2.3　平面機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算

運(yùn)動(dòng)鏈需滿足一定的條件才能成為機(jī)構(gòu)。一般通過計(jì)算自由度，可判別由多個(gè)構(gòu)件與運(yùn)動(dòng)副組成的運(yùn)動(dòng)鏈能否成為機(jī)構(gòu)。

2.3.1　平面機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算公式

在平面機(jī)構(gòu)中，設(shè)機(jī)構(gòu)的總構(gòu)件數(shù)為N。由于機(jī)架是固定構(gòu)件，其自由度為零，則活動(dòng)構(gòu)件數(shù)n=N-1。一個(gè)活動(dòng)構(gòu)件在用運(yùn)動(dòng)副連接前有3個(gè)自由度，則全部活動(dòng)構(gòu)件的總自由度數(shù)為3n。若機(jī)構(gòu)中的低副數(shù)為PL個(gè)，高副數(shù)PH個(gè)。當(dāng)構(gòu)件經(jīng)運(yùn)動(dòng)副連接后，其自由度必然減少，全部運(yùn)動(dòng)副在機(jī)構(gòu)中所引入的約束總數(shù)為2PL+PH。用機(jī)構(gòu)中活動(dòng)構(gòu)件的總自由度數(shù)3n減去運(yùn)動(dòng)副引入的約束總數(shù)2PL+PH，便是該機(jī)構(gòu)的自由度F。可表示為：

F=3n-（2PL+PH）（2-2）

例2-1　計(jì)算圖2-14所示活塞泵的自由度。

解：活塞泵具有4個(gè)活動(dòng)構(gòu)件，即n=4；含5個(gè)低副（4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副與1個(gè)移動(dòng)副）和1個(gè)高副，即PL=5，PH=1。按式（2-2）計(jì)算有：

F=3×4-2×5-1=1

活塞泵機(jī)構(gòu)的自由度等于1。

2.3.2　運(yùn)動(dòng)鏈成為機(jī)構(gòu)的條件

一個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈能否成為機(jī)構(gòu)，是評價(jià)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的關(guān)鍵內(nèi)容。

運(yùn)動(dòng)鏈要成為機(jī)構(gòu)，首先其自由度必須大于零，即F＞0。如圖2-15所示的運(yùn)動(dòng)鏈，其n=2，PL=3，PH=0，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×2-（2×3+0）=0

表明該運(yùn)動(dòng)鏈的各構(gòu)件之間無相對運(yùn)動(dòng)，僅是一個(gè)剛性桁架。

設(shè)一個(gè)原動(dòng)件僅提供一個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)鏈的自由度大于零時(shí)，還要求它的原動(dòng)件數(shù)與自由度數(shù)相等。如圖2-16所示的運(yùn)動(dòng)鏈，其n=3，PL=4，PH=0，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×3-（2×4+0）=1

取構(gòu)件1為原動(dòng)件，不考慮摩擦和重力影響，由幾何關(guān)系知：每給定構(gòu)件1的一個(gè)轉(zhuǎn)角Φ1，構(gòu)件2與3便有確定的相對位置，即該運(yùn)動(dòng)鏈能成為機(jī)構(gòu)。若同時(shí)取構(gòu)件1和3為原動(dòng)件，則構(gòu)件2可能會(huì)被破壞。

又如圖2-17所示的運(yùn)動(dòng)鏈，其n=4，PL=5，PH=0，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×4-（2×5+0）=2

若僅取構(gòu)件1為原動(dòng)件，由幾何關(guān)系知：每給定構(gòu)件1的一個(gè)轉(zhuǎn)角Φ1，構(gòu)件2、3與4的位置無法確定，處于無序運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，該運(yùn)動(dòng)鏈不能成為機(jī)構(gòu)。當(dāng)取構(gòu)件1和4為原動(dòng)件，由幾何關(guān)系知：給定構(gòu)件1和4的一個(gè)轉(zhuǎn)角Φ1、Φ4，構(gòu)件2與3便有確定的相對位置，即該運(yùn)動(dòng)鏈能成為機(jī)構(gòu)。

綜上所述，運(yùn)動(dòng)鏈要成為機(jī)構(gòu)的條件是：運(yùn)動(dòng)鏈的自由度數(shù)必須大于零，且原動(dòng)件數(shù)等于選定機(jī)架后運(yùn)動(dòng)鏈的自由度數(shù)。

2.3.3　平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時(shí)的注意事項(xiàng)

在利用公式（2-1）計(jì)算平面機(jī)構(gòu)自由度的過程中，還應(yīng)注意以下三方面的問題。

2.3.3.1　復(fù)合鉸鏈

兩個(gè)以上構(gòu)件在同一處由轉(zhuǎn)動(dòng)副相連接時(shí)，所構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)副被稱為復(fù)合鉸鏈，如圖2-18（a）所示，三個(gè)構(gòu)件在A處用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。從圖2-18（b）所示的側(cè)視圖可知，三個(gè)構(gòu)件共組成兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副。若有k個(gè)構(gòu)件在同一處組成復(fù)合鉸鏈，則所構(gòu)成的轉(zhuǎn)動(dòng)副應(yīng)為（k-1）個(gè)。

圖2-19所示的搖篩機(jī)構(gòu)中，活動(dòng)構(gòu)件數(shù)n=5，A、B、D、E和F各是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副。在C處構(gòu)件2、3與4組成復(fù)合鉸鏈，包含兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，有PL=7，PH=0，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×5-（2×7+0）=1

2.3.3.2　局部自由度

圖2-20（a）所示為凸輪機(jī)構(gòu)，其n=2，PL=2，PH=1，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×2-（2×2+1）=1

可將凸輪1的轉(zhuǎn)動(dòng)變換為從動(dòng)件2的往復(fù)移動(dòng)。

為了減少高副元素的磨損，工程中常應(yīng)用如圖2-20（b）所示的結(jié)構(gòu)，在凸輪1與從動(dòng)件2之間安裝一個(gè)滾子3，其n=3，PL=3，PH=1，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×3-（2×3+1）=2

這是因?yàn)闈L子3能繞自身軸轉(zhuǎn)動(dòng)，引入了一個(gè)自由度，而這個(gè)自由度對整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生影響，一般被稱為局部自由度。在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)，應(yīng)除去由滾子3帶來的局部自由度，可將圖2-20（b）中的構(gòu)件2與滾子3剛化成圖2-20（a）中的構(gòu)件2，然后計(jì)算其自由度。

2.3.3.3　虛約束

如圖2-21所示的平面連桿機(jī)構(gòu)中，已知AB//CD、AE//DF，并且AB=CD、AE=DF。由幾何關(guān)系可知，在機(jī)構(gòu)的運(yùn)行過程中，點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離始終相同。若增加轉(zhuǎn)動(dòng)副E、F和構(gòu)件5，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)并未發(fā)生變化。由構(gòu)件5和轉(zhuǎn)動(dòng)副E、F在機(jī)構(gòu)中引入的是重復(fù)約束，被稱為虛約束。在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)應(yīng)去除。

虛約束一般具有一定的特殊幾何關(guān)系，通常發(fā)生在以下場合。

（1）兩構(gòu)件間構(gòu)成的多個(gè)平行運(yùn)動(dòng)副。如圖2-22所示，構(gòu)件1（轉(zhuǎn)子）與2之間組成兩個(gè)同軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)副A和A′。如圖2-23所示，構(gòu)件2與3之間組成兩個(gè)導(dǎo)路相互平行的移動(dòng)副B和B′。如圖2-24所示，構(gòu)件1與2組成兩個(gè)接觸點(diǎn)間距為常數(shù)的高副C和C′。在這多個(gè)運(yùn)動(dòng)副中，僅有一個(gè)運(yùn)動(dòng)副起約束作用，其余均為虛約束。

（2）連接構(gòu)件與被連構(gòu)件上連接點(diǎn)處的軌跡重合。如圖2-25所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，已知BC=CD=AC，∠BAD=90°；由幾何關(guān)系可知D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡必沿AD方向。由于D處的滑塊沿導(dǎo)路AD的運(yùn)動(dòng)軌跡與其重合，引入的約束對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)無影響，所以為虛約束。

（3）機(jī)構(gòu)中對運(yùn)動(dòng)無影響的對稱部分。如圖2-26所示周轉(zhuǎn)輪系，輪系中有兩個(gè)行星輪。雖然運(yùn)動(dòng)傳遞僅要求一個(gè)行星輪，但對稱增加的行星輪卻使輪系受力均衡且能傳遞更大動(dòng)力。由于對稱部分引入的約束對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)無影響，所以為虛約束。

雖然虛約束對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)無影響，但卻能解決許多工程問題，如增大機(jī)構(gòu)剛度、改善構(gòu)件受力等。當(dāng)機(jī)構(gòu)使用虛約束時(shí)應(yīng)慎重，必須嚴(yán)格保證設(shè)計(jì)、加工、安裝的精度，以滿足虛約束所需的特定幾何條件。

例2-2　計(jì)算圖2-27（a）所示大篩機(jī)構(gòu)的自由度。

解：機(jī)構(gòu)在F處的滾子是一個(gè)局部自由度，必須與頂桿剛化。頂桿與機(jī)架間的移動(dòng)副E和E′因?qū)菲叫袑偬摷s束，可將其E′去除。因3個(gè)構(gòu)件在C處用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，屬復(fù)合鉸鏈（含2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副）。在化簡后的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖2-27（b）中，已知n=7，PL=9，PH=1，則：

F=3n-（2PL+PH）=3×7-（2×9+1）=2

該機(jī)構(gòu)的自由度F與其原動(dòng)件數(shù)均為2。給定曲柄1和凸輪7的運(yùn)動(dòng)，滑塊6可實(shí)現(xiàn)預(yù)期的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

思考題與習(xí)題

2-1　運(yùn)動(dòng)鏈成為機(jī)構(gòu)的條件是什么？

2-2　計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)應(yīng)注意什么問題？

2-3　繪制題圖2-1所示機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)簡圖。

2-4　計(jì)算題圖2-2～題圖2-9所示各機(jī)構(gòu)的自由度，并指出其中的復(fù)合鉸鏈、局部自由度和虛約束。