第二節　平行線的性質和判定

學習目標

1. 理解平行線的概念，掌握平行公理及其推論.

2. 掌握兩條直線平行的判定方法.

3. 掌握平行線的性質，能用平行線的性質解決一些簡單問題.

知識精講

1. 平行線的概念：在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線.

注：① 平行線的概念包含兩個條件：一是在同一平面內；二是不相交的兩條直線.

② 在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系有兩種：平行和相交.

③ 在同一平面內，對于線段或射線來說，指的是它們所在的直線平行.

2. 平行線的畫法. 過一點畫一條直線的平行線的步驟，如表5-2-1所示.

3. 平行公理及推論.

（1）平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

（2）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

注：① 點必須在直線外，而不是在直線上.

② 平行公理的推論是平行線的一種判定方法.

③ 作輔助線時不能作一條直線與兩條直線同時平行，而是先作與一條直線平行，再證明與另一條直線平行.

4. 平行線的判定.

（1）定義.

（2）平行公理的推論：如圖5-2-1所示，在同一平面內，平行于同一條直線的兩直線平行.

用符號語言表示：∵a∥b，b∥c，∴a∥c.

（3）判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行. 簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

用符號語言表示：如圖5-2-2所示，∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）.

（4）判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行. 簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.

用符號語言表示：如圖5-2-3所示，∵∠1=∠3（已知），∴a∥b（內錯角相等，兩直線平行）.

（5）判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行. 簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行.

用符號語言表示：如圖5-2-4所示，∵∠2+∠3=180°（已知），∴a∥b（同旁內角互補，兩直線平行）.

注：在判定兩條直線平行的五種方法中，定義一般不常用，其他四種方法要靈活應用.

5. 平行線的性質.

（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等. 簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

（2）兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等. 簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.

（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補. 簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.

方法提煉

1. 平行線的性質與判定的區別和聯系.

區別：性質由形到數，用于推導角的關系并計算；判定由數到形，用于判定兩直線平行.

聯系：性質與判定的題設和結論正好相反，都是角的關系與平行線的關系.

2. 遇到平行線的條件，我們應該想到同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補.

典例精析

例題1. 下列語句中正確的個數有（　）.

（1）在同一平面內兩條直線不平行就相交.

（2）過一點有且只有一條直線與已知直線平行.

（3）在同一平面內，兩條射線或線段平行是指它們所在的直線平行.

（4）兩條不相交的直線是平行線.

A. 1個

B. 2個

C. 3個

D. 4個

【思路點撥】在同一平面內兩直線的位置關系只有兩種：平行和相交，所以（1）正確；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以（2）錯誤；（3）正確；（4）忽略了在同一平面內這一前提，所以（4）錯誤.

【答案】B

例題2. 如圖5-2-5所示，已知∠1=∠2，∠3=100°，∠B=80°. 試說明：EF∥CD.

【思路點撥】由“∠1=∠2”可得AB∥CD；再由“∠3=100°，∠B=80°”可得∠3+∠B=180°，從而可證AB∥EF，進而結論得證.

【解】∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）.

∵∠3=100°，∠B=80°（已知），∴∠3+∠B=180°.

∴AB∥EF（同旁內角互補，兩直線平行）.

∴EF∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行）.

典題精練

1. （1）如圖5-2-6所示，直線a∥b，直線c與a、b相交，∠1=55°，則∠2=（　）.

A. 35°

B. 55°

C. 65°

D. 125°

（2）如圖5-2-7所示，已知AB∥CD，∠2=135°，則∠1的度數是（　）.

A. 35°

B. 45°

C. 55°

D. 65°

（3）如圖5-2-8所示，直線a，b被直線c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，則∠4等于（　）.

A. 40°

B. 50°

C. 70°

D. 80°

2. 如圖5-2-9所示，直線a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直線b，c，d交于一點，若∠1=50°，則∠2等于（　）.

A. 60°

B. 50°

C. 40°

D. 30°

3. 下列說法中正確的是（　）.

A. 兩直線被第三條直線所截得的同位角相等

B. 兩直線被第三條直線所截得的同旁內角互補

C. 兩平行線被第三條直線所截得的同位角的平分線互相垂直

D. 兩平行線被第三條直線所截得的同旁內角的平分線互相垂直

4. 如圖5-2-10所示，下列推理中錯誤的是（　）.

A. ∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD

B. ∵∠DCE=∠ABC，∴AB∥CD

C. ∵∠3=∠4，∴AD∥BC

D. ∵∠1=∠2，∴AD∥BC

5. 如圖5-2-11所示，直線a∥b，三角板的直角頂點在直線a上，已知∠1=25°，則∠2的度數為______.

6. 如圖5-2-12所示，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，則∠ACD=______度.

7. 如圖5-2-13所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求證：∠AED=∠C.

證明：∵∠1+∠2=180°（　），∠1+∠DFE=180°（　），

∴______=______（　）.

∴______∥______（　）.

∴∠3=∠ADE（　）.

∵∠3=∠B（　），

∴∠ADE=∠B（　）.

∴______∥______（　）.

∴∠AED=∠C（　）.

8. （1）如圖5-2-14所示，AC∥DE，AE平分∠CAB，DF平分∠EDB，試說明：AE∥DF.

（2）如圖5-2-15所示，AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2，試說明：BE∥CF.

9. 如圖5-2-16所示，∠1=∠2，∠C=∠D. 試說明：∠F=∠A.

10. 如圖5-2-17所示，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1=∠2，試說明：∠3=∠E.

中考真題

真題1. （浙江麗水）如圖5-2-18所示，直線a∥b，AC⊥AB，AC交直線b于點C，∠1=60°，則∠2的度數是（　）.

A. 50°

B. 45°

C. 35°

D. 30°

真題2. （浙江臺州）如圖5-2-19所示，折疊一張矩形紙片，已知∠1=70°，則∠2的度數是______.