第一章　有理數

第一節　有理數及相關概念

學習目標

1. 掌握有理數的概念，能對有理數進行分類.

2. 掌握數軸、相反數、絕對值的概念并能靈活應用.

3. 借助數軸理解相反數、絕對值的幾何意義；初步理解數形結合和分類討論思想.

知識精講

1. 正數和負數.

（1）正數：像3，1.6%，這樣大于0的數叫作正數.

（2）負數：像-3，-2.5%，-2.5這樣在正數前面加上符號“-”（負）的數叫作負數.

注：正數前面的“+”號一般省略不寫，而負數前面的“-”號不能省略.

2. 有理數：整數與分數統稱有理數.

3. 有理數的分類：

注：① 小學學過的π不是有理數，而是無理數.

② “四非”：即非負數、非負整數、非正數、非正整數. （不要丟掉“0”）

③ “0”既不是正數也不是負數.

④

4. 數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸.

注：數軸的三要素是原點、正方向、單位長度.

5. 相反數：只有符號不同的兩個數叫作互為相反數. 特別地，0的相反數是0.

注：① 若a與b互為相反數，則a+b=0，反之也成立.

②若兩個數互為相反數，則這兩個數位于原點的兩側，且到原點的距離相等.

③-a不一定是負數. +a代表a本身（不一定是正數）.

6. 絕對值.

（1）絕對值的幾何意義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離. 數a的絕對值記作|a|.

（2）絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.

注：① 任何一個數a的絕對值都是非負數，即|a|≥0.

② 即“非負為本身，負數為相反”.

7. （1）倒數：若a與b的乘積等于1，則稱a與b互為倒數；反之，若a與b互為倒數，則a·b=1.

注：① 0沒有倒數；中a≠0.

② 求帶分數的倒數時要先將其變成假分數，然后再求倒數.

③ 求小數的倒數，應先將小數化成分數，然后再求倒數.

※（2）負倒數：若a與b的乘積是-1，則稱a與b互為負倒數. 反之，若a與b互為負倒數，則a·b=-1.

注：※本知識點課標不做要求.

方法提煉

1. 比較有理數大小的常用方法.

（1）代數法：正數大于非正數，零大于一切負數.

（2）數軸法：數軸上右邊的數比左邊的數大.

（3）絕對值法：對于兩個負數，絕對值大的反而小.

（4）特殊值法：給題目中的字母一個特定的值，然后代入求值，進而比較大小.

（5）作差法：（a-b>0?a>b；a-b=0?a=b，a-b<0?a<b）

2. 數學思想.

（1）初步理解分類討論的思想. 分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出結果，最后綜合各類結果得到整個問題的解答. 實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.

（2）體會數形結合思想. 本章中的“數”就是有理數，“形”就是數軸，由于任意一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示，因此運用數形結合思想可解決與數軸有關的問題.

典例精析

例題1. 下列說法中正確的個數是（?。?

（1）|a|一定大于0；（2）-a一定是負數；（3）|-m|的倒數一定是；（4）-|a|-1一定是負數；（5）若a·b=0，則a，b均為0；（6）若|x|=|y|，則x與y相等或互為相反數；（7）若|x|+|y|=0，則x，y中至少有一個為0.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【思路點撥】　|a|≥0，-|a|-1<0，∴（1）錯誤，（4）正確. a可以表示正數、0和負數，∴-a不一定是負數，∴（2）錯誤. |-m|的倒數為，且m≠0，∴（3）錯誤. a·b=0，a，b至少有一個為0，∴（5）錯誤. 兩數相等或互為相反數，則這兩個數的絕對值相等，∴（6）正確. |x|+|y|=0，則x=y=0，∴（7）錯誤.

【答案】　C

例題2. 試比較3a與a的大小.

【思路點撥】　因為a可以是正數、0或負數，所以3a與a不能確定大小，需要分類討論. 比較兩個含字母的式子的大小，通?？紤]用作差法.

【解】　∵3a-a=2a，當a>0時，3a>a；當a<0時，3a<a；當a=0時，3a=a.

典題精練

1. 下列說法中，正確的是（?。?

A. 正數和負數統稱為有理數

B. 任何有理數均有倒數

C. 絕對值相等的兩個數相等

D. 任何有理數的絕對值一定是非負數

2. 數軸上的點A到原點的距離是6，則點A表示的數為（?。?

A. 6或-6

B. 6

C. -6

D. 3或-3

3. 下列各組數中，互為相反數的是（　）.

A. -2和

B. 2和-2

C. -2和

D. 和2

4. 下列各式中結果為負數的是（　）.

A. -（-3）

B. +［-（-3）］

C. -|-3|

D. |-3|

5. 下列各數中：15，，-5，3.8，，23%，0.42，0，-|-0.05|，-π，負有理數有_____，分數有_____，非負整數有_____.

6. 的倒數是_____，-3的相反數是_____. -|-3|的絕對值為_____.

7. 數軸上的P點與表示有理數2的點的距離是6個單位長度，則P點表示的數是_____.

8. （1）數a、b在數軸上對應的點如圖1-1-1所示，則a，-a，b，-b按從小到大的順序排列為___（用“<”號連接）.

（2）比較大?。?img alt="" class="zhangyue-img-h1" src="https://epubservercos.yuewen.com/B6BA49/17545850307265606/epubprivate/OEBPS/Images/23425-00-12-8.jpg?sign=1749991477-9ei0CrOmXZi7hYszuJG3DT08Ygbhcu1g-0-94dfb8f77d9d494dc766e23a6632286b">_____.

9. 若2m+6與-10互為相反數，則m=_____.

10. 若a與b互為相反數，c與d互為倒數，m為最小的正整數，n的絕對值為2，且n<0. 求+2014cd+n-m的值.

中考真題

真題1. （浙江衢州）比1小2的數是（?。?

A. 3

B. 1

C. -1

D. -2

真題2. （1）（江蘇南京）-3的相反數是_____；-3的倒數是_____.

（2）（湖北鄂州）若|p+3|=0，則p=_____.