛行器再入飛行剖面內主要的動力學環境。大量研究表明，這種脈動壓力環境所誘導的結構的隨機振動與聲振復合環境，會嚴重影響飛行器及其組件結構、工藝和功能的完整性。另外，若使用定常模擬方法對上述動態流場進行數值仿真，所得到的流場參數與氣動性能往往與實際存在較大的誤差，因此需要采用更為先進的模擬手段。

因此，研究飛行器定姿態下的非定常流場環境，獲取隨時間變化的氣動力/熱以及脈動壓力環境，對于現代飛行器氣動性能的精細設計極其必要。

1.1.2 湍流模擬方法研究現狀與發展趨勢

非定常流動數值模擬的一個關鍵性難題是湍流的模擬。隨著計算機技術的進步，湍流的模擬也取得了巨大的發展。湍流數值模擬的精確度大體可分為四個層次：直接數值模擬（Direct Numerical Simulation, DNS）、大渦模擬（Large Eddy Simulation, LES）、湍流模式理論（Reynolds Averaged Navier-Stokes equations, RANS）以及介于RANS和LES之間的混合方法，如脫體渦模擬（Detached Eddy Simulation, DES）[1]。直接數值模擬對湍流所有尺度運動進行求解，需要耗費巨大的計算資源，因此該方法一直停留在科學研究層面，不能用于工程實踐。大渦模擬是介于DNS和RANS方法之間的湍流模擬方法，能夠準確、高效地處理RANS方法難以處理的空間自由湍流，如自由剪切層混合、自由射流及大分離的尾跡區，但對于工程中經常遇到的壁湍流問題，理想的大渦模擬遭遇困境。于是人們提出了LES方法的近壁模型及RANS/LES混合方法。RANS/LES混合方法采用湍流模型模擬小尺度運動占主導地位的近壁區域，用LES直接計算大尺度運動占優的分離區域，是當前計算資源有限條件下合理的選擇方法[2]。混合方法對傳統RANS方法感到棘手的大分離問題特別有效，網格需求量遠小于理想的LES，給工程實際問題提供了解決之道，得到了廣泛的應用[3][4]。對于非定常流動，也有學者采用DES類混合方法進行了數值模擬[5-8]。而基于雷諾平均思想的湍流模式理論是最早應用于工程實踐的，為計算流體力學的發展做出了巨大的貢獻，但非定常的湍流模型（Unsteady RANS, URANS）計算往往使得計算黏性過大，并不適合非定常流動特性研究。

1.1.3 時間格式研究現狀

按照MacCormack的觀點[9]，計算流體力學的發展在20世紀90年代才進入非定常流動數值模擬的階段。理論上講，目前應用廣泛的時間相關法（也稱時間推進法）可以用來計算非定常Euler/Navier-Stokes方程，但需要控制好時間推進的精度和空間離散與網格的匹配關系。非定常數值模擬不僅流動復雜，而且還需要考慮時間精度，因此對非定常計算，理論上最為可靠的是采用像Runge-Kutta一類的時間顯式高階離散算法，但是這類算法在黏性計算時由于邊界層內網格加密造成了顯式格式的穩定時間步長過小，使得其在實際工程應用中受到一定的限制，而在對時間精度要求非常高的科學研究中應用較廣，如湍流的直接數值模擬[10]。因此，高效的隱式時間格式成為工程應用的一個重要前提。常用的隱式格式主要包括基于對系數矩陣作近似因子分解的直接法和迭代法。近似因子分解法主要有對角化方法、AF-ADI方法以及LU-SGS方法，其中，LU-SGS方法因其對角占優且計算效率高，得到了廣泛的應用。但因為它采用了特殊的一階近似（譜分裂技術），其收斂性大大退化，仍需很多時間步才能收斂到定常狀態；并且此類隱式格式為提高計算效率，做了各種近似處理，使得在時間精度上嚴重損失，不能直接應用于非定常時間精度計算。迭代法是對方程直接離散后，采用如高斯—賽德爾等線性迭代方法求解，這類算法的計算量和存儲量較大。這方面研究比較熱門的一類迭代法是Krylov子空間法，目前被廣泛研究的廣義最小殘差法（GMRES）就是此類方法的一個典型代表。GMRES方法只涉及矩陣與向量的乘法，其算法實現可以不用存儲Jacobian矩陣（Jacobian-free或Matrix-free），更重要的是該法擁有良好的收斂特性，因此它已被廣泛地應用于大型稀疏線性系統的求解。Wigton[11]、Johann[12]等人首先將GMRES方法應用于CFD中。目前，GMRES方法的研究熱點主要集中在重啟型GMRES方法[13]、預處理技術[14-15]及在復雜流場中的應用[16-20]。

非定常數值模擬的一個里程碑是20世紀90年代初Jameson[21]等人發展的雙時間步方法（Dual-time-stepping）。該方法在凍結的真實時刻上引入類牛頓迭代的子迭代過程，通過子迭代過程來彌補近似處理帶來的時間精度損失，達到非定常計算時間精度要求。雙時間步方法原理簡單且易編程實現，物理時間步長可根據研究物理問題所要求的精度來選取，而不受穩定性條件的限制，在子迭代過程中可采用各種定常計算的加速收斂技術。雙時間步方法自從提出后就受到廣泛關注，并迅速應用于非定常數值模擬，至今，該方法仍然是時間精度計算非定常問題的最廣泛、最有效的方法。另外Pulliam提出了另一種隱式類牛頓迭代方法——單時間步方法[22]，該方法只用到物理時間推進步長。NASA蘭利研究中心的Rumsey、Bartels等人對雙時間步方法和單時間步方法的性能進行了測評[23]，認為單時間步方法容易受到時間步長的限制，時間步長通常沒有雙時間步方法取得大，造成效率偏低，并且程序經常表現怪異，魯棒性差，以至于CFL3D的作者Rumsey極力不推薦該方法：“You will almost never want to use the t-TS method of time stepping”[24]（注：t-TS method在CFL3D中即為單時間步方法）。

Mcmullen及Jameson[25][26]將時間譜方法應用到Euler/Navier-Stokes方程的求解上。Jameson在2009年發表一篇文章[27]，專門評價了雙時間步方法及時間譜方法在非定常流動計算中的適用性。文獻認為如果子迭代收斂所需要的步數較少，那么雙時間步方法就是實用并且有效的無條件穩定（A-stable）的數值方法，反過來，若子迭代不收斂或需要較多步數收斂，那么該方法就變得代價昂貴，并且時間精度也很難滿足。而時間譜方法非常適用于具有時間周期性的非定常流動，如葉輪機械、直升機旋翼運動，翼型撲動，具有周期性的強迫振動、自激振動等，通常可以在使用較少模態的情況下得到滿意的結果。應用時間譜方法的求解器也叫作頻域求解器，多用于強迫振動求動導數，目前已經有較多的應用實例[28-32]。2002年，John和Jameson[33]提出了一種計算非定常流動的顯隱混合ADI-RK格式，其主要思想是：先用ADI-BDF格式計算一個初始的時間步，產生名義上的時間二階精度解，然后在該解的基礎上用雙時間步龍格—庫塔格式將解迭代到收斂。由于該方法充分考慮了時間精度和收斂性，成為構建非定常時間離散格式的一個新思路[34]。

國內關于時間格式的研究，令人印象深刻的是中國空氣動力研究與發展中心的張涵信院士領導的研究團隊提出的時空二階精度混合通量分裂隱式迭代NND算法[35]。與雙時間步方法相比，雙時間步方法在每步內迭代中都要重新計算右端項，而NND時間推進算法在由n時刻向n+1時刻推進時，右端項只需計算一次，而右端項的計算一般是CFD計算流程中耗時最多的部分，因此，NND算法在效率上優于雙時間步方法。但該方法不能消除各種簡化處理如線性化、顯式邊界條件和黏性項顯式處理等帶來的誤差，意味著該方法雖然對步長沒有穩定性限制，但過大的推進步長會引入較大的誤差。此外，北京航空航天大學的李躍軍[36]提出了一種適用于非定常流動的新型隱式SOR時間推進方法。