1.1 爆炸毀傷數值仿真基礎

1.1.1 數值仿真技術概況

數值仿真方法主要包括有限差分方法、有限元方法、有限體積法、SPH方法等，如圖1-1所示。

1．有限差分方法

有限差分方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法。這種方法首先將求解域劃分為網格，然后通過泰勒級數展開等方式，將控制方程中的導數用網格節點上函數值的差商代替，進行離散操作，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組，通過解算這些方程組獲得問題的近似解。當采用較多的網格節點時，有限差分方法所得近似解的精度可以得到保證。該方法具有數學概念直觀、表達簡單等優點，是發展較早且比較成熟的數值方法。

2．有限元方法

有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法，其求解思想是把計算域離散為一組有限個，且按一定方式相互連接在一起的單元的組合體，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達值，借助變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。由于單元能按不同的連接方式進行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復雜的求解域。

3．有限體積法

有限體積法又稱為控制體積法、有限容積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律。有限體積法的基本思路易于理解，適于解決復雜的工程問題，且具有良好的網格適應性。

4．SPH方法

SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）是光滑粒子流體動力學方法的縮寫，是近年來興起并逐漸得到廣泛應用的一種數值模擬方法，屬于無網格方法。該方法的基本思想是將連續的流體（或固體）用相互作用的質點組來描述，各個物質點上承載各種物理量，包括質量、速度等，通過求解質點組的動力學方程和跟蹤每個質點的運動軌道，求得整個系統的力學行為。由于SPH方法中質點之間不存在網格關系，避免了極度大變形時因網格扭曲造成的精度下降，因此，在處理結構大變形、沖擊破壞等方面具有很大優勢，特別適合在彈藥毀傷仿真領域的應用。

5．數值仿真實例

數值仿真方法是求取復雜微分方程近似解的非常有效的工具，是現代數字化科技的一種重要基礎性原理。在科學研究中，數值仿真方法可稱為探究物質客觀規律的先進手段。將它用于工程技術中，可成為工程設計和分析的可靠工具。嚴格來說，數值仿真分析必須包含三個方面：①數值仿真方法的基本數學原理；②基于原理所形成的實用軟件；③仿真時的計算機硬件。本書的重點是通過一些典型的彈藥毀傷效應實例，運用ANSYS分析平臺來系統地闡述數值仿真分析的基本原理，展示具體應用數值仿真方法的建模過程。

基于功能完善的數值仿真分析軟件和高性能的計算機硬件對設計的結構進行詳細的力學分析，以獲得盡可能真實的結構受力信息，就可以在設計階段對可能出現的各種問題進行安全評判和設計參數修改。據有關資料報道，一個新產品的問題有60%以上可以在設計階段消除，甚至有些結構的施工過程中也需要進行精細的設計，要做到這一點，就需要數值仿真這樣的分析手段。

以下是數值仿真方法在工程實例中的應用：

空客A350后機身第19框的設計與有限元分析過程如圖1-2所示。

北京奧運場館鳥巢的實物和有限元模型對比如圖1-3所示。

圖1-4所示為軍用車輛的底部防地雷模塊的設計過程，以及采用數值仿真分析的情況。

圖1-5所示為高能炸藥爆炸時的試驗與數值仿真結果，可通過兩種結果進行分析比較，研究炸藥爆炸的整個過程。

1.1.2 數值模擬基本過程

針對具有任意復雜幾何形狀的變形體，完整獲取在復雜外力作用下其內部的準確力學信息，即求取該變形體的三類力學信息（位移、應變、應力）。在準確進行力學分析的基礎上，設計師就可以對所設計對象進行強度（strength）、剛度（stiffness）等方面的評判，以便對不合理的設計參數進行修改，以得到較優化的設計方案；然后，再次進行方案修改后的數值仿真分析，以獲得最后的力學評判和校核，確定出最終的設計方案。以有限元分析為例，其工作流程如圖1-6所示。

有限元方法是基于“離散逼近（discretized approximation）”的基本策略，可以采用較多數量的簡單函數的組合來“近似”代替非常復雜的原函數。因此，采用有限元方法可以針對具有任意復雜幾何形狀的結構進行分析，并能夠得到準確的結果。一個復雜的函數，可以通過一系列的基底函數（based function）的組合來“近似”，也就是函數逼近，其中有兩種典型的方法：①基于全域的展開（如采用傅里葉級數展開）; ②基于子域（sub-domain）的分段函數（pieces function）組合（如采用分段線性函數的連接）。

采用有限元方法分析問題的基本步驟如下所示：

（1）建立積分方程：根據變分原理或方程余量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。

（2）區域單元剖分：根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節點的位置坐標，同時，還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。

（3）確定單元基函數：根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由于各單元具有規則的幾何形狀，在選取基函數時，可遵循一定的法則。

（4）單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，并對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數（即單元中各節點的參數值）的代數方程組，稱為單元有限元方程。

（5）總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。

（6）邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，即本質邊界條件（狄里克雷邊界條件）、自然邊界條件（黎曼邊界條件）、混合邊界條件（柯西邊界條件）。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。

（7）解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值。

有限元方程是一個線性代數方程組，一般有兩大類解法：一是直接解法，二是迭代法。直接解法有高斯消元法和三角分解法，如果方程規模比較大，可用分塊解法和波前解法。迭代法有雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和超松弛迭代法等。

通過選用合適的求解法求解經過位移邊界條件處理的公式后，得到整體節點位移列陣，然后根據單元節點位移由幾何矩陣和應力矩陣得到單元節點的應變和應力。對于非節點處的位移，通過形函數插值得到，再由幾何矩陣和應力矩陣求得相應的應變和應力。

應變要通過位移求導得到，精度一般要比位移差一些，尤其對于一次單元，應變和應力在整個單元內是常數，應變和應力的誤差會比較大，特別是當單元數比較少時，誤差更大，因此，對于應力和應變，要進行平均化處理：

（1）繞節點平均法，即依次把圍繞節點的所有單元的應力加起來平均，以此平均應力作為該節點的應力。

（2）二單元平均法，即把相鄰的兩單元的應力加以平均，并以此作為公共邊的節點處的應力。

整理并對有限元法計算結果進行后處理，一是要得到結構中關鍵位置力學量的數值（如最大位移、最大主應力和主應變、等效應力等）；二是得到整個結構的力學量的分布（根據計算結果直接繪制位移分布圖、應力分布圖等）；三是后處理要得到輸入量和輸出量之間的響應關系。

1.1.3 網格生成技術

網格生成技術是指對不規則物理區域進行離散，以生成規則計算區域網格的方法。網格是CFD模型的幾何表達形式，也是模擬與分析的載體。對于復雜的CFD問題，網格的生成極為耗時，并且極易出錯，生成網格所需的時間常常大于實際CFD計算時間。因此，有必要對網格生成技術進行研究。

對于連續介質系統，例如飛行器周圍的氣體，集中在障礙物上的壓力，回路中的電磁場，或者是化學反應器中的濃縮物，都可以用偏微分方程來進行描述的。為了對這些系統進行模擬，需要基于一定數量的時間、空間意義的點對連續性方程進行離散化，并且在這些點上對各種物理量進行計算。離散的方法通常有下列三種：有限差分法、有限體積法、有限元法，都是使用相鄰的點來計算所需要的點。

一般來說，通過連接點的方式的不同，可以把網格類型分為兩種：結構化網格和非結構化網格。結構化網格是正交的處理點的連線，即意味著每個點都具有相同數目的鄰點；而非結構化網格是不規則的連接，每個點周圍的點的數目是不同的。圖1-7給出了兩種網格的例子。

在一些情況中，也有部分網格是結構的，部分網格是非結構的，例如，在黏性流體中，邊界一般使用結構網格，其他部分使用非結構網格。

1．離散法類型

離散的主要方法有有限差分法、有限體積法和有限元法，為了說明這些方法，首先來考慮連續性方程。

式中，ρ是密度；S是源項；U是速度，表示各個方向上的質量流的速度。有限差分法是用下面的辦法來達到對所需要的點的模擬的。例如，對正交網格，矩形在橫軸的長度是h：

有限差分法適用于規則的網格，但對于不規則的網格也可以運用，也可以在特殊的坐標系中對正交網格使用有限差分法（例如在球形極坐標中）。

在有限體積法中，物理空間被分成很多小的體積V，對每一個小的體積運用偏微分方程進行積分：

然后用每個小體積中的每個所求量的平均值來代替所要求的值，用相鄰體積中變量的函數來表示流過每個體積表面的流量。運用有限體積法進行離散，適用于結構或者非結構網格。在非結構網格中，每個表面上的流通量依然可以用相鄰的變量來進行很好的定義。

有限元方法也是把空間分為很多小的體積，相當于很多小的單元，然后在每個單元里，變量和流通量都用勢函數來表示，計算的變量都是這些勢函數中的系數。有限元方法在結構網格運用中沒有明顯的優勢，但在非結構網格中被普遍使用。

2．結構化網格

從嚴格意義上講，結構化網格是指網格區域內所有的內部點都具有相同的毗鄰單元。網格系統中節點排列有序，每個節點與鄰點的關系固定不變。結構化網格具有以下優點：

（1）它可以很容易地實現區域的邊界擬合，適于流體和表面應力集中等方面的計算。

（2）網格生成的速度快。

（3）網格生成的質量好。

（4）數據結構簡單。

（5）對曲面或空間的擬合大多數采用參數化或樣條插值的方法得到，區域光滑，與實際的模型更容易接近。

結構化網格最典型的缺點是適用的范圍比較窄。尤其隨著近幾年的計算機和數值方法的快速發展，人們對求解區域的復雜性的要求越來越高，在這種情況下，結構化網格生成技術就顯得力不從心了。

結構化網格生成技術主要有：正交曲線坐標系中的常規網格生成法、貼體坐標法和對角直角坐標法。結構化網格生成法結構如圖1-8所示。

3．非結構化網格

同結構化網格的定義相對應，非結構化網格是指網格區域內的點不具有相同的毗鄰單元。即在這種網格系統中節點的編號命名并無一定規則，甚至是完全隨意的，并且每一個節點的鄰點個數也不是固定不變的。從定義上可以看出，結構化網格和非結構化網格有相互重疊的部分，即非結構化網格中可能會包含結構化網格的部分。

非結構化網格技術從20世紀60年代開始得到了發展，主要是彌補結構化網格不能夠解決任意形狀和任意連通區域的網格剖分的缺欠。到90年代時，非結構化網格的文獻達到了它的高峰時期。由于非結構化網格的生成技術比較復雜，隨著人們對求解區域的復雜性的不斷提高，對非結構化網格生成技術的要求也越來越高。從現有的文獻情況來看，非結構化網格生成技術中只有平面三角形的自動生成技術比較成熟（邊界的恢復問題仍然是一個難題，現在正在廣泛討論），平面四邊形網格的生成技術正在走向成熟。而空間任意曲面的三角形、四邊形網格的生成技術，三維任意幾何形狀實體的四面體網格和六面體網格的生成技術還遠遠沒有達到成熟，需要解決的問題還非常多。主要的困難是從二維到三維以后，待剖分網格的空間區非常復雜，除四面體單元以外，很難生成同一種類型的網格。需要各種網格形式之間的過渡，如金字塔形、五面體形等。

對于非結構化網格技術，可以根據應用的領域，分為應用于差分法的網格生成技術（grid generation technology）和應用于有限元方法中的網格生成技術（mesh generation technology）。應用于差分計算領域的網格，除了要滿足區域的幾何形狀要求以外，還要滿足某些特殊的性質（如垂直正交、與流線平行正交等），因而從技術實現上來說就更困難一些。基于有限元方法的網格生成技術相對非常自由，對生成的網格只要滿足一些形狀上的要求就可以了。

非結構化網格生成技術還可以從生成網格的方法來區分，主要有以下一些生成方法：

對平面三角形網格生成方法，比較成熟的是基于Delaunay準則的一類網格剖分方法（如Bowyer-Watson Algorithm和Watson's Algorithm）和波前法（Advancing Front Triangulation）的網格生成方法。另外，還有一種基于梯度網格尺寸的三角形網格生成方法，這一方法現在還在發展當中。基于Delaunay準則的網格生成方法的優點是速度快，網格的尺寸比較容易控制。缺點是對邊界的恢復比較困難，很可能造成網格生成的失敗，對這個問題的解決方法現在正在研究中。波前法的優點是對區域邊界擬合的比較好，所以，在流體力學等對區域邊界要求比較高的情況下，常常采用這種方法。它的缺點是對區域內部的網格生成的質量比較差，生成的速度比較慢。

曲面三角形網格生成方法主要有兩種：一種是直接在曲面上生成曲面三角形網格；另外一種是采用結構化和非結構化網格技術偶合的方法，即在平面上生成三角形網格以后再投影到空間的曲面上，這種方法會造成曲面三角形網格的扭曲和局部拉長，因此，在平面上必須采用一定的修正技術來保證生成的曲面網格的質量。

平面四邊形網格的生成有兩類主要方法：一類是間接法，即在區域內部先生成三角形網格，然后分別將兩個相鄰的三角形合并成一個四邊形。生成的四邊形的內角很難保證接近直角。所以，再采用一些相應的修正方法（如Smooth）加以修正。這種方法的優點是首先就得到了區域內整體的網格尺寸的信息，對四邊形網格尺寸梯度的控制一直是四邊形網格生成技術的難點。缺點是生成的網格質量相對比較差，需要多次修正，同時，需要首先生成三角形網格，生成的速度也比較慢，程序的工作量大。

另一類是直接法，二維的情況稱為鋪磚法（paving method）。采用從區域的邊界到區域的內部逐層剖分的方法。這種方法到現在已經逐漸替代間接法而成為四邊形網格的主要生成方法。它的優點是生成的四邊形的網格質量好，對區域邊界的擬合比較好，最適合流體力學的計算。缺點是生成的速度慢，程序設計復雜。空間的四邊形網格生成方法到現在還是主要采用結構化與非結構化網格相結合的網格生成方法。

三維實體的四面體和六面體網格生成方法現在還遠遠沒有達到成熟。部分四面體網格生成器雖然已經達到了使用的階段，但是對任意幾何體的剖分仍然沒有解決，現在的解決方法就是采用分區處理的辦法，將復雜的幾何區域劃分為若干個簡單的幾何區域，然后分別剖分再合成，對凹區的處理更是如此。

六面體的網格生成技術主要采用的是間接方法，即以四面體網格剖分作為基礎，然后生成六面體。這種方法生成的速度比較快，但是生成的網格很難達到完全的六面體，會剩下部分四面體，四面體和六面體之間需要金字塔形的網格來連接。現在還沒有看到比較成熟的直接生成六面體的網格生成方法。

圖1-9所示是網格生成技術在具體實例中的應用。