第五章　相交線和平行線

第一節　相交線

學習目標

1. 理解并掌握鄰補角及對頂角的概念和性質，能根據對頂角的性質、鄰補角的概念等知識，進行簡單的計算.

2. 理解垂線的概念，會過一點畫已知直線的垂線. 理解并掌握垂線段的意義和點到直線的距離的概念.

3. 在兩條直線被第三條直線所截時，認識同位角、內錯角、同旁內角.

知識精講

1. 鄰補角、對頂角的概念.

（1）如果兩個角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關系的兩個角叫作互為鄰補角.

（2）如果兩個角有公共頂點，并且其中一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，那么具有這種位置關系的兩個角叫作對頂角.

如圖5-1-1所示，直線AB與CD相交于點O，其中∠AOC與∠BOD，∠AOD與∠BOC是對頂角；∠AOC的鄰補角是∠AOD和∠BOC.

注：① 互為鄰補角的兩個角具備的條件：一是有一條邊為公共邊；二是另一條邊互為反向延長線.

② 互為對頂角的兩個角具備的條件：一是有公共頂點；二是兩個角的兩邊互為反向延長線. 互為對頂角的兩個角也可以說成：兩直線相交，不相鄰的兩個角互為對頂角.

③ 鄰補角、對頂角成對出現，在兩條相交直線所成的角中，一個角的鄰補角有兩個，一個角的對頂角只有一個.

2. 對頂角、鄰補角的性質.

（1）對頂角相等.

（2）鄰補角互補.

注：① 對頂角相等，相等的兩個角不一定是對頂角.

② 鄰補角互補，互補的角不一定是鄰補角.

3. 垂線.

（1）概念. 當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.

注：垂直與垂線不同，垂直是指兩直線的位置關系，而垂線是指兩直線垂直時，其中一條叫另一條的垂線. 兩者也有聯系，只有在垂直的情況下才會有垂線.

（2）垂線的畫法.

① 一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上.

② 二移：移動三角尺，使已知點落在它的另一條直角邊上.

③ 三畫：沿著這條直角邊畫直線.

注：① 畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在的直線的垂線.

② 過一點作線段的垂線，垂足可以在線段上，也可以在線段的延長線上.

（3）垂線的性質.

性質1：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

注：性質2是今后說明線路最短問題的一個重要依據.

4. 點到直線的距離是指直線外一點到這條直線的垂線段的長度.

注：距離是指垂線段的長度，是一個數量；垂線段是圖形，它們之間不能等同.

5. 同位角、內錯角、同旁內角，其位置特征與基本圖形如表5-1-1所示.

注：① 抓住兩角有“共線邊”來理解同位角、內錯角或同旁內角.

② 這三種角揭示的僅僅是兩角的位置關系，并無大小關系. 同位角形狀像字母“F”，內錯角形狀像字母“Z”，同旁內角形狀像字母“U”. 這三類角都是沒有公共頂點的角.

方法提煉

1. 鄰補角和對頂角的性質揭示的都是兩角的數量關系，不但在角度的運算中應用非常廣泛，而且也是今后證明兩角相等的重要依據.

2. 垂線的定義既可作為垂線的性質，又可作為垂線的判定.

3. 遇到幾何圖形求面積通常考慮作垂線.

4. 實際問題中涉及路線最短問題時，其理論依據應從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”中去選擇.

典例精析

例題1. 如圖5-1-2所示，若∠1∶∠2=2∶7，求各角的度數.

【思路點撥】利用鄰補角定義和對頂角性質求各角度數. 題目中出現比的條件，可以考慮設參數的方法，這是解決比的問題的一種常用的方法.

【解】設∠1=2x°，則∠2=7x°，

∵∠1+∠2=180°，∴2x+7x=180°.∴x=20.∴∠1=40°，∠2=140°.

∵∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=40°，∠4=140°.

例題2. （1）直線l上有A、B、C三點，直線l外有一點P，且PA=2cm，PB=3cm，PC=5cm，那么點P到直線l的距離（　）.

A. 等于2cm

B. 小于2cm

C. 小于或等于2cm

D. 大于2cm且小于3cm

（2）如圖5-1-3所示，∠1=53°，∠2=37°，CD與CE的位置關系是______.

【思路點撥】（1）點P到直線l的距離是從點P到直線l的垂線段的長度，根據“垂線段最短”，若PA⊥l，則距離為2cm；若PA不垂直于l，則距離小于2cm.

（2）先求出∠DCE的度數，再判定CD與CE的位置關系.

【答案】（1）C　（2）垂直

典題精練

1. （1）圖中是對頂角的是（　）.

（2）如圖5-1-4所示，∠1的鄰補角是（　）.

A. ∠BOC

B. ∠BOC和∠AOF

C. ∠AOF

D. ∠BOE和∠AOF

2. 如圖5-1-5所示，直線AB與CD相交于點O，若∠AOC+∠BOC＋∠DOB=242°，則∠AOC的度數為（　）.

A. 62°

B. 118°

C. 72°

D. 59°

3. 下列說法正確的有（　）.

① 對頂角相等. ② 相等的角是對頂角. ③ 若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等. ④ 鄰補角互補. ⑤ 互補的角是鄰補角.

A. 1個

B. 2個

C. 3個

D. 4個

4. 下列說法正確的有（　）.

① 在平面內，過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線.

② 在平面內，過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線.

③ 在平面內，過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線.

④ 在平面內，有且只有一條直線垂直于已知直線.

⑤ 連接兩點間的線段叫作這兩點間的距離.

⑥ 過點A作直線l的垂線段，則這條垂線段叫作點A到直線l的距離.

A. 1個

B. 2個

C. 3個

D. 4個

5. 如圖5-1-6所示，BC⊥AC，AD⊥CD，AB=m，CD=n，則AC的取值范圍是（　）.

A. AC＜m

B. AC＞n

C. n≤AC≤m

D. n＜AC＜m

6. 如圖5-1-7所示，下列結論正確的是（　）.

A. ∠5與∠2是對頂角

B. ∠1與∠3是同位角

C. ∠2與∠3是同旁內角

D. ∠1與∠2是同旁內角

7. O為平面上一點，過點O在這個平面上引5條不同的直線l1，l2，…，l5，則最多可形成______對以O為頂點的對頂角，最多可形成______對以O為頂點的鄰補角.

8. 如圖5-1-8所示，村莊A和村莊B要從河流l引水入莊，需修筑一水渠，請你畫出使修筑水渠的長度最短的路線圖.

9. 如圖5-1-9所示，三條直線AB、CD、EF相交于點O，且CD⊥EF，∠AOE=70°，若OG平分∠BOF，求∠DOG的度數.

10. 如圖5-1-10所示，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE=4∶1，求∠AOF的度數.

中考真題

真題1. （江蘇蘇州）已知∠α和∠β是對頂角，若∠α=30°，則∠β的度數為（　）.

A. 30°

B. 60°

C. 70°

D. 150°

真題2. （河南）如圖5-1-11所示，直線AB、CD相交于點O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，則∠CON的度數為（　）.

A. 35°

B. 45°

C. 55°

D. 65°