2.3　平面機構的自由度計算

運動鏈需滿足一定的條件才能成為機構。一般通過計算自由度，可判別由多個構件與運動副組成的運動鏈能否成為機構。

2.3.1　平面機構的自由度計算公式

在平面機構中，設機構的總構件數為N。由于機架是固定構件，其自由度為零，則活動構件數n=N-1。一個活動構件在用運動副連接前有3個自由度，則全部活動構件的總自由度數為3n。若機構中的低副數為PL個，高副數PH個。當構件經運動副連接后，其自由度必然減少，全部運動副在機構中所引入的約束總數為2PL+PH。用機構中活動構件的總自由度數3n減去運動副引入的約束總數2PL+PH，便是該機構的自由度F。可表示為：

F=3n-（2PL+PH）（2-2）

例2-1　計算圖2-14所示活塞泵的自由度。

解：活塞泵具有4個活動構件，即n=4；含5個低副（4個轉動副與1個移動副）和1個高副，即PL=5，PH=1。按式（2-2）計算有：

F=3×4-2×5-1=1

活塞泵機構的自由度等于1。

2.3.2　運動鏈成為機構的條件

一個運動鏈能否成為機構，是評價機構設計方案的關鍵內容。

運動鏈要成為機構，首先其自由度必須大于零，即F＞0。如圖2-15所示的運動鏈，其n=2，PL=3，PH=0，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×2-（2×3+0）=0

表明該運動鏈的各構件之間無相對運動，僅是一個剛性桁架。

設一個原動件僅提供一個獨立運動。當運動鏈的自由度大于零時，還要求它的原動件數與自由度數相等。如圖2-16所示的運動鏈，其n=3，PL=4，PH=0，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×3-（2×4+0）=1

取構件1為原動件，不考慮摩擦和重力影響，由幾何關系知：每給定構件1的一個轉角Φ1，構件2與3便有確定的相對位置，即該運動鏈能成為機構。若同時取構件1和3為原動件，則構件2可能會被破壞。

又如圖2-17所示的運動鏈，其n=4，PL=5，PH=0，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×4-（2×5+0）=2

若僅取構件1為原動件，由幾何關系知：每給定構件1的一個轉角Φ1，構件2、3與4的位置無法確定，處于無序運動狀態，該運動鏈不能成為機構。當取構件1和4為原動件，由幾何關系知：給定構件1和4的一個轉角Φ1、Φ4，構件2與3便有確定的相對位置，即該運動鏈能成為機構。

綜上所述，運動鏈要成為機構的條件是：運動鏈的自由度數必須大于零，且原動件數等于選定機架后運動鏈的自由度數。

2.3.3　平面機構自由度計算時的注意事項

在利用公式（2-1）計算平面機構自由度的過程中，還應注意以下三方面的問題。

2.3.3.1　復合鉸鏈

兩個以上構件在同一處由轉動副相連接時，所構成的運動副被稱為復合鉸鏈，如圖2-18（a）所示，三個構件在A處用轉動副連接。從圖2-18（b）所示的側視圖可知，三個構件共組成兩個轉動副。若有k個構件在同一處組成復合鉸鏈，則所構成的轉動副應為（k-1）個。

圖2-19所示的搖篩機構中，活動構件數n=5，A、B、D、E和F各是一個轉動副。在C處構件2、3與4組成復合鉸鏈，包含兩個轉動副，有PL=7，PH=0，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×5-（2×7+0）=1

2.3.3.2　局部自由度

圖2-20（a）所示為凸輪機構，其n=2，PL=2，PH=1，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×2-（2×2+1）=1

可將凸輪1的轉動變換為從動件2的往復移動。

為了減少高副元素的磨損，工程中常應用如圖2-20（b）所示的結構，在凸輪1與從動件2之間安裝一個滾子3，其n=3，PL=3，PH=1，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×3-（2×3+1）=2

這是因為滾子3能繞自身軸轉動，引入了一個自由度，而這個自由度對整個機構的運動不產生影響，一般被稱為局部自由度。在計算機構自由度時，應除去由滾子3帶來的局部自由度，可將圖2-20（b）中的構件2與滾子3剛化成圖2-20（a）中的構件2，然后計算其自由度。

2.3.3.3　虛約束

如圖2-21所示的平面連桿機構中，已知AB//CD、AE//DF，并且AB=CD、AE=DF。由幾何關系可知，在機構的運行過程中，點E與點F之間的距離始終相同。若增加轉動副E、F和構件5，機構的運動并未發生變化。由構件5和轉動副E、F在機構中引入的是重復約束，被稱為虛約束。在計算機構自由度時應去除。

虛約束一般具有一定的特殊幾何關系，通常發生在以下場合。

（1）兩構件間構成的多個平行運動副。如圖2-22所示，構件1（轉子）與2之間組成兩個同軸線的轉動副A和A′。如圖2-23所示，構件2與3之間組成兩個導路相互平行的移動副B和B′。如圖2-24所示，構件1與2組成兩個接觸點間距為常數的高副C和C′。在這多個運動副中，僅有一個運動副起約束作用，其余均為虛約束。

（2）連接構件與被連構件上連接點處的軌跡重合。如圖2-25所示橢圓規機構中，已知BC=CD=AC，∠BAD=90°；由幾何關系可知D點的運動軌跡必沿AD方向。由于D處的滑塊沿導路AD的運動軌跡與其重合，引入的約束對機構運動無影響，所以為虛約束。

（3）機構中對運動無影響的對稱部分。如圖2-26所示周轉輪系，輪系中有兩個行星輪。雖然運動傳遞僅要求一個行星輪，但對稱增加的行星輪卻使輪系受力均衡且能傳遞更大動力。由于對稱部分引入的約束對機構運動無影響，所以為虛約束。

雖然虛約束對機構的運動無影響，但卻能解決許多工程問題，如增大機構剛度、改善構件受力等。當機構使用虛約束時應慎重，必須嚴格保證設計、加工、安裝的精度，以滿足虛約束所需的特定幾何條件。

例2-2　計算圖2-27（a）所示大篩機構的自由度。

解：機構在F處的滾子是一個局部自由度，必須與頂桿剛化。頂桿與機架間的移動副E和E′因導路平行屬虛約束，可將其E′去除。因3個構件在C處用轉動副連接，屬復合鉸鏈（含2個轉動副）。在化簡后的機構運動簡圖2-27（b）中，已知n=7，PL=9，PH=1，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×7-（2×9+1）=2

該機構的自由度F與其原動件數均為2。給定曲柄1和凸輪7的運動，滑塊6可實現預期的往復運動。

思考題與習題

2-1　運動鏈成為機構的條件是什么？

2-2　計算機構自由度時應注意什么問題？

2-3　繪制題圖2-1所示機構的運動簡圖。

2-4　計算題圖2-2～題圖2-9所示各機構的自由度，并指出其中的復合鉸鏈、局部自由度和虛約束。